MATHEMATIQUES Option économique 5 mai 2015 de 8h à 12h

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1 ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparaoires MATHEMATIQUES Opion économique 5 mai 5 de 8h à h La présenaion, la lisibilié, l'orhographe, la qualié de la rédacion, la claré e la précision des raisonnemens enreron pour une par imporane dans l'appréciaion des copies Les candidas son inviés à encadrer, dans la mesure du possible, les résulas de leurs calculs Ils ne doiven faire usage d'aucun documen, seule l'uilisaion d'une règle graduée es auorisée L'uilisaion de oue calcularice e de ou maériel élecronique es inerdie Si au cours de l'épreuve, un candida repère ce qui lui semble êre une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie e poursuivra sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu'il sera amené à prendre Exercice On noe B = ( e, e, e3, e, e 5 ) la base canonique de R 5 On désigne par I la marice idenié de M 5( R ) e on considère l endomorphisme f de R 5 don la marice dans la base B es : C = ) a) Déerminer la dimension de Im( f ), puis monrer que la famille ( e + e3 + e, e + e5 ) es une base de Im( f ) b) En déduire la dimension de Ker( f ) puis donner une base de Ker( f ) ) On noe u = e + e3 + e e v = e + e5 a) Écrire f ( u ) e ( ) ( 3v) f v comme combinaisons linéaires de,, 3,, 5 f u + comme combinaisons linéaires de u e v e e e e e, puis f ( u v) e b) En déduire les valeurs propres de f e préciser les sous-espaces propres associés c) Éablir que C es diagonalisable e déerminer une marice D diagonale e une marice R inversible elles que C = R D R 3) a) Éablir la relaion suivane : D( D I )( D I ) + 3 = b) En déduire que le polynôme P défini par ( ) 3 P X = X X 3X es un polynôme annulaeur de C ) On adme que (principe de la division euclidienne), pour ou enier naurel n non nul, il exise un unique polynôme Q n e rois réels a n, b n e c n els que : X n = X 3 X 3X Q X + a X + b X + c ( ) ( ) n n n n /

2 a) En uilisan les racines de P, déerminer les valeurs de a n, b n e c n en foncion de n b) Déduire de ce qui précède l'expression, pour ou enier naurel n non nul, de C n en foncion de C e C 5) Compléer, à l aide de marices de ype zeros e ones, les deux espaces laissés libres dans la commande Scilab suivane pour qu elle permee de consruire la marice C C = [ones(,5);------,------;ones(,5)] Exercice Trois personnes, noées A, B e C enren simulanémen dans une agence bancaire disposan de deux guiches Les cliens A e B occupen simulanémen à l insan les deux guiches andis que C aend que l un de ces deux guiches se libère pour se faire servir On suppose que : Les durées de passage au guiche des rois personnes A, B e C son mesurées en heures e on suppose que ce son des variables aléaoires indépendanes, noées respecivemen X, Y e Z, e suivan oues la loi uniforme sur [, [ La durée du changemen de personne à un guiche es négligeable ) On pose U = min( X, Y ) e V = max( X, Y ) e on adme que U e V son des variables aléaoires si x < a) Monrer que la foncion de répariion F U de U es définie par : FU ( x) = x x si x si x > b) En déduire que U es une variable aléaoire à densié e donner une densié f U de U c) Déerminer l espérance e la variance de U ) On noe T le emps oal passé par C dans l agence bancaire a) Exprimer T en foncion de ceraines des variables précédenes b) En déduire E (T ) e V (T ) 3) a) On rappelle que, si a e b son deux veceurs lignes de aille n, les commandes m = min(a,b) e M = max(a,b) renvoien les veceurs m e M, de même aille que a e b, e els que, pour ou i de,n, on ai : m(i) = min(a(i), b(i)) e M(i) = max(a(i), b(i)) On rappelle égalemen que grand(,n, unf,,) simule n variables aléaoires indépendanes suivan la loi uniforme sur [, [ Compléer les commandes Scilab suivanes pour qu elles permeen de simuler n fois les variables aléaoires U, V e T, pour n enré par l uilisaeur : n = inpu( enrez la valeur de n : ) x = grand(,n, unf,,) y = grand(,n, unf,,) z = grand(,n, unf,,) u = ; disp(u, u = ) v = ; disp(v, v = ) = ; disp(, = ) b) Que représene l événemen ( T V )? c) On souhaie déerminer une valeur approchée de la probabilié p = P( T V ) en simulan un grand nombre de fois le passage des cliens A, B e C aux guiches Compléer les commandes p = ; disp(p, p = ) pour que, placées sous les commandes écries à la quesion 3a), elles permeen d obenir une valeur approchée de p d) Lors de plusieurs essais des commandes ci-dessus, avec n =, la réponse donnée par Scilab es comprise enre 66 e 67 Que peu-on conjecurer quan à la valeur exace de p? /

3 Exercice 3 ) Pour ou enier naurel k, on pose : I k = ke a) Jusifier que I, I e I son des inégrales convergenes e donner leur valeur (on pourra s appuyer sur le cours de probabilié) b) Pour ou réel a posiif e ou enier naurel k, on pose : k ( ) d a I a k e d = Éablir, grâce à une inégraion par paries, que : ( ) ( ) ( ) I k a k a k Ik a a + e + = + c) En déduire que I 3 e I son des inégrales convergenes e vérifier que : I 3 = 6 e I = ) Déduire des quesions précédenes que, pour ou couple (, ) une inégrale convergene On considère, pour oue la suie, la foncion f de R dans R définie par : ( x, y) R, ( ) = + + f x, y ( y x ) e d 3) a) Vérifier que l on a : ( x, y) R, ( ) b) Jusifier que f es de classe C sur R x y de réels, ( y x ) e + + d es f x, y = x + y + x + y + xy + ) a) Calculer les dérivées parielles d ordre de f puis déerminer le seul poin criique (, ) b) Calculer les dérivées parielles d ordre de f e écrire la marice hessienne ( f )( a, b) son poin criique c) Déerminer les valeurs propres de ( f )( a, b) au poin ( a, b ) don on précisera la naure (minimum ou maximum) e la valeur 5) Le bu de cee quesion es de monrer qu en fai ce exremum es global a) Compléer le membre de droie de l égalié suivane : a b de f de f en e en déduire que f adme un exremum local m 3 b) Compléer de même l égalié : ( ) c) En déduire une aure écriure de ( ) y x + xy + x = x + + y y + 6 = y + f x, y monran que l exremum rouvé plus hau es global Problème Parie Dans cee parie, x désigne un réel de [, [ x ) a) Monrer que : m N, m d x m + b) En déduire que: lim x m m = ) a) Pour ou réel de [, [ e pour ou k élémen de N *, calculer k j+ x x k x b) En déduire que : = d d j + j= k j c) Uiliser la quesion ) pour monrer que la série de erme général j+ x = j + sous forme d'une inégrale que l'on ne cherchera pas à calculer j j= xj+ j + converge e exprimer 3/

4 d) Conclure que : k N, j+ x k x = d + j= k j On adme sans démonsraion que l on a aussi : k N, j x k+ x = d j= k+ j Parie Un joueur réalise une suie de lancers indépendans d'une pièce Cee pièce donne "pile" avec la probabilié p ( < p < ) e "face" avec la probabilié q = p On noe N la variable aléaoire égale au rang d'appariion du premier "pile" Si N prend la valeur n, le joueur place n boules numéroées de à n dans une urne, puis il exrai une boule au hasard de cee urne On di que ce joueur a gagné si le numéro poré par la boule irée es impair e on désigne par A l'événemen : «le joueur a gagné» On appelle X la variable aléaoire égale au numéro poré par la boule exraie de l'urne ) Reconnaîre la loi de N ) a) Monrer que, si m es un enier naurel, la commande *floor(m/) renvoie la valeur m si e seulemen si m es pair b) Compléer les commandes Scilab suivanes pour qu elles simulen N e X puis renvoien l un des deux messages : «le joueur a gagné» ou «le joueur a perdu» p = inpu( donner la valeur de p ) N = grand(,, geom,---)// geom désigne une loi géomérique X = grand(,, uin,---)// uin désigne une loi uniforme discrèe if hen disp( ), else disp( ), end 3) a) Donner, pour ou enier naurel k supérieur ou égal à j, la valeur de P( N = j) ( X = k + ) b) Donner, pour ou enier naurel k supérieur ou égal à j +, la valeur de P( N j ) ( X k ) c) Déerminer P( N = j) ( X = k + ) lorsque k apparien à, j d) Déerminer P( N = j+ ) ( X = k + ) lorsque k apparien à, j P X k P N n P X k N = n n= ) a) Jusifier que ( = + ) = ( = ) ( ) ( = + ) En admean que l on peu scinder la somme précédene selon la parié de n, monrer que : p j q q j+ k N, P( X = k + ) = q j k + = + j j= k j + p q k b) En déduire que : k N, P( X = k + ) = d q 5) a) Monrer que b) Monrer que lim q n+ d = n n k = c) En déduire que : ( ) ( ) ( + ) p q q n+ P( X = k + ) = d d q ( ) ( + ) ( ) ( + ) p q P A = d q + ( ) ( ) = + = + 6) a) Trouver rois consanes réelles a, b e c elles que, pour ou différen de e de, on ai : = a + b + c ( ) ( + ) + ( ) b) Écrire P(A) expliciemen en foncion de q c) En déduire que P( A ) > /

5 EDHEC VOIE E 5 ANNALES DE MATHEMATIQUES 5 EDHEC 5 VOIE E CORRIGE EXERCICE I a) Im f = vec(f(e ),, f(e 5 )) = vec(f(e ), f(e )) car f(e 3 ) = f(e ) = f(e 5 ) = f(e ) = vec(e + + e 5, e + e 5 ) La famille (e + + e 5, e + e 5 ) es générarice de Im f ; elle es libre car les deux veceurs ne son pas colinéaires (leurs coordonnées dans la base canonique de R 5 ne son pas proporionnelles) Cee famille es une base de Im f dim Im f = On adope les noaions de l énoncé (voir quesion suivane) Im f = vec(u + v, v) Il es clair que u + v vec(u, v), donc Im f vec(u, v) Réciproquemen, soi w = xu+yv vec(u, v), alors w = x(u+v)+(y x)v, donc w Im f On conclu que vec(u, v) Im f e par suie Im v = vec(u, v) = vec(e + e 3 + e, e + e 5 ) b) Appliquons le héorème du rang à f : dim R 5 = dim Im f + dim Ker f, ce qui donne La lecure de la marice C donne : dim Ker f = 3 f(e 3 ) = f(e ) f(e e 3 ) = e e 3 Ker f De même e e e e e 5 son dans Ker f Monrons que ces rois veceurs son libres Soi (a, b, c) R 3 / a(e e 3 ) + b(e e ) + c(e e 5 ) = Cee égalié équivau à (a + b + c)e ae 3 be ce 5 = a + b + c =, a =, b =, c = puisque la famille (e, e 3, e, e 5 ) es libre en an qu exraie de la base canonique Donc a(e e 3 )+b(e e )+c(e e 5 ) = = a = b = c = La famille (e e 3, e e, e e 5 ) es libre C es une famille libre de 3 veceurs dans l espace Ker f de dimension 3, c es donc une base de Ker f dim Ker f = 3 ; la famille (e e 3, e e, e e 5 ) es une base de Ker f page Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies

6 EDHEC VOIE E 5 a) f(u) = f(e + e 3 + e ) = f(e ) + f(e 3 ) + f(e ) par linéarié de f = 3f(e ) = 3(e + e 5 ) = 3f(v) f(v) = f(e ) + f(e 5 ) = (e + + e 5 ) + (e + e 5 ) = (e + e 5 ) + (e + e 3 + e ) = u + v f(u v) = f(u) f(v) = 3v (u + v) = v u f(u + 3v) = f(u) + 3f(v) = 3v + 3(u + v) = 3(u + 3v) f(u v) = v u ; f(u + 3v) = 3(u + 3v) b) Rappelons peu-êre deux poins du cours La dimension d un sous-espace propre es La somme des dimensions de sous-espaces propres d un espace E de dimension finie es dim E * u v, f(u v) = (u v) u v es veceur propre de f associé à la valeur propre * u + 3v, f(u + 3v) = 3(u + 3v) u + 3v es veceur propre de f associé à la valeur propre 3 * Ker f {} Ker f es le sous-espace propre de f associé à la valeur propre Noons, d une manière générale, E(λ, f) le sous-espace propre de f associé à la valeur propre λ On sai d après le cours que : dim E(, f) + dim E(3, f) + dim E(, f) dim R 5 ; ce qui donne, puisque dim E(, f) = 3, dim E(, f) + dim E(3, f) 5 3 = Or dim E(, f) e dim E(3, f), donc dim E(, f) + dim E(3, f) On a donc l encadremen : dim E(, f) + dim E(3, f), donc dim E(, f) + dim E(3, f) = dim E(, f), dim E(3, f) e dim E(, f) + dim E(3, f) =, donc dim E(, f) = dim E(3, f) = Finalemen dim E(, f) +dim E(3, f) +dim E(, f) = 5 Il n y a donc pas d aures valeurs propres que,, 3, sinon la somme des dimensions des sous-espaces propres serai sricemen supérieure à 5, ce qui es impossible dim E(, f) = e u v apparien à E(, f), donc (u v) es une base de E(, f) De même (u + 3v) es une base de E(3, f) En résumé, c) f adme 3 valeurs disinces :,, 3 E(, f) = vec(u v) = vec( e + e + e 3 + e e 5 ) ; dim E(, f) = E(, f) = Ker f = vec(e e 3, e e, e e 5 ) ; dim E(, f) = 3 E(3, f) = vec(u + 3v) = vec(3e + e + e 3 + e + 3e 5 ) ; dim E(3, f) = dim E(, f) + dim E(, f) + dim E(3, f) = dim R 5 f, donc C, es diagonalisable ; condiion nécessaire e suffisane saisfaie Posons w = u v, w = e e 3, w 3 = e e, w = e e 5, w 5 = u + 3v ; on sai, puisque f es diagonalisable, que la famille (w,, w 5 ) es une base de R 5 La famille (w,, w 5 ) es la concaénaion des bases de E(, f), E(, f), E(3, f) page Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies

7 EDHEC VOIE E 5 3 On peu prendre pour R la marice des veceurs de cee base dans la base canonique On pose alors D = Diag(,,,, 3) D après le cours D = R CR ce qui équivau à C = RDR 3 a) 3 Pour D = e R = 3 3 on a la relaion C = RDR D = Diag(,,,, 3) ; D + I = Diag(,,,, ) e D 3I = Diag(, 3, 3, 3, ) On rappelle que Diag(a, b, c, d, e) Diag(a, b, c, d, e ) = Diag(aa, bb, cc, dd, ee ) Pour les éudians qui ne le saven pas, la vérificaion es immédiae Donc Diag(,,,, 3) Diag(,,,, ) Diag(, 3, 3, 3, ) = Diag(,,,, ) : D(D + I)(D 3I) = () 3 b) On a D = R CR, donc D + I = R CR + R IR = R (C + I)R ; de même D 3I = R (C 3I)R D(D + I)(D 3I) = (R CR)(R (C + I)R)(R (C 3I)R = R C(RR )(C + I)(RR )(C 3I)R par associaivié = R CI(C + I)I(C 3I)R = R C(C + I)(C 3I)R On muliplie les deux ermes de l égalié par R à gauche e R à droie En enan compe du résula D(D + I)(D 3I) = (), on obien R()R = RR C(C + I)(C 3I)RR () = IC(C + I)(C 3I)I C(C + I)(C 3I) = () Le polynôme P = X(X + )(X 3) es annulaeur de C Développons ce polynôme : X(X + )(X 3) = (X + X)(X 3) = X 3 3X + X 3X = X 3 X 3X Le polynôme P = X 3 X 3X es annulaeur de C a) Rappelons que X 3 X 3X = X(X +)(X +3) Cela indique que X 3 X 3X adme les réels, e 3 pour racines n N, X n = (X 3 X 3X)Q n (X) + a n X + b n X + c n Cela veu dire que n N, x R, x n = (x 3 x 3x)Q n (x) + a n x + b n x + c n Pour x =, ( ) n = a n ( ) + b n ( ) + c n Pour x =, = c n Pour x = 3, 3 n = 9a n + 3b n + c n c n = On obien le sysème : a n b n = ( ) n 3a n + b n = 3 n on a simplifié par 3 Par addiion des deux dernières lignes, il vien a n = ( )n + 3 n puis b n = 3n 3( ) n n N, a n = ( )n + 3 n, b n = 3n 3( ) n, c n = page 3 Jean MALLET c EDUKLUB SA Tous drois de l aueur des oeuvres réservés Sauf auorisaion, la reproducion ainsi que oue uilisaion des oeuvres aure que la consulaion individuelle e privée son inerdies