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- Agnès Paquin
- il y a 6 ans
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1 Liba Jui 23 Série ES Exercice U théâtre propose deux types d aboemets pour ue aée : u aboemet A doat droit à six spectacles ou u aboemet B doat droit à trois spectacles. O cosidère u groupe de 2 5 persoes qui s aboet tous les as. état u etier aturel, o ote : a, la probabilité qu ue persoe ait choisi u aboemet A l aée ; b, la probabilité qu ue persoe ait choisi u aboemet B l aée ; P, la matrice a b traduisat l état probabiliste à l aée. Tous les as 85% des persoes qui ot choisi l aboemet A et 55% des persoes qui ot choisi l aboemet B coservet ce type d aboemet l aée suivate. Les autres persoes chaget d aboemet. 1. O suppose que l aée, 1 5 persoes ot choisi l aboemet A et 1 l aboemet B. Détermier l état iitial P = a b. 2. a. Tracer u graphe probabiliste traduisat les doées de l éocé. b. Détermier la matrice de trasitio M de ce graphe. c. E déduire le ombre d aboés pour chaque type d aboemet l aée u. 3. Soit P = x y l état stable, où x et y sot deux ombres réels positifs tels que x. a. Justifier que x et y vérifiet l équatio x =,85x+,45y. b. Détermier x et y. c. E déduire la limite de la suite ( ) a quad ted vers plus l ifii. d. Iterpréter le résultat précédet e terme de ombre d aboemets de type A. PaaMaths [ 1-5 ] Jui 26
2 Aalyse O a affaire ici a u exercice classique portat sur les graphes probabilistes. Il comporte u aspect «calcul matriciel», la détermiatio de l état stable et l iterprétatio de cet état comme état probabiliste limite. Résolutio Questio 1. Les probabilités a et b cherchées correspodet aux proportios de persoes ayat respectivemet choisi les aboemets A et B. O a doc, avec les doées de l éocé : a = = =,6 et b = = =, L état iitial P s écrit doc : P,6,4 = [ ] Questio 2.a. Puisqu il y a deux types d aboemet, A et B, le graphe probabiliste comportera deux sommets que ous oteros simplemet A et B. Puisque 85% des persoes ayat choisi l aboemet A ue aée le coservet l aée suivate, la probabilité de l évéemet «ue persoe ayat choisi l aboemet A le coserve l aée suivate» vaut,85. La probabilité qu elle e chage vaut doc : 1,85=,15. O raisoe de faço aalogue avec les persoes ayat choisi l aboemet B. La probabilité de l évéemet «ue persoe ayat choisi l aboemet B le coserve l aée suivate» vaut,55. La probabilité qu elle e chage vaut doc : 1,55=,45. A partir de ces élémets, o obtiet le graphe probabiliste suivat :,15,85 A,55 B,45 PaaMaths [ 2-5 ] Jui 26
3 Questio 2.b. A partir des probabilités précédetes et e ordoat aturellemet les sommets (A d abord, puis B), o obtiet la matrice :, 85,15 M =,45,55 Questio 2.c. Pour tout etier aturel, o a l égalité : P = 1 P + M. E particulier, pour = 1, il viet : P1 = P M,85,15 = [,6, 4], 45,55 =, 6,85 +, 4, 45, 6,15 +, 4,55 =, 69,31 [ ] [ ] O e déduit que l aée 1, 69% des persoes ot choisi l aboemet A et 31% l aboemet B. Pour obteir les ombres d aboés correspodats, il suffit alors de multiplier chacu de ces pourcetages par le ombre total de persoes cosidérées :,69 25 = 1725 et,31 25 = 775. Fialemet : L aée 1, persoes ot choisi l aboemet A et 775 l aboemet B. Questio 3.a. Par défiitio de l état stable, celui-ci vérifie l égalité : P= P M E posat : P = [ x y], o obtiet : Soit :,85,15 =, 45,55 [ x y] [ x y] [ x y] = [,85x+,45y,15x+,55y] Cette égalité équivaut au système : x =,85x+, 45y y =,15x +,55y PaaMaths [ 3-5 ] Jui 26
4 Les égalités sot toutes deux équivaletes à,15x, 45y =. Fialemet, le système précédet est équivalet à l ue quelcoque des deux égalités. O peut choisir la première. O a bie : x =,85x+,45 y Questio 3.b. O dispose des deux équatios : x =,85x+, 45y et x. O doit doc résoudre le système : x =,85x+, 45y Soit :,15x =, 45y x Ou ecore : x = 3y O résout alors le système par substitutio : x= 3y x = 3y 3y x= 3y 1 y = 4 3 x = 4 1 y = 4 L état stable est P [ ] 3 1 = x y =. 4 4 Questio 3.c. Puisque la matrice de trasitio M e cotiet pas de zéro, o sait (théorème du cours) que la suite ( P ) des états probabilistes ted vers l état stable P et ce, quel que soit l état iitial P. PaaMaths [ 4-5 ] Jui 26
5 O a doc : P O e déduit ici : = lim P, soit : + lim a + 3 = 4 lim a + lim b + = x. = y lim a + = 3 4 Questio 3.d. D après la questio précédete, o peut dire que la proportio d aboemets de type A va coverger vers 75%. Or,,75 25 = O e coclut : Le ombre d aboemets de type A va coverger vers la valeur Bie évidemmet, ue telle coclusio sous-eted que la matrice de trasitio M évolue pas das le temps Aspect somme toute assez peu réaliste et qui costitue ue des limites d u tel modèle. PaaMaths [ 5-5 ] Jui 26
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