Introduction aux algorithmes de tri. Les tris séquentiels. Méthodologie de la programmation E2I.1- Les algorithmes de tri. Les tris récursifs.

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1 Vue d'ensemble Méthodologe de la programmaton E2I.1- Les algorthmes de tr Cyrlle CHAVET 2 Plan Objectfs é Tr: Ordonner un ensemble d éléments selon un ensemble de clés sur lesquelles est défne une relaton d ordre Algorthmes fondamentaux en nformatque: Base de données, ordonnancement... Illustraton de concepts vus précédemment: Boucles, Récursvté Introducton de concepts clefs en nformatque: Complexté Stratége «Dvser pour régner» 3 4

2 Procédure d échange Concept d nvarant de boucle Les algorthmes de tr utlsent une procédure permettant d échanger (de permuter) deux varables. Procédure Echanger (a,b : Enter) Déclaraton Temp : Enter Temp a a b b Temp Fn Prouver la valdté d un algorthme Défnton: Un nvarant de boucle est une proprété qu reste vrae à chaque passage dans la boucle (en un pont précs) Il faut donc: Défnr un nvarant qu assure qu à la fn la proprété voulue est satsfate S assurer qu l est vra avant d entrer dans la boucle Vérfer par récurrence qu l reste vra après chaque exécuton de la boucle 5 6 Exemple d nvarant de boucle Exemple d nvarant de boucle Produt des chffres d un nombre Produt des chffres d un nombre Foncton ProdutsChffres(n : Enter) : Enter Déclaraton x : Enter x 1 Répéter x x*(n mod 10) n n / 10 Jusqu à (n < 1) Fn Exemple: ProdutChffres(1234) = 1*2*3*4 =24 Foncton ProdutsChffres(n : Enter) : Enter Déclaraton x : Enter x 1 Répéter x x*(n mod 10) n n / 10 Jusqu à (n < 1) Fn Précondton: n>0, x=1 7 8

3 Exemple d nvarant de boucle Exemple d nvarant de boucle Produt des chffres d un nombre Produt des chffres d un nombre Foncton ProdutsChffres(n : Enter) : Enter Déclaraton x : Enter x 1 Répéter x x*(n mod 10) n n / 10 Jusqu à (n < 1) Fn Précondton: n>0, x=1 Invarant: -n = n/10 -x = produt des chffres de (n-10 *n ) Foncton ProdutsChffres(n : Enter) : Enter Déclaraton x : Enter x 1 Répéter x x*(n mod 10) n n / 10 Jusqu à (n < 1) Fn Précondton: n>0, x=1 Invarant: -n = n/10 -x = produt des chffres de (n-10 *n ) Termnason: >log 10 (n), n =0 Correcton: x = produt des chffres de (n) 9 10 Exemple d nvarant de boucle Evaluer la complexté d un algorthme Produt des chffres d un nombre Compter le nombre de permutatons, le nombre de tours dans une boucle Foncton ProdutsChffres(n : Enter) : Enter Déclaraton x : Enter x 1 Répéter x x*(n mod 10) n n / 10 Jusqu à (n < 1) Fn Précondton: n>0, x=1 Invarant: -n = n/10 -x = produt des chffres de (n-10 *n ) Termnason: >log 10 (n), n =0 Correcton: x = produt des chffres de (n) Foncton Exemple(n : Enter) : Enter Déclaraton, j : Enter pour de 0 à n-1 pour j de 0à n-1 fn pour fn pour Fn 11 12

4 Evaluer la complexté d un algorthme Evaluer la complexté d un algorthme Compter le nombre de permutatons, le nombre de tours dans les boucles Compter le nombre de permutatons, le nombre de tours dans une boucle Foncton Exemple(n : Enter) : Enter Déclaraton, j : Enter pour de 0 à n-1 pour jd de 0à n-1 fn pour fn pour Fn n tours n tours Soent n*n = n 2 tours, La complexté de cet algorthme peut s exprmer en O(n 2 ) Défnton: + Détermner une foncton f: qu, à un paramètre n dépendant de la donnée soumse à l'algorthme (n est la talle de cette donnée, e.g. la talle du tableau a trer), assoce le coût f(n) (exprmé en untés arbtrares de temps ou d'espace) de l'exécuton de algorthme pour la donnée Plan de Tr à bulles Tr à bulles Idée de M. De Lapalsse : Un tableau tré en ordre crossant, c est un tableau dans lequel tout élément est plus pett que celu qu le sut Prncpe de la méthode : Sélectonner le mnmum du tableau en parcourant le tableau de la fn au début, et en échangeant tout couple d'éléments consécutfs non ordonnés Cet algorthme sera vu en TD 15 16

5 de de A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément pour de 1àN1: N-1: mn = pour j de +1 à N: s T j <T mn alors mn = j 1 N Echanger(T, T mn ) Tr Déroulement par sélecton de l algorthme Tr Déroulement par sélecton de l algorthme A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément pour de 1àN-1: 1: mn = pour j de +1 à N: s T j < T mn alors mn = j Mn = pour de 1àN-1: 1: mn = pour j de +1 à N: s T j < T mn alors mn = j mn mn Echanger(T, T mn ) Echanger(T, T mn ) 19 20

6 Tr Déroulement par sélecton de l algorthme Tr Déroulement par sélecton de l algorthme A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément pour de 1àN-1: 1: mn = pour j de +1 à N: s T j < T mn alors mn = j Echanger(T, T mn ) mn pour de 1àN-1: 1: mn = pour j de +1 à N: s T j < T mn alors mn = j Echanger(T, T mn ) mn Tr Invarants par sélecton de boucles Tr Complexté par sélecton de l algorthme A partr du 1 er élément, on recherche le plus pett éléments dans le reste du tableau et on place ce derner dans la premère case. On poursut ensute avec le 2 ème élément pour de 1 à N-1: { x, y 1.. 1, z.. N : x < y T T et T T } [ ] [ ] ( ) ( ) mn = pour j de +1 à N: { x [ j 1 ], T } x y x z 1 N Défntvement tré.. mn T x 1 j N Compter le nombre de test : T j < T mn Complexté du pre cas ( n 1 ) 2 Ο( n ) n 2 s T j < T mn alors mn = j Echanger(T, T mn ) T mn = Mn(T[..j-1]) 23 24

7 de Tr Invarants par sélecton de boucles A la n ème tératon, le n ème élément est nséré à la bonne place dans le tableau tré A la n ème tératon, le n ème élément est nséré à la bonne place dans le tableau tré pour de 2 à N: val=t j = -1 tant que j 0 etpus T j >val T j+1 = T j j = j-1 T j+1 = val 1 N pour de 2 à N: { x, y [ 1.. 1] : ( x < y )} val = T j = -1 tant que j 0 etpus T j >val T j+1 = val j+1 T j+1 = T j j = j-1 T x T y 1 N Tr(pg) {( T[ 1.. j] & T[ j ] [ ]) ( j > )} + 2 = T et j + 2 T +2 val 1 j N Tr Complexté par sélecton de l algorthme Plan Compter le nombre de transfert : T j+1 < T j Complexté du pre cas ( n 1 ) 2 Ο( n ) n

8 de de Dvserpourrégner régner Dvserpourrégner régner Idée : On dvse le tableau en deux, les sous tableaux sont trés pus fusonnés Idée : On dvse le tableau en deux, les sous tableaux sont trés pus fusonnés Procédure de fuson de sous tableaux: Interclasser(T: tableau de [1..N];,m,s: enters dans [1..N]) Sous tableaux:t[,m] et T[m+1,s] Résultat: T[,s] de de Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup : Enters): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup : Enters): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) 31 32

9 de de Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup : Enters): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup: Enters): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) de de Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) 35 36

10 de Tr Complexté par sélecton de l algorthme Sous foncton: TrFuson Tr du tableau T entre nf et sup TRI: TrFuson(1,N) TrFuson (Inf, Sup): ml = (nf + sup) dv 2 TrFuson(nf, ml) TrFuson(ml+1, sup) Interclasser(T, nf, ml, sup) Complexté du pre cas Tratement d un nveau en O(N) Log(N) nveaux dfférents ComplexInterClass(N) ( N ) ComplexInterCl ( N) = Ο( N log( N) ) C = C Tr Comparason sélecton de deux algorthmes de tr de (Quck sort) T : Lors du parcours de k éléments pour recherche du mnmum, on ne mémorse que le mnmum alors que k comparasons ont étés effectuées : Toutes les comparasons sont mémorsées en ordonnant les éléments comparés Idée : Chosr un élément du tableau : pvot Ordonner les éléments du tableau par rapport au pvot Appeler récursvement le tr sur les sous tableaux à gauche et à drote du pvot Pvot 1 N < Pvot > Pvot 39 40

11 de (Quck sort) tantque T j < p tantque T s < p de (Quck sort) s tantque T s < p de (Quck sort) s de (Quck sort) s s

12 de (Quck sort) de (Quck sort) s s j à s s de (Quck sort) de (Quck sort) s s

13 de (Quck sort) de (Quck sort) s s de (Quck sort) de (Quck sort) s s

14 Tr Invarant par sélecton de boucle tantque T j < p tantque T s < p { nf k < T p et s < k sup T p} k k Tr Complexté par sélecton ComplexInterClass(N) Algorthme le plus effcace pour des données répartes aléatorement Complexté moyenne ( N ) ComplexInterCl ( N) = Ο( N log( N) ) C = C Complexté du pre cas: O(N²) Problème : chox d un bon pvot Tr Concluson par sélecton Nombreux autres algorthmes de tr: tr par tas, tr de shell Les melleurs algorthmes de trs sont en: O(N.log N) Chosr un algorthme de tr dfférents selon la talle de l'ensemble à ordonner Références Ste Lvres N.Wrth (Algorthmes et structures de données, Prentce Hall 86 ou Eyrolles 87) R.Sedgewck (Algorthmes en langage C, Addson-Wesley 90 ou InterEdtons 91) D.E.Kunth (The art of the computer programmng, Vol.3, Addson-Wesley 74) 55 56