Translations et vecteurs

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1 Translations et vecteurs A) Translation. 1. Définition. Soient trois points A, B et M. L image du point M par la translation qui transforme A en B est le point M tel que ABM M, dans cet ordre, soit un parallélogramme (aplati si les points A, B et M sont alignés). 2. Propriétés. Propriétés : Par la translation qui transforme M en M : L image d une droite est une droite parallèle. L image d un segment est un segment de même longueur. L image de deux droites parallèles est deux droites parallèles. L image de deux droites perpendiculaires est deux droites perpendiculaires. L image d un angle est un angle de même mesure. L image d un quadrilatère est un quadrilatère de même aire. L image d un cercle de rayon R est un cercle de rayon R. On pourra vérifier ces propriétés sur les dessins suivants :

2 Exercice n 1 : Construire l image de la figure par la translation qui transforme A en A. A A Exercice n 2 : Observer la figure ci-dessous : Compléter les phrases suivantes sans justifier : 1) L'image du point B par la translation qui transforme D en C est 2) L'image du point C par la translation qui transforme D en G est 3) Placer le point F tel qu il soit l image de G par la translation qui transforme B en D. 4) Quelle est la nature du quadrilatère BDFG. Justifier.

3 Exercice n 3 : Le quadrillage ci-dessous est constitué de triangles équilatéraux superposables. Construire, en utilisant le quadrillage, les figures suivantes (on fera apparaître clairement le contour de chaque figure ainsi que son numéro) : En bleu, la figure 2, transformée de la figure 1 par la translation qui transforme A en B. En vert, la figure 3, transformée de la figure 1 par la symétrie orthogonale d'axe ( ). En rouge, la figure 4, transformée de la figure 1 par la symétrie de centre S. B) Vecteur : définitions. 1. Vecteurs : définition «intuitive». Soit M l image de M par la translation qui transforme A en B, on a alors : Le point A se «dirige» vers B suivant une droite, une longueur et un sens. Le point M se «dirige» vers N suivant une droite parallèle, la même longueur AB et le même sens «de A vers B». C est pourquoi on parle de la translation de vecteur AB. On a lors AB = MN. Autrement dit, pour trouver l image du point M par la translation de vecteur AB on trace : La parallèle à la droite (AB) passant par M. On se déplace de «A vers B» sur cette droite. On reporte la longueur AB sur cette parallèle et on place le point N. Conclusion : Un vecteur c est : a) une direction «la droite» b) un sens «de A vers B» c) une longueur «AB». d) une translation de vecteur AB.

4 2. Vecteurs : définition «mathématiques». A tout couple de points (A ; B) est associé un vecteur AB. On peut noter ce vecteur par une seule lettre, par exemple u = AB. Quels que soient le vecteur u et le point A, il existe un point G et un seul tel que AG = u. u G La norme du vecteur AB est la longueur AB. Elle est notée AB = AB. A Deux vecteurs sont égaux lorsqu ils sont nuls tous les deux, ou bien lorsqu ils ont même sens, même direction et même longueur. Vecteurs particuliers : Lorsque A = B, on pose AA = u = 0, et on dit que u est le vecteur nul. Lorsque deux vecteurs ont même direction, même longueur mais des sens opposés ont dit que ces vecteurs sont opposés et on note BA = AB. Théorème : Lorsque les points A, B, C et D ne sont pas alignés, AB = CD signifie que ABDC est un parallélogramme. Propriété : I est le milieu de [AB] si et seulement si : AI = IB. Exercice n 4 : Lectures graphiques. À partir de la figure ci-contre, citer un vecteur : 1) opposé à CD ; 2) de même direction et de même sens que AC ; 3) de même direction que BC mais de sens contraire ; 4) égal à BA.

5 Exercice n 5 : Le triangle ABC est un triangle rectangle en B tel que : BCA = 60 et BC = 3cm. 1) Construire la figure en vraie grandeur sur votre feuille. 2) Calculer la longueur AB à 1mm près. 3) Placer le point D tel que D soit l image de A par la translation de vecteur BC. 4) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier. Exercice n 6 : ABCD est un parallélogramme. I est l image de B par la translation de vecteur AC. J est l image de A par la translation de vecteur BD. 1) Montrer que AB = CI. 2) Montrer que AB = JD. 3) En déduire que I, J, C et D sont alignés. Exercice n 7 : ABCD est un parallélogramme de centre O. I est le symétrique de A par rapport à B. J est le symétrique de B par rapport à C. K est le symétrique de C par rapport à D. L est le symétrique de D par rapport à A. 1) Comparer BI et KD. 2) Comparer JC et AL. 3) Quelle est la nature de IJKL? Exercice n 8 : 1) Construire un triangle ABC tel que : AB = 3,5 cm ; AC = 5 cm ; BC = 4 cm. 2) Construire le point D tel que D soit l image de C par la translation de vecteur AC. 3) Construire le point E symétrique de B par rapport à C. 4) Quelle est la nature du quadrilatère ABDE? Justifier la réponse C) Opérations sur les vecteurs. 1. Somme de vecteurs. La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur, noté u + v, définie ainsi : A un point quelconque, on place le point B tel que AB = u (ce point existe d après la première définition) puis le point C tel que BC = v (Idem) on a alors : u + v = AC. u u B v u + v v C A L égalité AB + BC = AC est appelée relation de Chasles.

6 La somme de deux vecteurs u et v, de même origine, est le vecteur u + v, définie ainsi : A un point quelconque, on place le point B tel que AB = u puis le point D tel que : AD = v (ce point existe car u et v ont même origine). On a alors : u + v = AC, où C est le point tel que ABCD soit un parallélogramme. B u A u u + v C v v Ce procédé est souvent appelé «règle du parallélogramme». D Exercice n 9 : Placer les points T, P et M tels que : DT = AC AM = AB + AC et EP = BA + AC. Exercice n 10 : Forces L action de trois forces sur un objet est modélisée par l action des trois vecteurs appliquée sur le point G qui représente le centre de gravité. Dessiner le vecteur somme des forces qui s appliquent sur l objet. Que peut-on en conclure?

7 Exercice n 11 : A, B et C sont trois points du plan. Compléter la figure ci-dessous. 1) Construire le point M image de A par la translation de vecteur BC. 2) Donner un vecteur égal au vecteur MA. 3) Construire K tel que : CA + CB = CK et démontrer que : CB = AK. 4) Démontrer que : MA = AK. Que peut-on en déduire pour le point A? Exercice n 12 : 1) Construire un triangle isocèle ABC de sommet A tel que AB = 4,5cm et BC = 5,4cm. Placer le point H, pied de la hauteur issue de A, et le point M, milieu de [AB]. 2) Justifier que H est milieu de [BC]. 3) Calculer la longueur du segment [HA]. 4) Construire le point D, symétrique du point M par rapport au point H. Quelle est la nature du quadrilatère BMCD? Justifier la réponse. 5) Démontrer que : AM + BD = MD. Exercice n 13 : On considère un rectangle MNPQ. On désigne par A, B, C et D les milieux respectifs de [MN], [NP], [PQ] et [QM]. Recopier et compléter les égalités suivantes en utilisant les points de la figure. 1) AB + AD = 2) CB + CD = 3) AC + DB = 4) AD + AB + CB + CD = 5) DA CD + BA CB = Exercice n 14 : Vrai ou faux? CDBE est un parallélogramme. [BC] et [DE] sont sécants en A. Des élèves ont écrit les phrases suivantes. Indiquer celles qui sont fausses et les corriger pour qu elles deviennent vraies. 1) D est l image de C par la translation de vecteur BE. 2) A est le milieu [DE] donc D est l image de A par la translation de vecteur EA. 3) BA + AC = BC donc A est le milieu de [AC]. 4) EC + EB = ED et EC EB = CB.

8 Exercice n 15 : Construire un triangle équilatéral ABC de 5cm de côté, puis placer les points M et N tels que : CM = CA + CB et BN = AC. Exercice n 16 : Soit ABC un triangle rectangle en A. Placer les points M, N, P et Q tels que : AM = AB + AC AN = AB AC AP = CA + BA AQ = AC AB. Exercice n 17 : Simplifier l écriture des vecteurs suivants en utilisant la relation de Chasles : w = MA MB AB et v = AB AC + BC BA. 2. Multiplication d un vecteur par un réel. Lorsque le vecteur u et un réel k sont non nuls, le vecteur k u = k u a : même direction que u. même sens que u lorsque k > 0, un sens contraire à u lorsque k < 0. pour norme le nombre k u. Lorsque u = 0, ou lorsque k = 0, on pose k u = 0. Théorème : Pour tous les vecteurs u et v et tous les réels a et b on a : 1) a ( u + v ) = a u + a v = a u + a v. 2) a ( b u) = ab u = abu. 3) ( a + b) u = a u + b u = a u + b u. 4) k u = 0 équivaut à k = 0 ou u = 0. Exercice n 18 : En utilisant la relation de Chasles, exprimer les vecteurs suivants en fonction de AB et AC : u = 2AB 3BC 3. Colinéarité et parallélisme. et v = 1 AB 3CB. 5 Dire que deux vecteurs non nuls AB et CD sont colinéaires signifie qu il existe un nombre k tel que AB = k CD. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur. Théorème : Dire que deux vecteurs non nuls AB et CD sont colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Dire que deux vecteurs non nuls AB et AC sont colinéaires équivaut à dire que les points A, B et C sont alignés.

9 Un vecteur directeur d une droite d est un vecteur dont la direction est celle de d. Autrement dit, dire que le vecteur u = CD est un vecteur directeur de la droite (AB) signifie que : CD 0 et (CD) est parallèle à (AB). En particulier, AB est un vecteur directeur de la droite (AB), et tous les vecteurs directeurs de cette droite sont les vecteurs k AB, où k est un réel non nul. Exercice n 19 : ABC est un triangle. Les points M et N sont tels que : AM = 2AB et AN = 2 3 1) Montrer que AM et AN sont colinéaires. 2) Que peut-on en déduire pour A, M et N? Exercice n 20 : Soit ABCD un parallélogramme et P est le milieu de [AD]. 1 Q est un point tel que : AQ = AB. 3 R est un point tel que : DR = BD. 1) Construire, sur le graphique ci-dessous, les points P, Q et R. 2) Points alignés? 1 a) Montrer que : PQ 1 = AB AD. 3 2 b) Montrer que : BD = AB + AD. 3 c) En déduire que PR = AB + AD. 2 d) En déduire le réel k tel que : PR = k PQ. e) Que peut-on en conclure pour les points P, R et Q? AC 2 3 BC.

10 Exercice n 21 : ABCD est un parallélogramme. 1) Construire, sur la figure ci-dessous, le point E tel que : AE = AC + BD 2) Construire, sur la figure ci-dessous, le point F tel que : BF = 2BC. 3) Démontrer que : AC + BD = 2BC. Exercice n 22 : Soit ABC un triangle. 1) Construire, sur la figure ci-dessous, les points D et E tels que : a) CD = 2CA + 2BA. b) 2) Droites parallèles? a) Construire, sur la figure ci-dessous, les points M et N tels que : AM = 2AB et CN = 3CA b) Exprimer AN en fonction de AC. c) En déduire que MN = 2CB. d) Que peut-on en conclure pour les droites (BC) et (MN)? 5 AE = BC + 2CA. 3

11 Exercice n 23 : ABC est un triangle. 1) Construire le point D tel que AD = AB + AC. 2) Démontrer que [AD] et [BC] ont même milieu. 3) Construire le point E tel que AE = BC. 4) Démontrer que C est le milieu de [ED]. 5) Les droites (AD) et (BE) se coupent en I. 6) Que représente I pour le triangle ABC? 7) Prouver que AI = 1 3 AD. Exercice n 24 : ABC est un triangle 1) Placer, sur l annexe, le point D tel que : BD = 3BA + 2AC. 2) Placer, sur l annexe, le point E tel que : CE = CA + BA. 3) Exprimer la somme EC + CB + BD en fonction de BA. 4) En déduire que ED = BA. 5) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABED? Exercice n 25 : ABC est un triangle. I est le symétrique de A par rapport à B. K est l image du point B par la translation de vecteur CA. M est le point d intersection de (CK) et (AB). 1) Quelle relation lie : BI et AB? 2) Démontrer que ACBK est un parallélogramme. 3) Démontrer que M est le milieu de [KC]. 4) Quelle relation lie les vecteurs BI et BM? 5) En déduire ce que représente B pour le triangle CKI.

12 Exercice n 26 : Construire les points B, D, F, H, J, M, Q, S et U vérifiant les égalités suivantes : AB = u + v. LM = AZ + 2NZ. CD = w v. 1 PQ = PN. EF = 2 u + v + w. 3 5 GH = v. RS = NP + u + v. 3 TU = 2 u + RN. IJ = w v + u.