BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION

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1 BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION Optons : - Développeur d applcatons - Admnstrateur de réseaux locaux d entreprse SESSION 2011 SUJET ÉPREUVE E2 MATHÉMATIQUES I Durée : 3 heures coeffcent : 2 Des feulles de paper mllmétré seront mses à la dsposton des canddats. Calculatrce autorsée, conformément à la crculare n du 16 novembre 1999 : «Toutes les calculatrces de poche, y comprs les calculatrces programmables, alphanumérques ou à écran graphque, à condton que leur fonctonnement sot autonome et qu l ne sot pas fat usage d mprmante, sont autorsées. Les échanges de machnes entre canddats, la consultaton des notces fournes par les constructeurs ans que les échanges d nformatons par l ntermédare des fonctons de transmsson des calculatrces sont nterdts». Dès que le sujet vous est rems, assurez-vous qu l est complet. Il comprend : 6 pages numérotées de la page 1 à 6 ; le formulare de mathématques composé de 4 pages. Page 1/6

2 Exercce 1 (5 ponts) Cet exercce est un Q.C.M. (questonnare à chox multple). Aucune justfcaton n'est demandée. Pour chaque queston, l n'exste qu'une seule réponse correcte. On présentera les résultats en donnant le numéro de la queston et en recopant la réponse éventuellement chose. Barème : 1 pont par réponse exacte, 0 pont pour absence de réponse ou réponse fausse. On consdère un graphe à quatre sommets A, B, C, D, dont la matrce d'adjacence est : M = Queston 1 Le sommet C est de nveau : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 Queston 2 Le nombre total de chemns de longueur 2 est : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Queston 3 Il exste un chemn de longueur 3 allant : a) de A vers C b) de B vers A c) de D vers B d) de A vers B Queston 4 Il exste dans ce graphe : a) un chemn de longueur 4 ; b) un chemn hamltonen ; c) un chemn de longueur 2 arrvant à D ; d) un crcut. Queston 5 Pour obtenr la fermeture transtve de ce graphe, le nombre d'arcs à rajouter est : a) 1 b) 3 c) 4 d) 9 B.T.S. INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 2/6

3 Exercce 2 (8 ponts) Une entreprse fabrque et commercalse des composants électronques assemblés dans deux atelers numérotés 1 et 2. L ateler 1 fournt 80 % de la producton et l ateler 2 fournt les 20 % restants. On a remarqué que 1,5 % des composants ssus de l ateler 1 sont défectueux, et que 4 % des composants ssus de l ateler 2 sont défectueux. Parte A On prend au hasard un composant dans la producton d une journée et on consdère les événements suvants : événement A : «le composant provent de l ateler 1» ; événement B : «le composant provent de l ateler 2» ; événement D : «le composant est défectueux». 1. Dédure de l énoncé les probabltés P( A ) et P( B ), ans que les probabltés condtonnelles P ( ) A D et PB ( D ). 2. Tradure l énoncé à l ade d un arbre pondéré ou d un tableau à double entrée. 3. Calculer la probablté de l événement D. 4. On constate qu un composant est défectueux. Quelle est la probablté pour qu l provenne de l ateler 1? Dans la sute, on supposera que 2 % des composants produts par l entreprse sont défectueux. Parte B Dans cette parte, sauf ndcaton contrare, les résultats seront arronds au mllème. Un clent commande un lot de 150 composants. On assmle le chox des 150 composants à des trages successfs avec remse. On note X la varable aléatore qu représente le nombre de composants défectueux que content ce lot. 1. Justfer le fat que la varable aléatore X sut une lo bnomale, et donner les paramètres de cette lo. 2. Donner l espérance et l écart-type de la varable aléatore X. 3. Calculer la probablté d avor exactement 4 composants défectueux dans le lot. (Arrondr le résultat au mllème.) 4. On admet que la lo de la varable aléatore X peut être approchée par la lo d une varable aléatore Y qu sut la lo de Posson de paramètre 3. a) Justfer cette valeur du paramètre. b) Détermner, avec la précson permse par les tables, la probablté d avor strctement plus de 4 composants défectueux dans le lot. B.T.S. INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 3/6

4 Parte C Une socété d mport-export commande un lot de 1500 composants. On assmle le chox des 1500 composants à des trages successfs avec remse. La varable aléatore qu comptablse le nombre de composants défectueux dans ce lot, sut une lo bnomale. On admet que la lo de cette varable aléatore peut être approchée par la lo d une varable aléatore Z qu sut la lo normale de moyenne 30 et d écart-type 5, Justfer le chox des paramètres de la lo normale. 2. Donner une approxmaton de la probablté d avor au plus 20 composants défectueux dans un lot, en calculant P ( Z 20,5). 3. Calculer P(24,5 Z 35, 5) avec la précson permse par les tables. En tenant compte de la correcton de contnuté, donner une nterprétaton du résultat en termes de composants défectueux. Exercce 3 (7 ponts) La feulle annexe sera rendue avec la cope. Les partes A et B sont ndépendantes. Parte A Dans cette parte, sauf ndcaton contrare, les résultats seront arronds au centème. Une entreprse fabrque un nouveau modèle d apparels avec port USB. Le coût de fabrcaton de chaque apparel est de 10 euros. L entreprse envsage de vendre chaque apparel entre 15 euros et 40 euros l unté. Avant la commercalsaton l entreprse effectue une étude de marché afn de détermner la quantté demandée en foncton du prx de vente. L étude a donné les résultats qu sont récaptulés dans le tableau suvant. Prx untare (en euro) x Quantté demandée (en mllers) y 44,4 27,0 16,3 10,0 6,2 3,5 On lt par exemple : pour un prx untare de 25 euros, la demande serat de untés. 1. Représenter le nuage de ponts M ( x, y ) dans un repère orthogonal. Les untés sont : 1 cm pour 2 euros en abscsse, et 1 cm pour 2 mllers en ordonnée. Le pont d ntersecton des axes de coordonnées sera le pont de coordonnées (15 ; 0). 2. Le graphque précédent nous condut à envsager un ajustement qu n est pas affne. Pour cela, on effectue un changement de varable en posant : z = ln y. a) Reprodure et compléter le tableau suvant. x z = ln y 3,79 3,30 B.T.S. INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 4/6

5 b) À l ade de la calculatrce, donner le coeffcent de corrélaton lnéare de la sére ( x, z ). c) Donner une équaton de la drote de régresson de z en x sous la forme z = ax + b, où les coeffcents a et b seront arronds au dxème. d) En dédure une estmaton de la quantté demandée y en foncton du prx untare x sous la forme y = k e A x, où A et k sont des constantes que l on détermnera. (Arrondr k à l unté et A au dxème.) Parte B Dans cette parte, on suppose que, s chaque apparel est vendu au prs untare x (en euro), la quantté d apparels demandés f ( x ), en mllers d untés, s exprme par : 0,1 x f ( x) = 200e. La foncton f (foncton de demande) est défne sur l ntervalle [15 ; 40]. La représentaton graphque c de la foncton f est donnée en annexe. 1. Détermner graphquement le montant de la demande s l entreprse propose l apparel à 23 euros. 2. Par le calcul, détermner dans quel ntervalle dot se stuer le prx untare pour que la quantté demandée sot supéreure ou égale à 9000 untés. 3. Calculer f '( x ), où f ' désgne la foncton dérvée de la foncton f. En dédure le sens de varaton de la foncton f. 4. On appelle foncton d offre la foncton g, défne sur l ntervalle [15 ; 40], par : g( x) = 4 x 60. Le nombre g( x ) est le nombre de mllers d apparels que l entreprse est capable de produre et de vendre au prx de x euros l apparel. Tracer sur la feulle annexe la représentaton graphque de la foncton g. 5. On appelle prx d équlbre le prx untare x d un apparel pour lequel l offre est égale à la demande. a) Détermner graphquement le prx d équlbre. b) Détermner graphquement comben l entreprse peut compter vendre d apparels, au prx d équlbre. c) Estmer alors le bénéfce réalsé. On rappelle que le coût de fabrcaton d un apparel est de 10 euros. 6. Calculer la valeur exacte de l ntégrale f ( x )d x B.T.S. INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 5/6

6 FEUILLE ANNEXE (à rendre avec la cope) Le dessn à compléter pour l'exercce 3. B.T.S. INFORMATIQUE DE GESTION SUJET Page 6/6