Outils mathématiques

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1 Année universitaire 216/217. U.E. 2P21 TD n o 1. Outils mathématiques Exercice I. Coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques Définir dans le système de coordonnées le plus approprié les surfaces suivantes 1. Le plan P infini (xoy): En coordonnées cartésiennes le plan P est défini par: z = En coordonnées cylindriques le plan P est défini par: z = En coordonnées sphériques le plan P est défini par: θ = π/2 Les 3 systèmes de coordonnées semblent à priori appropriés. 2. Le disque D de centre O et de rayon R, inclus dans le plan (xoy) En coordonnées cartésiennes le disque D est défini par: z =, x 2 + y 2 R En coordonnées cylindriques le disque D est défini par: z =, ρ R En coordonnées sphériques le disque D est défini par: θ = π/2, r R Les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques semblent à priori les plus appropriés. 3. Le tube T d axe (Oz), de rayon R, compris entre les plans z = et z = H 1

2 En coordonnées cartésiennes le tube T est défini par: z H, x 2 + y 2 = R En coordonnées cylindriques le tube T est défini par: z H, ρ = R En coordonnées sphériques le tube T est défini par: rcos(θ) H, rsin(θ) = R Le système de coordonnées cylindriques semble à priori le plus approprié. 4. La sphère S et la boule B de centres O et de rayons R En coordonnées cartésiennes la sphère S et la boule B sont définies par: x 2 + y 2 + z 2 = R pour S, x 2 + y 2 + z 2 R pour B En coordonnées cylindriques la sphère S et la boule B sont définies par: ρ 2 + z 2 = R pour S, ρ 2 + z 2 R pour B En coordonnées sphériques la sphère S et la boule B sont définies par: r = R pour S, r R pour B Le système de coordonnées sphériques semble à priori le plus approprié. 2

3 Exercice II. Intégrales surfaciques, volumiques Calculer à l aide d une intégrale les quantités suivantes : 1. L aire du disque D En coordonnées cylindriques: Pour le disque, z est constant et vaut. En revanche, ρ varie de à R et l angle θ de à 2π. On a donc: A D = dzdρρdφ = 2π ρdρ = 2π [ 1/2ρ 2] R = πr2 2. La surface et le volume du tube T En coordonnées cylindrique: Si le tube est fermé, alors il y a trois surfaces à considérer: les couvercles supérieur et inférieur ainsi que la surface latérale. On a donc: A T = V T = h h Rdφdz = 2πRh (1) dρdzρdφ = 2πh ρdρ = πhr 2 (2) 3. L aire de la sphère S En coordonnées sphériques: A s = π π RdθRsin(θ)dφ = 2π R 2 sin(θ)dθ = 4πR 2 4. Le volume de la boule B En coordonnées sphériques: V B = π dρρdθρsin(θ)dφ = 2π π ρ 2 dρsin(θ)dθ = 4/3πR 3 3

4 Calculer la charge totale portée par : 1. Le disque D de densité surfacique de charge σ(ρ,φ) = σ sin(φ/2) La charge totale est égale à la charge de l ensemble du disque. On intègre donc la densité surfacique de charge sur l ensemble de la surface du disque: Q D = σ [ ] dρρ sin(φ/2)dφ = (R 2 /2)σ sin(φ/2)dφ = R 2 2π σ cos(φ/2) = 2R 2 σ 2. Le tube T de densité surfacique de charge σ(ρ,z) = σ sin(φ/2) La charge totale est égale à la charge de l ensemble du tube. On intègre donc la densité surfacique de charge sur l ensemble de la surface du tube. Le tube étant ouvert on a: Q T = σ H dzsin(φ/2)rdφ = RHσ sin(φ/2)dφ = 4RHσ 3. Le cylindre C inclus dans T et de densité volumique de charge ω(ρ,φ,z) = ω zρ HR sin(φ/2) La charge totale est égale à la charge de l ensemble du tube. On intègre donc la densité volumique de charge sur l ensemble du volume du cylindre: Q C = ω H dzdρρdφ zρ HR sin(φ/2) = 4ω H zρ 2 HR = 2 3 R2 Hω 4. La boule B de densité volumique de charge ρ(r) = k r e r/a, où a et k sont des constantes. Comment se comporte cette charge lorsque R +? 4

5 Q B = d ou : = k = 4πk k r e r/a dr re r/a dr π π re r/a dr rdθ sin θdθ r sin θdφ on fait une intégration par partie: on pose : u = r u = 1 v = ae r/a v = e r/a dφ Q B = 4πk [ rae r/a] R R + 4πka e r/a dr = 4πkRae R/a + 4πk [ a 2 e r/a] R = 4πkRae R/a 4πka 2 e R/a + 4πka 2 ( = 4πka 2 1 e R/a (1 + R ) a ) Quand R + on a e R/a (1 + R a ) et donc Q B 4πka 2. Tout se passe comme si on avait une sphère de rayon a et de densité surfacique de charge σ(r,θ,φ) = k. Exercice III. Gradient d un champ scalaire et circulation d un champ vectoriel Calculer le gradient du champ scalaire: f (r, θ,φ) = cosθ/r 2 Compte tenu de la forme du champ scalaire, on utilise l expression du gradient en coordonnées sphériques fournie dans le formulaire. On a donc f = r f e r + 1 r θ f e θ + avec les notations r = r, θ = θ et φ = φ. 1 r sin θ φ f e φ = 1 ( ) 2cosθ er r 3 sinθ e θ Soit E(x,y,z) un champ vectoriel tel que E x = 2(ax + by 3 ), E y = 2(ay + 3bxy 2 ) et E z = (a,b,c constantes) 1. Calculer le potentiel V dont dérive le champ E. 5

6 On a par définition E = V. S il on adopte le système de coordonnées cartésiennes, on en déduit tout simplement que x V = 2(ax + by 3 ) V = ax 2 2by 3 x + k 1 (y,z) En dérivant notre nouvelle expression de V on obtient: y V = 2( 1 2 yk 1 (y,z) + 3bxy 2 ) En comparant avec l expression de E y on a: y k 1 (y,z) = 2ay. Par conséquent, V = a(x 2 + b 2 ) 2by 3 x + k 2 (z) Comme z V = E z = on obtient finalement: V(x,y,z) = a(x 2 + y 2 ) 2by 3 x + cste 2. Calculer la circulation C 1 de E entre les points (x =,y = ) et (x = 1,y = ). Vérifier qu on a bien C 1 = V(,) V(1,). Le champ E dérive d un potentiel donc sa circulation ne dépend pas du chemin suivi. On choisit alors le chemin le plus simple, selon l axe Ox, l(t) = t e x (ce qui équivaut à x(t) = t et y(t) = ), pour t [,1]. C 1 = t=1 t= E(x(t),y(t)) d l(t) = = V(,) V(1,) t=1 t= E(t,) dt e x = x=1 x= E x (t,)dx = x=1 x= 2axdx = a 3. Calculer la circulation C 2 du champ vectoriel B(ρ, φ, z) = k(r) e φ sur le cercle de centre O, de rayon R et d axe Oz, et où k est une fonction quelconque de r. Le chemin le long du cercle est paramétré, pour t [,2π], comme l(t) = R e ρ (t), où de manière équivalente comme ρ(t) = R et φ(t) = t. On trouve ensuite d l(t) en utilisant la dérivée de e ρ : d l(t) = Rd e ρ = R d e ρ dt dt = R dφ dt e φ dt = R e φ dt Finalement, C 2 = t=2π B(ρ(t) = R, φ(t), z = ) d l(t) = k(r)rdt = 2πRk(R) t= 6

7 Exercice IV. Divergence et rotationnel d un champ vectoriel Dessiner l allure des champs vectoriels suivant et calculer leur divergence et leur rotationnel. 1. A1 (x, y, z) = a 1 x e x div A 1 = a 1 rot A 1 = 2. A2 (x, y, z) = a 2 y e x div A 2 = rot A 2 = a 2 e z 3. A3 (ρ, φ, z) = a 3 ρ e ρ 7

8 En utilisant cette fois l expression de la divergence en coordonnées cylindriques on a: div A 3 = 2a 3 rot A 3 = A4 (r, θ, φ) = a 4 r 2 ( e r/r e r + sin θ e φ ) diva 4 = a 4 r r 2 e r/r rot A 4 = a 4 [ ] 2 cos θ er r 3 + sin θ e θ 8

9 Exercice V. Développements limités On rappelle la formule de Taylor à l ordre n : n x k f (a + x) = f (k) (a) = f (a) + x f (1) (a) + x2 k! 1! 2! k= f (2) (a) + x3 3! f (3) (a) +... xn n! f (n) (a) Calculer les développements limités au voisinage de zéro à l ordre 4 des fonctions suivantes : 1. f (x) = cos x f (x) = 1 x 2 /2 + x 4 /24 + o(x 4 ) 2. g(x) = sin x g(x) = x x 3 /6 + o(x 4 ) 3. h(x) = exp x h(x) = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 + o(x 4 ) 4. i(x) = (1 + x) n i(x) = 1 + nx + n(n 1)x 2 /2 + n(n 1)(n 2)x 3 /6 + n(n 1)(n 2)(n 3)x 4 /24 + o(x 4 ) Rappel: A(x) = o(x n ) si et seulement si A(x) x x, n x et B(x) = O(x n B(x) ) si et seulement si lim x x x <. n 9