Chapitre 3 - La fonction exponentielle.doc 1/6 Chapitre 3.: La fonction exponentielle. 1

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1 Chapitr 3 - La foctio potilldoc /6 Chapitr 3: La foctio potill I Défiitios t propriétés II L ombr t la otatio puissac III Etud d la foctio potill 3 / Ss d variatio, tagts t approimatio affi 3 / Limits 4 3 / Tablau d variatio t rpréstatio graphiqu 5 a) Tablau d variatio 5 b) Courb 5 c) Coséquc 5 IV Foctio logarithm Népéri 5

2 Chapitr 3 I Défiitios t propriétés Chapitr 3 - La foctio potilldoc /6 : La foctio potill Théorèm t Défiitio Il ist u sul foctio f défii t dérivabl sur R tll qu : f f t f() Ctt foctio st applé foctio potill t o la ot p Démostratio d l uicité: O admt l istc, o va démotrr so uicité Motros qu u tll foctio f put s aulr sur R : Soit ϕ la foctio défiit sur R par ϕ ( ) f ( ) f( ) La foctio ϕ st l produit d foctio dérivabl sur R Soit u ombr rél : ϕ ( ) f ( ) f( ) f ( ) f ( ) (car f ( ) f ( ) t f ( ) f( ) ) La foctio ϕ st doc costat sur R, avc ϕ () f() f() D où pour tout rél : ϕ ( ) f ( ) f( ) Cci impliqu qu la foctio f put s aulr sur R,car sio l produit précédt s aulrai Motros l uicité : soit g u autr foctio tll qu g g t g () g s aul pas sur R, doc pour tout rél, la foctio f st dérivabl sur R, t : g f f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) ( ) g g ( ) g ( ) Aisi f g st costat sur R, t aisi : f f f() ( ) () g g, doc f ( ) g ( ) g() Théorèm La foctio p st dérivabl t p ( ) C st u coséquc dirct d la défiitio p Théorèm (dérivatio d u composé) Pour tout foctio u dérivabl sur u itrvall I, la foctio f : p ( u ( )) st dérivabl sur I t pout tout rél, o a : f ( ) u ( ) p ( u ( )) O a f ( ) ( g u) ( ) avc g ( ) p, doc : f ( ) u ( ) ( g u) ( ) u ( ) p ( u ( )) Empl : Détrmir la dérivr d la foctio f : p( ) f ( ) ( ) p( ) Propriété Soit R, alors : (i) p (ii) p( ) p p (iii) p( y) p py (iv) p( y) py (v) p( ) ( p) pour tout Z (vi) p> (vii) p( ) p Démostratios : (i) t (ii) coséqucs d la démostratio précédt D:\archivs\apirr\cours\trmial\TS\obli\3 foctio potill\chapitr 3 - La foctio potilldoc pag sur 5

3 Chapitr 3 - La foctio potilldoc /6 p( y) (iii) Soit y u rél fié O défiit su R la foctio g y, par gy( ) p Calculos la dérivé d g y : p( y) p p p( y) gy ( ) ( ) p Doc g y st costat, t p( y) p( y) gy( ) gy() py p( y) p py p p p (iv) p( y) p( ( y) ) p p( y) py (v) Démostratio Par récurrc pour N : Posos p :"p( ) (p ) " Iitialisatio : p p( ) (p ) p() doc vrai Hérédité : soit k u tir qulcoqu supériur ou égal à HR p vrai p( ) (p ) k k k CS p k vrai p([ k ] ) (p )k p([ k ] ) p( k ) p( k) p( ) d'après (iii) (p ) k p( ) par hypothès d récurrc k (p ) cqfd Doc p k st héréditair pour tout k N, or p st vrai Doc p st vrai pour tout N puis : Pour Z, < O pos p N : p p( ) p( p) ( p) ( p) p( p) p ( p) (vi) p p( ) ( p( )) > (car p ) (vii)( ( )) p p p( ) p ou p( ) p, or pour tout rél, p>, doc p( ) p II L ombr t la otatio puissac Défiitio : L ombr st l imag d par la foctio potill : p( ) Rmarqus : (i) U valur approché doé par la calculatric st :,78 (ii) Pour tout Z, ( p) p( ) p La otatio st du au mathématici suiss Lohard Eulr (77-783) 78 Il motra aussi qu st u irratiol Complètmt avugl pdat ls di-spt drièrs aés d sa vi, il produit prsqu la moitié d la totalité d so travail durat ctt périod D:\archivs\apirr\cours\trmial\TS\obli\3 foctio potill\chapitr 3 - La foctio potilldoc pag sur 5

4 Chapitr 3 - La foctio potilldoc 3/6 Par tsio, o covit d écrir p pour tout rél Ctt otatio st compatibl avc ls opératios algébriqus sur ls puissacs, fft : Propriété (rpris ds précédts) Pour tout ombr rél t y : (i) (ii) y y (iii) (iv) y y (v) ( ) (vii), Z (vi) Empl : Motrr qu pour tout rél, ( ) ( ) Ercic(s) : N 9 ; ; () p 7 ; ; 5 ; (6) ; 8 ; (9) ; 3 p8 III Etud d la foctio potill / Ss d variatio, tagts t approimatio affi Théorèm 3 La foctio potill st strictmt croissat sur R O sait qu p ( ) p( ) >, doc la foctio st strictmt croissat sur R Théorèm 4 (équatios t iéquatios) Pour tout coupl d réls a t b : a b (i) si t sulmt si a b a b (ii) < si t sulmt si a< b C st u coséquc d la strict croissac d la foctio potill Empl 3: Résoudr ( )( ), d où S ], ] [ ; [ Théorèm 5 La tagt à la courb d la foctio potill au poit d absciss a pour équatio : y D plus, la courb d la foctio potill st au dssus d sa tagt y f ()( ) f() st l équatio d la tagt à la courb potill au poit d absciss Or f ( ), doc f () t f (), doc, l équatio d la tagt st : y ( ) y Pour coaîtr la positio d la courb par rapport à sa tagt étudios l sig d g ( ) ( ) : g '( ) > > > > >, Ls rcics tr ( ) sot ds rcics supplémtairs facultatifs D:\archivs\apirr\cours\trmial\TS\obli\3 foctio potill\chapitr 3 - La foctio potilldoc pag 3 sur 5

5 Chapitr 3 - La foctio potilldoc 4/6 d où l tablau d variatio d g : g g Doc pour tout rél, g ( ) t la courb d la foctio potill st au dssus d sa tagt Rmarqu : O put motrr d mêm qu la courb d la foctio potill st au dssus d touts ss tagts Théorèm 6 L approimatio affi d h pour h proch d st : h h L approimatio affi d u foctio f au voisiag d a st : f ( ) fa ( ) f ( a)( a) Aisi l approimatio affi d h h au voisiag d st : h (d après l équatio d la tagt) / Limits Théorèm 7 lim t lim O a vu qu pour tout rél, o a : Comm lim ( ), par comparaiso lim Pour la limit, posos X, X lim lim lim X X X Théorèm 8 (i) lim (ii) lim (iii) lim (i) lim lim p () (ii) Pour tout rél : >, doc particulir : > > > > 4 4, doc par comparaiso : lim Pour tout rél, ( ) ( ) Or ( ) lim 4 (iii) Posos X, O a doc lim X lim ( ) lim lim lim lim cqfd X X X X t : ( X ) ( X) X X X D:\archivs\apirr\cours\trmial\TS\obli\3 foctio potill\chapitr 3 - La foctio potilldoc pag 4 sur 5

6 3 / Tablau d variatio t rpréstatio graphiqu Chapitr 3 - La foctio potilldoc 5/6 a) Tablau d variatio p ( ) p( ) b) Courb y 6 c p 5 y c) Coséquc Théorèm 9 (Équatio) k R *,l'équatio k admt u uiqu solutio das R trivial par l théorèm d la bijctio Ercic(s) : N 5 ; 5 ; 54 ; (56); 6 p 9 N 97 ; ; ; p N 4 p 4 IV Foctio logarithm Népéri D après l III 3 /c)théorèm 9 a l équatio a admt pas d solutio t, R - * a R l équatio a admt u solutio uiqu b Défiitio : La foctio qui à tout rél strictmt positif a associ l uiqu rél b solutio d l équatio a st applé foctio logarithm * épéri, ll st défii sur R t oté l Coséquc immédiat Théorèm * b R a R t b o a a l( a) b Empl 4: Résoudr puis puis 3 l puis l t 3 impossibl car > Ercic(s) : N 7 p 38 ; 47 ; 48 ; 5 p 4 D:\archivs\apirr\cours\trmial\TS\obli\3 foctio potill\chapitr 3 - La foctio potilldoc pag 5 sur 5