Vecteurs - Correction

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1 CLASSE : 2nde Durée approximative : 2 H DS 2G3 Vecteurs - Correction EXERCICE 1 : / 3 points Difficulté : La figure ci-dessous donne deux vecteurs u et v et un point A du plan. Sur cette figure, placer les points B, C, D et E tels que : 1. AB= u 2. AC= 2 v 3. AD= u+ v 4. AE=2 u v u C v E A B D EXERCICE 2 : / 1, points Difficulté : Hortense a écrit «Si M, N, P et Q sont quatre points du plans tels que MN = PQ, alors MNPQ est un parallélogramme.» Est-ce vrai ou faux? Justifier.

2 C'est faux. Hortense a commis une erreur classique en inversant certains points. Un schéma représentant deux vecteurs égaux, éventuellement réalisé à main levée, permet de se rendre compte de l'erreur : M N P Q La phrase correcte est «Si M, N, P et Q sont quatre points du plans tels que MN = PQ, alors MNQP est un parallélogramme» car, par convention, on lit les noms des sommets en tournant autour du polygone. EXERCICE 3 : / 2, points Difficulté : Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-1; 3), B(2; 1), C(1 ; 0) et D(-2 ; 2). 1. Faire une figure en prenant comme unité graphique 1 cm. 2. Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme? Sur la figure, le quadrilatère ABCD semble être un parallélogramme. Pour s'en assurer, on peut calculer et comparer les coordonnées des vecteurs AB et DC. AB a pour coordonnées : x B x A =2 ( 1)=3 et y B y A =1 3= 2 donc AB(3; 2). DC a pour coordonnées : x C x D =1 ( 2)=3 et y C y D =0 2= 2 donc DC (3; 2). On constate que les vecteurs AB et DC ont les mêmes coordonnées donc ils sont égaux, ainsi ABCD est un parallélogramme. Remarque : on peut également démontrer que les segments [AC] et [BD] se coupent en leur milieu, si on connaît le formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment en fonction des coordonnées des extrémités de ce segment. EXERCICE 4 : / 4 points Difficulté : Dans un repère du plan, on considère les points M( 1; 4), N( 3 ; 3) et P(2 ; 2). 1. Calculer les coordonnées du vecteur 2 MN + MP. 2. En déduire les coordonnées ( x D ; y D ) du point D tel que MD=2 MN + MP. 3. Soit E le point tel que NE= 1 3 NP. Calculer les coordonnées du point E. 4. Montrer que les points M, E et D sont alignés.

3 1. On peut commencer par calculer les coordonnées des vecteurs MN et MP : Le vecteur MN a pour coordonnées : x N x M = 3 ( 1 )= 2 et y N y M =3 4= 1, soit MN ( 2; 1 ) et MP : x P x M :2 ( 1 )=3 et y P y N =2 4= 2 soit MP (3; 2). Le vecteur 2 MN + MP a pour coordonnées : 2 x MN +x MP = 4+3= 1 et 2 y MN + y MP = 2+( 2 )= 4. Donc 2 MN + MP a pour coordonnées ( 1; 4 ). 2. Le vecteur MD a pour coordonnées ( x D +1; y D 4 ). Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Ainsi, comme MD=2 MN + MP, on a { x D+1= 1 y D 4= 4 donc { x D= 2. Les coordonnées du point D sont donc ( 2; 0 ). y D =0 3. Le vecteur 1 3 NP a pour coordonnées 1 3 ( x P x N )= 1 3 (2 ( 3 ) )= 3 et 1 3 ( y P y N )= 1 3 (2 3 )= 1 3 soit ( 1 3 ) NP ( 3 ; 1 3 ). Le vecteur NE a pour coordonnées ( x E +3; y E 3 ). Or, deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Ainsi, comme NE= ( {x 1 E+3= 3 ) NP 3, on a y E 3= 1 d'où 3 {xe= = 4 3 y E = = 8 3. Les coordonnées du point E sont donc ( 4 3 ; 8 3 ). 4. Pour montrer que les points M, E et D sont alignés, on peut par exemple montrer que les vecteurs ME et MD sont colinéaires : ME a pour coordonnées x E x M = = = 1 3 et y E y M = 8 3 4= = 4 3 soit ME ( 1 3 ; 4 3 ). De même, le vecteur MD a pour coordonnées ( 1; 4 ). On s'aperçoit que MD=3 ME donc les vecteurs MD et ME sont colinéaires : les points M, D et E sont alignés. EXERCICE : / 2 points Difficulté : Dans un repère du plan, soient les trois points S(-2 ; ), T(2 ; 12) et V(38 ; 76). Ces points sont-ils alignés? Pour savoir si ces trois points sont alignés, on peut calculer les coordonnées de deux vecteurs construits sur ces trois points et vérifier si ces vecteurs sont colinéaires, c'est-à-dire si les coordonnées de ces vecteurs sont proportionnelles. Le vecteur ST a pour coordonnées : x T x S =2 ( 2)=4 et y T y S =12 =7, soit ST (4 ;7). Le vecteur TV a pour coordonnées : x V x T =38 2=36 et y V y T =76 12=64, soit TV (36 ;64). Par calcul mental et connaissance de la table de 4 ou de 9, on reconnaît que 36 = 4 9, mais 7 9 est différent de 64, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

4 Une autre méthode plus systématique consiste à vérifier si les produits en croix sont égaux, dans le tableau des coordonnées : 4 36 On constate que 4 64 est différent de Les vecteurs ST et TV ne sont pas colinéaires, donc les points S, T et V ne sont pas alignés. Remarque : il est aussi possible de traiter cette question en déterminant une équation de la droite (SV) et en testant si les coordonnées de T vérifient cette équation. EXERCICE 6 : / 4 points Difficulté : L'objectif de cet exercice est de démontrer le «théorème des milieux» à l'aide des vecteurs. A, B et C sont trois points non alignés. Soient I le milieu du segment [AB], et J le milieu du segment [AC]. Le plan est muni du repère (A ; B ; C). 1. Quelles sont les coordonnées des points A, B et C dans le repère (A ; B ; C)? 2. Quelles sont les coordonnées des points I et J dans ce même repère? 3. Calculer les coordonnées des vecteurs BC et IJ. 4. Que peut-on en déduire pour la position relative des droites (IJ) et (BC)?. Exprimer la distance IJ en fonction de la distance BC. 1. Par définition, les trois points A, B et C, dans cet ordre, qui définissent le repère (A ; B ; C) ont pour coordonnées A (0 ; 0), B (1 ; 0) et C (0 ; 1). 2. Les coordonnées du milieu d'un segment sont égales aux moyennes des coordonnées des extrémités de ce segment, donc I a pour coordonnées ( x A +x B 2 même, J a pour coordonnées ( x A +x C 2 ; y A+ y C 2 ), soit J ( 0; 1 2 ). ; y A+y B 2 ), soit I ( 1 2 ;0 ). De 3. BC a pour coordonnées x C x B =0 1 et y C y B =1 0 soit BC ( 1;1). D'autre part, IJ a pour coordonnées x J x I =0 1 2 et y J y I = donc IJ ( 1 2 ; 1 2 ). 4. Par calcul mental, on remarque que les coordonnées de IJ et BC sont proportionnelles, avec BC=2 IJ autrement dit BC et IJ sont colinéaires donc les droites ( IJ ) et ( BC ) sont parallèles.. Comme BC=2 IJ, on a l'égalité de distances : BC = 2IJ. Conclusion : nous avons démontré, en utilisant nos connaissances sur les vecteurs, le «théorème des milieux» vus en collège : Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté, et sa longueur est la moitié de celle de ce troisième côté.

5 EXERCICE 7 : / 3 points Difficulté : Voici un algorithme incomplet. Si et alors afficher «ABDC est un parallélogramme» sinon afficher «ABDC n'est pas un parallélogramme» 1. Compléter les pointillés de l'algorithme par des tests. 2. Modifier les dernières lignes de l'algorithme pour que celui-ci permette de tester si ABDC est un trapèze ou un parallélogramme. Si xu = xv et yu = yv alors afficher «ABDC est un parallélogramme» sinon afficher «ABDC n'est pas un parallélogramme» Commentaire : on teste si les vecteurs AB et CD sont égaux (en comparant leurs coordonnées) pour savoir si ABDC est un parallélogramme. 2. Si xu yv = xv yu alors afficher «ABDC est un trapèze» sinon afficher «ABDC n'est pas un trapèze» Commentaire : on teste si les vecteurs AB et CD sont colinéaires pour savoir si ABDC est un trapèze. On teste donc si les produits en croix sont égaux, dans le tableau des coordonnées : xu yu xv yv