Terminale S Vendredi 13 décembre 2013 MINI BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S OBLIGATOIRE. Durée de l épreuve : 3 HEURES

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1 MINI BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 3 HEURES Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur, pas leur échange. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. OBLIGATOIRE Attention : Chaque exercice sera rédigé sur une copie double, ainsi vous devez rendre au moins 4 copies doubles. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : votre nom et prénom votre spécialité : mathématiques, sciences-physiques, S.V.T, S.I. ou I.S.N. votre classe : TS1, TS2 ou TS3. Avant de composer, le candidat s assurera que le sujet comporte bien 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5. Lycée Pierre-Gilles de Gennes Page 1 / 5

2 Exercice 1 Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 6ex e 2x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; #» ı, #» j). 1. a) Démontrer que pour tout réel x, f(x) f( x) = 0. b) En déduire une propriété de la fonction f, puis une propriété de la courbe C. 2. a) Justifier que f est dérivable sur R, puis montrer f (x) = 6ex (e 2x 1) (e 2x +1) 2. b) Étudier le signe de f (x), puis en déduire le tableau de variations de f. 3. a) On admet que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α positive. Déterminer à l aide de la calculatrice l arrondi au millième de α. b) Construire la courbe C, unité graphique 2 cm pour une unité sur chaque axe. Vous préciserez dans un tableau les coordonnées d au moins 5 points d abscisses positives. 4 points Exercice 2 Soit f la fonction définie sur l intervalle [0;+ [ par f(x) = 5x 1+4x. La courbe C représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est donnée en annexe. On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 1 2 et u n+1 = f(u n ) pour tout entier naturel n. 5 points 1. a) Construire sur l axe des abscisses de la figure donnée en annexe les trois premiers termes de la suite (u n ) en laissant apparents les traits de construction. b) À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite (u n ) et sur son comportement lorsque n tend vers +? 2. a) Calculer u 1 et u 2. b) Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u n < 1. On pourra étudier et utiliser les variations de f. c) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. d) En déduire que la suite (u n ) converge vers l. 3. Soit (v n ) la suite définie par v n = u n 1 u n pour tout entier naturel n. a) Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 5. b) Exprimer v n en fonction de n, pour tout entier naturel n. c) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 5n 5 n +1. d) Déterminer la limite de la suite (u n ). Lycée Pierre-Gilles de Gennes Page 2 / 5

3 Exercice 3 Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au millième. 6 points Partie A Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 75 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 25 % chez le fournisseur B. 15 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 25 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : évènement A : «la boîte provient du fournisseur A» ; évènement B : «la boîte provient du fournisseur B» ; évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides». 1. Traduire l énoncé sous forme d un arbre pondéré. 2. a) Quelle est la probabilité de l évènement B S? b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B? Partie B Le gérant d un salon de thé achète 10 boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe au prélèvement de 10 boîtes le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. Partie C À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : «82,5 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides». Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite effectuer un contrôle. À cette fin, il prélève n boîtes au hasard dans le stock du grossiste et compte celles qui ont des traces de pesticides. On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à 0,825. On note C n l évènement : «au moins une boîte contient des traces de pesticides». 1. Exprimer en fonction de n la probabilité de l événement C n. 2. L inspecteur veut connaître le nombre minimal de boîtes qu il doit prélever pour que la probabilité d avoir au moins une boîte contenant des pesticides soit supérieure à 90 % Déterminer ce nombre à l aide de la machine à calculer. Lycée Pierre-Gilles de Gennes Page 3 / 5

4 Exercice 4 5 points Candidat n ayant pas choisi l enseignement de spécialité Voici cinq affirmations, pour chacune d entre elles, dire si elle est vraie ou fausse en argumentant la réponse. Chaque réponse correcte et bien justifiée rapporte 1 point. Si aucune justification n est donnée, la réponse ne rapporte pas de point. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse sera valorisée. 1. z désigne un nombre complexe. 3z 2 Affirmation 1 : L équation = z admet deux solutions complexes conjuguées. z z désigne un nombre complexe non nul. 1 Affirmation 2 : z 1 est un nombre réel. z 3. Une personne a placé 3000e sur un compte épargne le 1 er janvier 2002, puis elle a versé 350e sur son compte le 1 er janvier de chaque année suivante. Le compte est rémunéré à 4 %, ce qui signifie que tous les ans, au 1 er janvier, la banque verse sur le compte 4 % de la somme présente l année précédente. On note s n la somme présente sur le compte au 1er janvier de l année 2002+n. Affirmation 3 : L algorithme ci-dessous permet de calculer le montant sur le compte épargne à l année 2002+n. Si ce n est pas le cas, modifier l algorithme en conséquence. Variables : n, i : entiers ; s : réel Début : Saisir n Affecter 3000 à s Pour i allant de 0 à n Affecter à s la valeur 0,04s FinPour Afficher s Fin. 4. Sur la figure ci-dessous, ABCD est un tétraèdre, E est le milieu du segment [AB] et F est le milieu du segment [AC] ; G est un point du segment [AD] distinct du milieu de [AD] ; les droites (EG) et (BD) sont sécantes en I et les droites (FG) et (CD) sont sécantes en H. A E G H B F D I C Affirmation 4 : La droite (HI) est parallèle à (BC) et (EF). 5. SABCD est une pyramide à base carrée de hauteur [SA]. Les triangles SAB et SAD sont rectangles en A. Affirmation 5 : SDC est un triangle rectangle. Lycée Pierre-Gilles de Gennes Page 4 / 5

5 Exercice 2 Annexe à rendre avec la copie Lycée Pierre-Gilles de Gennes Page 5 / 5