Notations et définitions

Transcription

1 Les calculatrices sont interdites L objectif du problème est de définir et d étudier la notion de diagonalisabilité d un couple de matrices A, B dans plusieurs situations Les parties I et V traitent chacune un cas particulier, respectivement en dimension 3 et 4 La partie II aborde le cas où B est inversible et la partie IV étudie un critère de diagonalisabilité La partie III se réduit à l étude du cas d un couple de matrices symétriques réelles La partie I est indépendante des quatre autres parties Les parties III, IV et V sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres Il est demandé, lorsqu un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d indiquer précisément le numéro de la question utilisée Notations et définitions Soient n et p deux entiers naturels non nuls, K l ensemble R ou C et H une partie de K Notons M n,p K l espace vectoriel des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K, M n K l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K, S n K l espace vectoriel des matrices de M n K qui sont symétriques, D n H l ensemble des matrices diagonales de M n K à coefficients diagonaux dans H, GL n K l ensemble des matrices de M n K qui sont inversibles, O n R l ensemble des matrices de M n R qui sont orthogonales, I n la matrice identité d ordre n /6

2 Définitions : Soient A, B M n K 2 et λ K On note E λ A, B l ensemble des matrices-colonnes X M n, K telles que AX λbx On dit que λ est valeur propre du couple A, B si E λ A, B n est pas réduit à 0, c est-à-dire si A λb n est pas inversible On note χ A,B la fonction définie sur K par χ A,B λ det A λb et Sp A, B l ensemble des valeurs propres du couple A, B, c est-à-dire l ensemble des éléments λ K tels que χ A,B λ 0 Dans le cas particulier où B I n, on remarquera que ces définitions correspondent aux notions de valeur propre, d espace propre et de polynôme caractéristique de A Ainsi, E λ A, I n et χ A,In sont notés plus simplement E λ A et χ A Partie I : DIAGONALISABILITÉ DANS UN CAS PARTICULIER Soit A , B , C et D On note aussi F u, u 2, u 3 pour u 2 0, u et u 3 0 I I2 I3 Ia Montrer que B n est pas inversible Ib Montrer que A est inversible Ic Vérifier que C A B I2a Montrer que χ A,B λ 2λ 2 I2b En déduire Sp A, B I2c Déterminer une base de E 2 A, B et en déduire que dim E 2 A, B 2 I3a Calculer χ B,A λ et en déduire que Sp B,A 0, 2 I3b Établir les identités suivantes : E 0 B,A Vect u E 0 C et E 2 B,A E 2 A, B Vect u 2, u 3 E 2 C I3c En déduire que dim E 0 B,A dim E 2 B,A 3 I4 I4a Montrer que F est une base de M 3, R formée de vecteurs propres de C I4b Déterminer explicitement une matrice R GL 3 R telle que C RDR I4c Montrer que B ARDR I4d Justifier qu il existe P GL 3 R et Q GL 3 R telles que A PI 3 Q et B PDQ 2/6

3 Définitions 2 : Soit A, B, A,B M n K 4 On dit que le couple A, B est régulier s il existe λ K tel que χ A,B λ 0 On dit que le couple A, B est équivalent au couple A,B et on note A, B A,B si : P GL n K, Q GL n K A PA Q et B PB Q On dit que le couple A, B est diagonalisable si : D D n K, D D n K A, B D, D Partie II : RÉGULARITÉ ET DIAGONALISABILITÉ II Soit A, B M n K 2 IIa On suppose dans cette question que B est inversible Pour λ K, exprimer χ A,B λ en fonction de χ B A λ et en déduire que χ A,B est une fonction polynomiale dont on précisera le degré IIb On suppose dans cette question que n 2 Donner un exemple de couple A, B M n K 2 pour lequel χ A,B est la fonction nulle alors que ni A ni B n est la matrice nulle IIc Montrer que χ A,B est une fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à n II2 II2a Montrer que : A, B A,B P GL n K, Q GL n K λ K, A λb P A λb Q II2b Établir que si A, B est équivalent à A,B, alors il existe α K, non nul, tel que χ A,B α χ A,B,puisqueSpA, B Sp A,B II3 On suppose dans cette question que A, B II3a Montrer que : est régulier λ K 0,χ A,B λ λ n χ B,A λ II3b Montrer que B,A est régulier II3c On suppose dans cette question que r et s sont deux entiers tels que r s n et a r,a r,,a s des éléments de K tels que a r 0eta s 0 On suppose également que χ B,A s écrit sous la forme : λ K, χ B,A λ k s r a k λ k Montrer que 0 est racine de χ B,A d ordre de multiplicité r et que χ A,B est de degré n r II3d Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : i) B est inversible ; ii) χ A,B est de degré n ; iii) 0 Sp B,A II4 On suppose dans cette question que B est inversible Montrer que si B A est diagonalisable, alors A, B est diagonalisable 3/6

4 Définitions 3 : Soit M S n R, c est-à-dire que M est une matrice symétrique réelle On confondra toute matrice A a de M R avec le réel a On dit que M est positive si : X M n, R, t XMX 0 On dit que M est définie-positive si M est positive et inversible Partie III : DIAGONALISABILITÉ DANS LE CAS SYMÉTRIQUE III IIIa Montrer que pour M m i,j i,j n M n R, X x i i n M n, R et Y y i i n M n, R, alors t XMY i,j n m i,j x i y j IIIb En déduire que pour X M n, R non nul, t XX 0 IIIc Montrer que, pour M S n R, les propositions suivantes sont équivalentes : i) M est définie-positive ; ii) Sp M R ; iii) il existe P O n R et D D n R telles que M PD t P ; iv) il existe L GL n R telle que M t LL Dans le cas où M est définie-positive, on pose : X, Y M n, R 2, X, Y M t XMY III2 Montrer que si M est définie-positive, l application X, Y scalaire sur M n, R X, Y M est un produit III3 On suppose dans cette question que A, B S n R 2 avec B définie-positive On suppose alors que L est une matrice de GL n R telle que B t LL et on définit, par III2, un produit scalaire sur M n, R, noté, B III3a Trouver une matrice C S n R telle que, pour tout λ R et X M n, R, AX λbx CZ λz où on a posé Z LX III3b Montrer qu il existe une base B e,,e n de M n, R qui soit orthonormale pour le produit scalaire, I n et telle que, pour tout i,n,ilexisteλ i R vérifiant : Ce i λ i e i III3c Montrer qu il existe une base B e,,e n de M n, R qui soit orthonormale pour le produit scalaire, B et telle que, pour tout i,n, Ae i λ i Be i III3d En déduire que le couple A, B est diagonalisable III4 On suppose dans toute la fin de la partie III que le couple A, B et B sont toutes les deux symétriques réelles positives est régulier et que A III4a Montrer l existence de λ 0 R tel que A λ 0 B soit une matrice symétrique réelle définie-positive III4b En déduire que le couple A, B est diagonalisable 4/6

5 Définitions 4 : Soit A, B M n K 2 un couple régulier Pour λ Sp A, B, on note m λ A, B l ordre de multiplicité de λ en tant que racine de χ A,B Si B est inversible, on note Sp A, B Sp A, B, m A, B 0etE A, B 0 Si B n est pas inversible, on note Sp A, B Sp A, B, m A, B m 0 B,A l ordre de multiplicité de 0 en tant que racine de χ B,A et E A, B E 0 B,A On cherche un critère de diagonalisabilité de A, B faisant intervenir dim E λ A, B On dit que A, B vérifie la propriété H si : λ Sp A, B, dim E λ A, B m λ A, B Partie IV : UN CRITÈRE DE DIAGONALISABILITÉ Dans toute cette partie, on suppose que K C Soit A, B M n C 2 un couple régulier Il existe donc λ 0 C tel que A λ 0 B soit inversible Dans toute la suite de la partie IV, on suppose pour simplifier les notations que λ 0 0 si bien que A est inversible On note d le degré de χ A,B et C A B Dans les questions suivantes, on pourra être amené à distinguer le cas où B est inversible du cas où B n est pas inversible IV IVa Montrer que E 0 C E 0 B,A E A, B IVb Montrer que si λ C, alors E λ C E λ A, B IVc Soient λ,,λ k des éléments dinstincts de C Justifierquesi Sp C λ,,λ k, alors Sp A, B λ,, λ k où on a posé 0 IV2 Vérifier que m A, B n d, puis que: λ Sp A,B m λ A, B n IV3 On suppose dans toute la suite de la partie que A, B vérifie la propriété H IV3a Montrer que λ Sp A,B dim E λ A, B n IV3b Montrer que C est diagonalisable IV3c Établir que le couple A, B est diagonalisable 5/6

6 Dans toute la suite du problème, on admettra que si A, B est régulier et que K C, A, B est diagonalisable si et seulement si A, B vérifie la propriété H Partie V : EXEMPLE DE NON-DIAGONALISABILITÉ Soit n N et soit B e,,e n la base canonique de R n On considère l endomorphisme f de R n tel que : f e 0 et si n 2, i 2,n, f e i e i On note A n la matrice de f dans la base B et B t n A n On note g l endomorphisme de R n dont la matrice dans la base B est B n Pour λ R, χ An,B n λ sera noté c n λ Ondéfinitdeplusc 0 λ V Donner la forme explicite des matrices A n et B n V2 Vérifier que la matrice de f λg dans B est : V3 0 λ λ 0 λ 0 V3a Calculer c λ, c 2 λ, c 3 λ et c 4 λ V3b Montrer que pour n 2, c n λ λ c n 2 λ V3c En déduire, pour k N, les expressions de c 2k λ et de c 2k λ V3d Donner une condition sur n N pour que A n,b n soit régulier V4 V4a Déterminer dim E 0 A 4,B 4 et dim E A 4,B 4 V4b Calculer m 0 A 4,B 4 et m A 4,B 4 V4c Le couple A 4,B 4 est-il diagonalisable? Fin de l énoncé 6/6