La loi des grands nombres

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1 La loi ds grads ombrs Espérac mathématiq d la valr absol (iégalité d Markov)... La loi ds grads ombrs (iégalité d Biaymé-Tchbychv)... 3 Ls Grads ombrs à l aid d Biaymé-Tchbychv... 4 L Théorèm d MOIVRE-LAPLACE... 5 L Théorèm d MOIVRE-LAPLACE (xplicatios)... 6 Variabls aléatoirs d Brolli... 7

2 Espérac mathématiq d la valr absol (iégalité d Markov) Si ls valrs possibls d la va X sot x,...,x alors : E (X) x P( X x ) x P( X x ): E(X) x i P( X x i ) i D la mêm maièr : E ( X ) x P( X x) x P( X x ) E ( X ) xi P( X xi ) i Forml O coaît l iégalité a + b a + b, doc : ai ai. i i Pisq P( X xi ) 0 : x i P( X xi ) xip( X xi ). xi xi xi i i i Doc : E (X) xip( X ) xip( X ) P( X ) E( X ) Ctt propriété st vrai por tot variabl aléatoir X : Iégalité d MARKOV Por tot E(X) a > 0 : P E( X ) ( X a) E( X ) a La prv qi st pas compliqé Micro xrcic Ls valrs possibls d X sot : x 7,x 3, x3 0, x4 3,x5 4 t i por tot i ;;3;4;5 : P(X x i ).Calclr E(X) t E( X ). Ecrir t vérifir 5 l iégalité d Markov por a 4. ( 7) + ( 3) Réposs E(X) t E( X ) E ( ) ( X ) P X xi

3 3 La loi ds grads ombrs (iégalité d Biaymé-Tchbychv) La sit d variabls aléatoirs X,X,...,X,... st sit d variabls aléatoirs idépdats à tots idtiqs à la variabl aléatoir X. Por tot ε > 0 : La loi ds grads ombrs X + X Lim P X + E(X) > ε 0 (Loi ds grads ombrs) O s rdra compt q ctt loi st coséqc d l iégalité d Biaymé-Tchbychv si a > 0 alors: P ( X E(X) > a ) (Biaymé-Tchbychv) Ctt iégalité dvit ( posat a kσ(x) ): si k > 0 alors P ( X E(X) > kσ(x) ) Var(X) a Rmarq L iégalité d Biaymé-Tchbychv st cas particlir d l iégalité d Markov. Qstio Por qll raiso l iégalité d Biaymé-Tchbychv st-ll pas itérssat lorsq a σ(x)? Micro xrcic Utilisat l iégalité d Biaymé-Tchbychv por jstifir q por Var(X) a > 0 : P( E(X) a X E(X) + a) >. a C résltat a-t il itérêt si a σ(x)? k

4 4 Ls Grads ombrs à l aid d Biaymé-Tchbychv Rappl Si ls variabls aléatoirs X,...,X,... sot idépdats dx à dx : X + X X V( X + X X ) V(X ) + V(X ) V(X ) V Doc Si ls variabls aléatoirs X,...,X,... sot idépdats dx à dx t ot tots la mêm spérac mathématiq t variac q X : ) E ( X X ) E( X) E( X ) E(X) ) V ( X X ) V( X) V( X ) V(X) D pls : X X E(X) E E(X) X X V ( pisqv(ay) a V(Y) ( ) V X ) X V(X) V(X) Applicatio d l iégalité d Biaymé-Tchbychv à Por tot ε > 0 choisi assi ptit q l o vt : X X P X X E(X) ε V(X) ε X Doc X Lim P E(X) ε 0 por tot ε > 0. Loi ds grads ombrs Micro xrcic (pil o fac) Ls valrs d X sot 0 t t P ( X ). Qstio A partir d qll valr d l tir a-t o X X P? Répos Rmarq (à jstifir) Si alors : X X P + > 0,

5 5 L Théorèm d MOIVRE-LAPLACE Ls variabls aléatoirs cosidérés sot défiis sr l spac d probabilités ( Ω,T,P). Por tot tir i positif o l (i ), Xi st variabl aléatoir qi admt ls valrs 0 o avc ls probabilités : P(Xi 0) p t P(Xi ) p t 0 < p < (p 0 t p ) Ls variabls aléatoirs X i sot idépdats dx à dx, c'st-à-dir : si i j alors Xi t X j sot idépdats doc, P ((Xi k) (X j k')) P( Xi k) P(X j k') por k ; k' ;. otatios Por tot ( ), S X X. Théorèm d MOIVRE-LAPLACE Si x t x sot ds ombrs réls ( tls q x < x') : S E(S ) Lim + P x x' σ(s ) π x' x Micro xrcic A l aid d Formlair distribé dor ls valrs d : π + π d d,,0 π d, π 0 d, d π d.

6 6 L Théorèm d MOIVRE-LAPLACE (xplicatios) Rappl X st variabl aléatoir dot ls valrs possibl sot 0 o avc P(X 0) p t P(X ) p (por 0 p ). Espérac mathématiq d X : E(X) p. E fft : E (X) 0 ( p) + p. Variac d X : V(X) p( p). Ecart typ d X : σ (X) p( p) E fft : V(X) E X ( E(X) ) p p p( p) pisq ls valrs possibls d X sot assi 0 o avc P 0 p t P X X p doc E X p. La sitatio d théorèm d Moivr -Laplac Por tot tir positif o l i, X i st variabl aléatoir dot ls valrs possibl sot 0 o avc P(Xi 0) p t P(Xi ) p (por 0 p ) t ls variabls aléatoirs X i sot idépdats dx à dx. Por tot tir : S X X. Coséqcs La variabl aléatoir S vérifi : E( S ) p pisq E (X X ) E(X) E(X ) t E(Xi ) p V ( S ) p ( p) pisq ls Xi sot idépdats à doc : V(X X ) V(X) V(X ) d pls V(Xi ) p ( p). Doc : S E(S ) σ(s ) S p p( p) Théorèm d MOIVRE-LAPLACE (ovll xprssio) Si x t x sot ds ombrs réls ( tls q x < x') : x' p Lim S + P x x' d p( p) π x Micro xrcic Ecrir l théorèm d Moivr-Laplac por p. Répos Lim + P x S x' x' π x d

7 7 Variabls aléatoirs d Brolli Ls variabls aléatoirs tilisés por l Théorèm d Moivr-Laplac sot dits variabls aléatoirs d Brolli. Défiitio U variabl aléatoir X qi pt prdr q ls valrs 0 o st dit «Variabl aléatoir d Brolli» (o simplmt «Variabl d Brolli»). La variabl d Brolli X tll q P (X ) p st dit d loi B p (o dit assi q X sit la loi Bp o q X st d typ B p ). 0 < p < P X p t P X 0 p Rappl Si X sit la loi Bp alors : ( ) ( ). E(X) p V(X) p( p) σ (X) p( p) La somm d variabls d Brolli idépdats t d mêm loi X,X,...X... sot ds variabls aléatoirs tots d la mêm loi Bp t idépdats dx à dx. O a tilisé la variabl aléatoir S défii par : S X + X X Pisq ls variabls aléatoirs sot d typ Bp t idépdats à : E(S ) p, V(S ) p( p), σ (S ) p( p) Ls valrs possibls d S Ls valrs possibls d S sot : 0,,,..., (il y a ( + ) valrs possibls). Exmpls ( S 0) ( X 0) ( X 0)... ( X 0) ( S ) ( X ) ( X )... ( X ) Rmarq Pisq q ls variabls aléatoirs X,X,...X... sot idépdats à : P( ) ( ) ( 0 )... ( 0) ( p) S 0 P X 0 P X X ( ) P( ) P( )... ( ) p P S X X X Micro xrcic Dor P ( S ) foctio d p. Répos p( p) Parc q ( S ) ( X ) ( X 0) X 0 X ( ) (( ) ( )).