C.C.P TSI Mathématiques 1
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- Sévérine Jolicoeur
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1 CCP TSI Mathématiques Eercice -) L'éocé e dit pas que f est défiie sur IR O pourrait doc cosidérer que f est défiie sur IR πz et, das ce cas, f() et f(π) 'eisteraiet pas Si f est défiie sur IR, par imparité et périodicité: f() = f( ) = f() d'où f() = et f() = f(π) = f( π) = f( π + π) = f(π) d'où f(π) = et f(π) = Par ailleurs, f 3π 4 = f 3π 4 π = f 3π 4 = f 3π 4 doc f 3π 4 = car 3π 4 ], π[ -) > f:=->sigum(-floor((+pi)/(*pi))**pi): plot(f(),=-9494,discot=true); 3-a) T = π et ω = π T doc ω = f est impaire doc IN, a = IN *, b = 4 T T/ f(t)si(ωt)dt = π π si(t)dt = π cos(t) = [ (-) ] π doc IN *, b = et IN, b + = 4 ( + )π π 3-b) La restrictio de f à ], π[ est la foctio costate égale à sur cet itervalle Elle est prologeable par cotiuité sur [, π] e ue foctio de classe C Par imparité, f est doc de classe C par morceau sur [ π, π] itervalle d'amplitude π Comme f est π-périodique sur IR, f est de classe C par morceau sur IR f est C par morceau sur IR et est π-périodique O peut doc utiliser le théorème de Dirichlet et dire que la série de Fourier de f coverge e tout poit vers la foctio régularisée ϕ de f CCP - TSI Mathématiques --*-- Page
2 Comme les poits de discotiuité de f sot les élémets de πz, t IR \ πz, ϕ(t) = f(t) f(t ) + f(t + ) t πz, ϕ(t) = = = = f(t) O e déduit que: f est égale à sa foctio regularisée La série de Fourier de f est défiie par: S(f )(t) = a + [a cos(ωt) + b si(ωt)] Avec les résultats précédets, o obtiet: t IR, f(t) = 4 π si[( + )t] + = 3-c) Pour t = π ], π[, f π = et si ( + ) π = si π + π = ( ) Il viet doc 4 π ( ) + = d'où ( ) + = π 4 3-d) 4-a) La formule de Parseval s'écrit: a + ( a + b ) = T T f(t) dt E teat compte de la parité de f 8, o obtiet: π ( + ) = π π D'où ( + ) = π 8 IR+ *, ψ: t e t f(t) est cotiue par morceau sur [, [ L'itégrale e t f(t)dt est simplemet impropre e O va motrer qu'elle est absolumet covergete IR+ *, t IR+ *, ψ(t) = e t f(t) e t et o sait que e t dt coverge pour > (et vaut /) Par comparaiso e module e t f(t)dt est absolumet covergete et, par suite, t e t f(t) est itegrable sur IR+ * 4-b) k IN, t ], (k + )π[, f(t) = (-) k k IN, k IN, k IN, (k + )π e t f(t)dt = (-) k (k + )π e t dt = (-) k (k + )π e t f(t)dt = (-)k (e π ) k ( e π ) (k + )π e t f(t)dt = e π ( e π ) k e t (k + )π = (-)k [e (k + )π e ] CCP - TSI Mathématiques --*-- Page
3 4-c) e t f(t)dt = (k + )π e t f(t)dt = Comme e π = e π < (car π < ), la série géométrique Par suite, Doc e π ( e π ) k ( e π ) k coverge et a pour somme e t f(t)dt = e π + e π = eπ/ e π/ e π/ + e π/ e t f(t)dt = th π + e π Eercice -) f est décroissate sur I [ (, ') I, ' f() f(')] Note: IR+ *, t e t doc e t + t est cotiue sur [, ] dt est ue itégrale défiie + t et, par suite, f est bie défiie sur IR+ * e t + t e t (, ') (IR+ * ), t [, ], ' ' + t Par positivité de l'itégrale défiie, o e déduit que: f() f(') Doc f est décroissate sur IR+ * -a) IR+ *, IR+ *, t [, ], f() f( ) = Doc f() f( ) e e t + t e t + t dt = ( )e t ( + t)( + t) dt e t ( + t)( + t) dt e t dt Si > alors > et d'où, f() f( ) e -b) IR+ *, f( ) eiste d'après la ote de la questio e lim =, 3, f() f( ) e lim f() = f( ) Par suite, IR+ *, f est cotiue e Autremet dit: f est cotiue sur IR+ * CCP - TSI Mathématiques --*-- Page 3
4 3-) IR+ * e t, t [, ], < + t + doc + e t + t et Par positivité de l'itégrale, IR+ *, + e t dt f() e t dt Soit: IR+ *, e + f() e Par suite: IR+ *, par ecadremet, + lim f() et, comme lim e e f() = d'où f() ~ e + =, 4-a) La foctio epoetielle est cotiue et dérivable sur [, ] et: t [, ], (e t )' = e t e L'iégalité des accroissemets fiis sur [, t] avec t [, ] s'écrit: t [, ], e t e e t soit t [, ], e t et doc M = e coviet 4-b) IR+ *, t [, ], e t + t et + t e t d'où IR+ *, g() + t dt et + t dt et dt = e t Doc g est borée sur IR+ * 4-c) IR+ *, g() = + t dt dt (Relatio de Chasles) + t IR+ *, g() = f() l( + ) + l() f() d'où ], [, l() = g() l( + ) + l() l() f() et, comme g est borée sur ], [, lim + l() = doc f() ~ l() o + e t 5-a) t [, ], h'(t) = et ( + t) e t te t ( + t) = ( + t) doc h est croissate sur [, ] 5-b) u et v représetet les valeurs approchées de h(t)dt = f() par la méthode des rectagles avec ue subdivisio de [, ] e parties égales (sommes de Riema) Pour u o s'appuie à gauche et, comme h est croissate, o obtiet ue valeur approchée par défaut Pour v o s'appuie à droite et, comme h est croissate, o obtiet ue valeur approchée par ecès CCP - TSI Mathématiques --*-- Page 4
5 5-c) IN *, k [[, ]], t k, k + [, ]], h k h(t) h k + Par suite, k+ h k+ k k dt h(t)dt k+ h k + k k dt soit: IN *, k [[, ]], k+ h k h(t)dt k h k + car h est croissate 5-d) E sommat les ecadremets précédets pour k variat de à, il viet: IN *, u h(t)dt = f() v Par suite f() appartiet à l'itervalle [u, v ] de cetre u + v et d'amplitude v u Doc f() u + v IN *, f() u + v (v u ) = h() h() k = h k + k = h k = h() h() par téléscopage 5-e) u + v est ue valeur approchée de f() à doc dès que [h() h()] Or [h() h()] = 5(e ) 35,9 u + v près dès que h() h() est ue valeur approchée de f() à près pour = 36 u 36 + v 36 d'où f() 35 = 7 h k 36 + h k + 36 = 7 h() + h() + h k 36 5 p k = 35 k = avec p = 35 k = CCP - TSI Mathématiques --*-- Page 5
6 Eercice 3 -) La première série est ue série géométrique de raiso qui coverge ssi < doc R f = Pour les deu autres séries o peut utiliser la règle de d'alembert + + lim = doc R g = et lim = doc R h = -) ], [, f() = O sait que la foctio somme d'ue série etière de la variable réelle est C sur l'itervalle ouvert de covergece et que les dérivées s'obtieet par dérivatio terme à terme ], [, f '() = ( ) = doc ], [, h() = = ( ) 3-a) [, [, g'() = > doc g est strictemet croissate sur [, [ 3-b) [, [, IN *, doc [, [, f() g() lim f() = lim 3-c) g() = o o ( ) = doc lim g() = Doc, pour =, la courbe passe par l'origie, admet pour tagete la droite y = et est localemet covee > plot({sum(^*sqrt(),=ifiity),},=,y=3); 4-a) g est cotiue sur [, [ (foctio somme d'ue série etière de la variable réelle) g est strictemet croissate sur [, [ g([, [) = IR+ Le théorème de la bijectio permet de dire que admet u uique atécédet α par g das [, [ Autremet dit:!α [, [, g(α) = CCP - TSI Mathématiques --*-- Page 6
7 4-b) h(,5) = et IR+, f() g() h() doc g(,5) = g(α) Comme g est strictemet croissate sur [, [, o e déduit que: α,5 4-c) 5 k = k(,6) k,9 et g(,6) = 6 k = 6 (,6) k = k(,6) k,3 d'où = 6 k(,6) k = g(α) d'où,5 α,6 5-a) ], [, ( ) = ], [, ], [, ( ) = ( ) = Doc ], [, ( ) = ( )g() + = car les deu séries sot covergetes + car = 5-b) IN, a = > doc la série proposée est bie alterée IN, a + + = a = < doc la suite (a ) est décroissate lim a = lim + = D'après le critère spécial des séries alterées ( )( ) coverge O e déduit que le rayo de covergece de ( ) est au mois égal à 5-c) a = doc + ~ et / diverge ( )( ) 'est pas absolumet covergete ( ) diverge doc le rayo de covergece de ( ) est au plus égal à Par suite, le rayo de covergece de ( ) est égal à 5-d) L'itervalle de covergece de ( ) est [, [ La foctio somme d'ue série etière de la variable réelle est cotiue sur l'itervalle de covergece doc ( )g() est cotiue sur [, [ Soit S le réel égal à ( )( ), lim ( )g() = S + Par suite lim g() = S + IR CCP - TSI Mathématiques --*-- Page 7
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Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
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