FONCTIONS EXPONENTIELLES (Partie 2)

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1 1 FONCTIONS EXPONENTIELLES (Partie 2) I. Fonction eponentielle de base e 1) Définition Propriété : Parmi toutes les fonctions! q, il en eiste une seule dont la tangente à la courbe représentative au point (0 ; 1) a pour coefficient directeur 1. - Admis - Définition : Cette fonction est la fonction eponentielle de base e, notée ep, telle que pour tout réel, on a ep :! e. Le réel e est environ égal à 2,718. Remarques : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. Il est également possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction eponentielle :

2 2 Remarque : On verra que la fonction eponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi ep(21) dépasse le milliard. Comme π, le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ses premières décimales sont : e 2, Le premier à s intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783), cidessus. C est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu il s agisse de l initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot eponentiel. Dans «Introductio in Analysin infinitorum» publié en 1748, Euler eplique que : e = ! + 1 2! + 1 3! +... Rappelons que par eemple 5! se lit "factoriel 5" et est égal à Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales eactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l irrationalité de e. 2) Propriétés Propriétés : Pour tout réel et y, on a : a) e 0 = 1 et e 1 = e b) e > 0 c) e + y = e e y d) e = 1 e e) e y = e e y ( ) n = e n avec n un entier relatif. f) e Remarque : On retrouve les propriétés des puissances.

3 3 Méthode : Simplifier les écritures Vidéo Simplifier l'écriture des nombres suivants : A = e7 e 4 e 5 B = e 5 ( ) 6 1 ( e 3 C = ( e ) + e ) e 2 e 6 A = e7 e 4 = e7 4 e 5 = e3 e 5 = e 3 ( 5) = e 8 e 5 B = ( e ) 5 6 e 3 = e 5 ( 6) e 3 = e 30 e 3 = e 30 3 = e 33 C = 1 ( e ) = 1 e4 ( 1) e e 2 6 = 1 e e e 4 = e ( e ) 4 1 e 2 e 6 3) Dérivabilité Propriété : Le nombre dérivé de la fonction eponentielle en 0 est égal à 1. Démonstration : Par définition, la tangente à la courbe représentative en 0 a pour coefficient directeur 1. Propriété : La fonction eponentielle est continue et dérivable sur! et ( ep )' = e - Admis - Méthode : Dériver une fonction Vidéo Dériver les fonctions suivantes : a) f () = 4 3e b) g() = ( 1)e c) h() = e a) f '() = 4 3e b) g '() = 1 e + ( 1)e = e + e e = e

4 4 c) h'() = e e 1 2 4) Variations = e ( 1) 2 Propriété : La fonction eponentielle est strictement croissante sur!. Démonstration : Comme ( ep )' = ep > 0, la fonction eponentielle est strictement croissante. 5) Limites en l'infini Propriété : lim e = 0 et lim e = + + 6) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction eponentielle : + ep ( )' + ep 0 + Méthode : Etudier une fonction Vidéo Soit f la fonction définie sur! par f () = ( +1)e. a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 0. d) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant de la calculatrice. a) f '() = e + ( +1)e = ( + 2)e b) Comme e > 0, f '() est du signe de + 2. f est donc décroissante sur l'intervalle ; 2 et croissante sur l'intervalle 2;+. On dresse le tableau de variations :

5 5-2 + f '() f () e 2 c) f (0) = 1 et f '(0) = 2 Une équation de la tangente à la courbe en 0 est donc : y = f '(0)( 0) + f (0), soit : y = 2 +1 d) 7) Résolution d'équations et d'inéquations Propriétés : Pour tout réel a et b, on a : a) e a = e b a = b b) e a < e b a < b Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation Vidéo Vidéo a) Résoudre dans! l'équation e 2 3 e 2 = 0. b) Résoudre dans! l'inéquation e a) e 2 3 e 2 = 0 e 2 3 = e = = 0 = 3 ou = 1 Les solutions sont -3 et 1.

6 6 b) e e 4 1 e L'ensemble des solutions est l'intervalle 1 4 ;+. II. Fonctions de la forme e u Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction! e u est dérivable sur I. Sa dérivée est la fonction! u'()e u( ). - Admis - Eemple : Vidéo Soit f () = e 4+3 alors f '() = 4e 4+3 Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les fonctions! u() et! e u( ) ont le même sens de variation. Démonstration : On a (e u )' = u'e u Comme e u > 0, u' et (e u )' sont de même signe. Eemple : La fonction! 1 est décroissante sur ;0 et sur 0;+ donc la fonction 1! e est également décroissante sur ;0 et sur 0;+. Méthode : Etudier une fonction Vidéo Soit f la fonction définie sur! par f () = e 2. a) Calculer la dérivée de la fonction f.

7 7 b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. c) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant de la calculatrice. d) Déterminer une valeur approchée de l'abscisse du point d'infleion à la courbe. e) Démontrer que f ''() = e. f) En déduire l'abscisse du point d'infleion. a) f '() = e e 2 = 1 2 e 2 b) Comme e 2 > 0, f '() est du signe de 1 2. f est donc croissante sur l'intervalle ;2 et décroissante sur l'intervalle 2;+. On dresse le tableau de variations : 2 + f '() f () 2 e f (2) = 2e 2 2 = 2e 1 = 2 1 e = 2 e c) d) Le point d'infleion semble avoir pour abscisse une valeur proche de 4.

8 8 e) f ''() = e = 1 2 e e e 2 e 2 = e e 2 = 4 1 e 2 f) Comme e 2 > 0, f ''() est du signe de 4 1. Donc f ''() 0 pour soit 4. f ''() 0 pour soit 4. Ainsi f ' est croissante sur 4;+ et donc f est convee sur cet intervalle. f ' est décroissante sur ;4 et donc f est concave sur cet intervalle. On en déduit que la courbe représentative de f possède un point d'infleion d'abscisse 4. Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur.