Chapitre 2 : Représentation des nombres

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Anne-Laure Guertin
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1 Chapitre 2 : Représentation des nombres On appelle représentation (ou codification) d'un nombre la façon selon laquelle il est décrit sous forme binaire. Quelle que soit la nature de l'information traitée par un ordinateur (image, son, texte, vidéo), elle l'est toujours sous la forme d'un ensemble de nombres écrits en binaire (base 2), par exemple La représentation des nombres sur un ordinateur est indispensable pour que celui-ci puisse les stocker et les manipuler. Elle doit être faite sur un nombre de bits prédéfini. Il s'agit donc de prédéfinir un nombre de bits et la manière de les utiliser pour que ceux-ci servent le plus efficacement possible à représenter l'entité. I. Systèmes de numération et représentation des nombres Un système de numération décrit la façon avec laquelle les nombres sont représentés. Il est défini par : - Un ensemble de symboles ou chiffres (alphabet A), - Des règles d écritures des nombres (Juxtaposition de symboles) 1. Numération décimale Nous utilisons le système décimal (base 10) dans nos activités quotidiennes. Ce système est basé sur dix symboles : l alphabet est composé de dix chiffres : A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} et le nombre 10 est la base de cette numération. C'est un système positionnel où chaque position possède un poids. C'est-à-dire que l'endroit où se trouve le chiffre définit sa valeur. Ainsi, le 2 de 523 n'a pas le même poids que le 2 de 132. Par exemple, le nombre 523 s écrit comme : 523= 5 * * * Cette forme s appelle la forme polynomiale. On peut selon ce principe imaginer une infinité de systèmes numériques fondés sur des bases différentes. 2. Numération (Binaire, Octale et Hexadécimale) Système binaire (b=2) utilise deux chiffres : {0, 1} C est avec ce système que fonctionnent les ordinateurs Système Octale (b=8) utilise huit chiffres :{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Utilisé il y a un certain temps en Informatique. Il permet de coder 3 bits par un seul symbole. Système Hexadécimale (b=16) utilise 16 chiffres : Il faut alors six symboles supplémentaires : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (qui représente le 10), B (11), C (12), D (13), E (14) et F (15)} Cette base est très utilisée dans le monde de la micro-informatique. Elle permet de coder 4 bits par un seul symbole. 1

2 II. Transcodage de base Le transcodage, changement de base ou conversion est l opération qui permet de passer de la représentation d un nombre exprimé dans une base à la représentation du même nombre mais exprimé dans une autre base. 1. De la base 10 vers une base b Le principe consiste à faire des divisions successives du nombre sur la base b, et prendre le reste des divisions dans l ordre inverse. Exemple 1 : = (?) 2 Après division : on obtient : 35 =(100011) 10 2 Exemple 2 : = (?) 8 Après division : on obtient : =(43) 8 Exemple 3 : = (?) 16 Après division : on obtient : =(23) De la base binaire vers une base b a- Première possibilité : Convertir le nombre en base binaire vers la base décimale puis convertir ce nombre en base 10 vers la base b (2) =?(8) 10010(2) = 1 x x =18 18=22(8) 10010(2) = 22(8) b- Deuxième possibilité : Binaire vers décimale : Pour un octet (faire un tableau de 8 colonnes) 16 colonnes (pour 2 octet) etc (2) =? 2

3 Puissance Valeur de la puissance Nombre en binaire (2) = = 16+2 =18 Un autre exemple (2) = 75 Binaire vers octale : Par le regroupement des bits en des sous ensembles de trois bits puis remplacer chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 8 selon la table ci-dessous (2) =?(8) (2) =(010) (010) (2) = (2) (2) (8) = 22 (8) Symbole Octale Suite Binaire Table de correspondance Octale/ Binaire Binaire vers Hexadécimale : Par le regroupement des bits en des sous ensembles de quatre bits puis remplacer chaque groupe par le symbole correspondant dans la base 16 selon la table ci-dessous (2) =?(16) (2) =(0001) (0010) (2) = (1) (2) (16) = 12 (16) (2)= (0111) (1010) (2) = 7A(16) Symbole Hexadécimale Suite Binaire Symbole Hexadécimale Suite Binaire A B C D E F 1111 Table de correspondance Hexadécimale / Binaire 3

4 Considérons les exemples suivants : (2) = 151(8) (2) = 127(16) (2) = DEF(16) 1EC5(16) = (2) 1672(8) = (2) III. Opérations arithmétiques Nous présentons dans cette partie un aperçu sur quelques opérations en base 2, 8 et Addition en base 2 La table d addition en base 2 : = = = = 0 retenue (1) 2. Multiplication en base 2 La table de multiplication en base 2 : 0 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 0 = 0 1 x 1 = 1 4

5 3. Addition en base = Addition en base A5116 = C2B616 IV. Codage des nombres Le codage de l information permet d établir une correspondance qui permet de passer d une représentation d une information (dite externe) à une autre représentation (dite interne : sous forme binaire) de la même information, suivant un ensemble de règle précise. * Le nombre 35 : 35 est la représentation externe du nombre trente cinq * La représentation interne de 35 sera une suite de 0 et 1 (100011) 1. Codage des entiers naturel en binaire pur Un entier naturel est un entier positif ou nul, son codage se fait par l utilisation du code binaire pur : - L entier naturel est représenté en base 2, - Les bits sont rangés selon leur poids, on complète à gauche par des 0. sur un octet, 10 se code en binaire pur par (2) 5

6 Etendu du codage binaire pur : - Codage sur n bits : représentation des nombres de 0 à 2 n 1 sur 1 octet (8 bits) : codage des nombres de 0 à = 255 sur 2 octets (16 bits) : codage des nombres de 0 à = sur 4 octets (32 bits) : codage des nombres de 0 à = Codage des entiers relatifs Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif. Il existe au moins trois façons pour le coder : a) Code binaire signé (par signe et valeur absolue) Les circuits électroniques digitaux ne peuvent enregistrer que des 0 ou des 1 mais pas de signes + ou -. Le seul moyen est alors de convenir que si un nombre binaire est susceptible d'être positif ou négatif on lui réserve un bit pour indiquer le signe. Le bit le plus significatif est le bit du poids le plus fort pour représenter le signe du nombre : si le bit le plus fort = 1 alors le nombre est négatif si le bit le plus fort = 0 alors le nombre est positif Les autres bits codent la valeur absolue du nombre Etendu de codage : Avec n bits, on code tous les nombres entre -(2 n-1-1) et (2 n-1-1) Avec 4 bits : -7 et +7 En binaire signé, il existe deux représentations du zéro : + 0 et - 0 Sur 4 bits : +0 = 0000(bs), -0 = 1000(bs) Sur 8 bits, coder les nombres et -128 en (bs) -24 est codé en binaire signé par : (bs) -33 est codé en binaire signé par : (bs) -128 est hors limite car il nécessite 9 bits au minimum b) Code complément à 1 Le code complément à 1 est aussi appelé Complément Logique (CL) ou Complément Restreint (CR) : Le bit le plus significatif est utilisé pour représenter le signe du nombre : si le bit le plus fort = 1 alors nombre négatif Un nombre négatif est codé en inversant chaque bit de la représentation de sa valeur absolue : remplacer tous les 0 par des 1 et tous les 1 par des 0. si le bit le plus fort = 0 alors nombre positif Un nombre positif est codé de la même façon qu en binaire pure. Il existe deux codages différents pour 0 (+0 et -0) Sur 8 bits : +0= et -0= Sur 8 bits, coder les nombres -24, -33, +12, -100 et -100 en complément à 1. 6

7 -24 = = = = = c) Code complément à 2 Le code complément à 2 est aussi appelé Complément Vrai (CV) ou Complément Arithmétique (CA) : Un nombre positif est codé de la même manière qu en binaire pure. Un nombre négatif est codé en ajoutant la valeur 1 à son complément à 1 Etendu de codage : Avec n bits, on peut coder de -(2 n-1 ) à (2 n-1-1) Un seul codage pour 0. Par exemple sur 8 bits : +0 est codé par (ca2) -0 est codé par Donc -0 sera représenté par (ca2) Exemples : Sur 8 bits, coder les nombres -24, -33, +12, -100 et +100 en complément à = (ca2) + 12 = (ca2) = (ca2) = (ca2) 7

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