Polynésie Enseignement spécifique

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1 Polynésie 00. Enseignement spécifique EXERCICE 4 7 points) commun à tous les candidats) L annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. Partie A ) On considère la fonction g définie sur [, + [ par gx) =lnx)+ x. a) Cette question demande le développement d une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation. Démontrer que l équation gx) =0 admet sur [, + [ une unique solution notée α. b) Démontrer que lnα)+ = α. ) Soit la suite u n ) définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+ = lnu n )+. Partie B On désigne par Γ) la courbe d équation y = lnx)+ dans un repère orthonormal Cette courbe est donnée en annexe. O, i, j a) En utilisant la courbe Γ), construiresurl axedesabscisseslesquatrepremierstermes de la suite. b) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n u n+ 3. c) Démontrer que la suite u n ) converge vers α. On considère la fonction f définie sur [0, + [ par fx) =x )e x. On désigne par C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal Cette courbe est donnée en annexe. ) Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à, oupose: Fx) = x ft) dt = a) Démontrer que la fonction F est croissante sur [, + [. x t )e t dt. b) Montrer que pour tout réel x appartenant à [, + [, onafx) = xe x +. ). O, i, ) j. c) Démontrer que sur [, + [, l équationfx) = est équivalente à l équation lnx)+ = x. ) Soit un réel a supérieur ou égal à. OnconsidèrelapartieD a du plan limitée par la courbe C), l axe des abscisses et les droites d équations x = et x = a. Déterminer a tel que l aire, en unités d aire, de D a soit égale à et hachurer D a sur le graphique. http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

2 ANNEXE Cette page sera complétée et remise avec la copie à la fin de répreuve. EXERCICE 4 3 Γ) j C) O i http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

3 EXERCICE 4 : corrigé Partie A Polynésie 00. Enseignement spécifique ) a) La fonction g est dérivable sur [, + [ en tant que somme de fonctions dérivables sur [, + [ et pour x, g x) = x = x = x x. On a g ) =0 et pour x>, g x) <0.Donclafonctiong est strictement décroissante sur [, + [. Pour tout réel x, gx) = x lnx) ) = x lnx) ). x x x x lnx) ln X Or, lim = lim = 0 d après un théorème de croissances comparées. D autre part, lim x + x X + ) X x + lim x + lnx) x x =. Comme lim x) =, onendéduitque lim gx) =. x + x + = 0 et donc x Ainsi, la fonction g est continue ] et strictement] décroissante sur [, + [. Par suite, pour tout réel k de lim gx),g) =], ln ], l équationgx) =k admet une solution et une seule x + dans [, + [. Comme0 appartient à ], ln ] car ln >0), on a montré en particulier que l équation gx) =0 admet une unique solution dans [, + [. L équation gx) =0 admet une unique solution dans [, + [. b) L égalité gα) =0 s écrit lnα)+ α = 0 ou encore lnα)+ = α. ) a) Construction des quatre premiers termes de la suite u n ) n N 3 y = x Γ) u 0 u u u http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

4 b) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u n 3. C est vrai pour n = 0 car u 0 =. Soit n 0. Supposonsque u n 3. Alors,parcroissancedelafonctionlnsur]0, + [, ln )+ lnu n )+ ln 3)+ ou encore u n+ + ln 6 =, 7... et en particulier, u n+ 3. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, u n 3. Apartird ici,ondoitconstaterquel énoncén estpasrésoluble tel qu il est posé : le signe de u n+ u n ne peut être précisé que si l on connaît la position de u n par rapport à α. Laquestionquidevaitêtreposéeétaitdonc:«Montrer que pour tout entier naturel n, u n u n+ α». C est cette question que l on résout dorénavant. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, u n α. C est vrai pour n = 0 car u 0 = et puisque α d après la question )a). Soit n 0. Supposonsque u n α. Alorstoutd abordu n >0et donc u n+ existe. Ensuite, par croissance de la fonction ln sur ]0, + [, ln )+ lnu n )+ ln α)+ ou encore u n+ α d après la question )b). On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, u n α. Soit alors n N. u n+ u n = lnu n )+ u n = gu n ).Or u n α et donc, puisque la fonction g est décroissante sur [, α], gu n ) gα) ou encore gu n ) 0 et enfin u n+ u n.onamontréque pour tout entier naturel n, u n u n+ α. c) Ainsi, la suite u n ) n N est croissante et majorée par α. Onendéduitquelasuiteu n ) n N converge vers un certain réel l élément de [, α]. Maintenant,enfaisanttendren vers + dans l égalité u n+ = lnu n )+, onobtient l = lnl)+ ou encore gl) =0. Maisalorsl = α par unicité de α. Onamontréque la suite u n ) n N converge vers α. Partie B ) a) La fonction f est continue sur [, + [. OnsaitalorsquelafonctionF est une primitive de la fonction f sur [, + [ ou encore F est définie et dérivable sur [, + [ et F = f. Par suite, pour tout réel x, F x) =fx) =x )e x.enparticulier,pourtoutréelx, F x) 0. Puisquela fonction F est positive sur [, + [, lafonctionf est croissante sur [, + [. b) Pour tout réel x supérieur ou égal à, posonsgx) = xe x +. La fonction G est dérivable sur [, + [ et pour tout réel x, G x) = e x x )e x = xe x e x =x )e x = fx). Donc la fonction G est une primitive de la fonction f sur [, + [. CommelafonctionF est aussi une primitive de la fonction f sur [, + [, onsaitqu ilexisteunréelc tel que pour tout réel x, Gx) =Fx)+C. En particulier, pour x =, onobtientg) =F)+C ou encore C = 0. OnendéduitqueF = G et donc que pour tout réel x de [, + [, Fx) = xe x +. c) Soit x un réel de [, + [. Fx) = xe x + = xe x = ln xe x) = ln lnx)+lne x )=0 lnx)+ x = 0 lnx)+ = x. ) La fonction f est continue et positive sur [, a]. DoncairedeD a )= a ft) dt = Fa). Maintenant, d après la question précédente, Fa) = lna)+ = a ga) =0 a = α. http :// c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.

5 3 y = x Γ) α C) http :// 3 c Jean-Louis Rouget, 04. Tous droits réservés.