Formulation locale de l électrostatique

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1 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 hapitre II Théorème de Gauss. Formulation locale de l électrostatique II.a. Angles solides 1. Rappel sur les angles plans L angle solide est une généralisation à l espace de la notion d angle plan. Revenons sur cette dernière notion. onsidérons un point O, une courbe plane orientée et un élément de longueur dl au voisinage d un point M de la courbe. Utilisons les coordonnées cylindriques (ρ, φ) ( u z est choisi perpendiculairement au plan de la courbe) et introduisons le vecteur tangent t et le vecteur normal n à la courbe ; t est dans le sens de et n est choisi de telle sorte que ( n, t, u z ) est une base orthonormée directe. Le segment orienté dl est vu depuis O sous un angle (plan) orienté dφ et dl cos α = ρ dφ, où α = ( t, u φ ) = ( n, u ρ ). omme u ρ n = cos α, dφ = dl n u ρ (en radians). onsidérons deux demi-droites D 1 et D passant par O et faisant des angles φ 1 et φ (dans [0, π[) avec u x. Quels que soient les points initial et final sur D 1 et D, respectivement, et quelle que soit la courbe continue reliant ces points, dl n u ρ = φ φ 1 + k π, (II.) ρ où k = k + k et k + (resp. k ) est le nombre de tours complets de autour de O dans le sens trigonométrique (resp. horaire). En particulier, si la courbe est fermée et fait un unique tour complet autour de O dans le sens trigonométrique, elle est vue sous un angle dφ = π. i elle est fermée mais n enlace pas O, dφ = 0 (qui n est donc pas toujours l angle sous lequel la courbe est vue).. Définition et propriétés des angles solides Généralisons au cas d une surface dans l espace. En chaque point de cette surface, il existe deux vecteurs unitaires normaux à la surface et opposés. omplétons par une surface de telle sorte que soit fermée et choissons en tout point M le vecteur unitaire n dirigé vers l extérieur de. Le choix de étant arbitraire, la direction de n l est aussi mais cette procédure assure que le sens de n est cohérent en tout point. (Une autre façon de faire, équivalente, est de choisir n arbitrairement en un certain point M parmi les deux possibilités et de prendre n en tout autre point M de telle sorte que n(m) et n(m ) pointent du même côté de la surface.) Un élément de surface d de est vu depuis O sous un angle solide dω = d n u r. (II.3) r ette quantité est en stéradians (symbole «sr», unité sans dimension). L angle solide sous lequel est vue est Ω = dω. (II.4) 3 ρ (II.1)

2 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 (Du moins, si aucune partie de ne fait écran à une autre, vues depuis O.) onsidérons un demi-cône K de sommet O (au sens mathématique, c.-à-d. l ensemble des demi-droites issues de O s appuyant sur un contour fermé ; il ne s agit pas forcément d un demi-cône de révolution). Pour toute surface s appuyant sur K et ayant la même orientation, Ω a la même valeur. i d est un élément de sphère de centre O et de rayon r compris dans [θ, θ + dθ[ [φ, φ + dφ[, et n = ± u r, donc en choisissant n = u r, on obtient d = r sin θ dθ dφ dω = sin θ dθ dφ. Une calotte sphérique d axe (O, u z ) et de demi-angle θ est vue depuis O sous un angle solide Ω calotte (θ) = θ θ =0 π Avec θ = π, on obtient le résultat pour la sphère entière 1 : φ=0 Ω sphère = 4 π. dω = π (1 cos θ). De même pour toute surface fermée contenant O et ne se coupant pas. Pour une surface fermée ne contenant pas O, Ω = 0. II.b. Forme intégrale du théorème de Gauss 1. Flux. Énoncé du théorème de Gauss Le flux du champ électrostatique à travers une surface est Φ = E d, où d d n. Le flux élémentaire du champ produit par une charge Q i placée en O à travers une surface d à une distance r de O est Q i dφ i = 4 π r u r d n = Q i dω i, (II.10) 4 π où dω i est l angle solide sous lequel d est vue depuis Q i. Le flux total du champ produit par Q i à travers est donc Φ i = Q i Ω i. (II.11) 4 π Pour une surface fermée, on a donc Q i / si Q i est à l intérieur de, Φ i = 0 si Q i est à l extérieur de. (II.5) (II.6) (II.7) (II.8) (II.9) (II.1) Le flux à travers une surface fermée du champ électrique engendré par un ensemble de charges Q 1,..., Q n est donc Φ tot = Φ i = 1 Q i. (II.13) i On obtient ainsi la forme intégrale du théorème de Gauss : E d = Q int, (II.14) où Q int est la charge à l intérieur de la surface fermée. i Q i. Application : distribution à symétrie sphérique La forme intégrale du théorème de Gauss permet de calculer aisément et directement (sans passer par ) le champ électrique si la distribution de charges est suffisamment symétrique. onsidérons une densité volumique de charge ρ ne dépendant que de la distance r à un point O. Une telle distribution est à symétrie sphérique : 1. La sphère étant une surface fermée, on doit prendre n vers l extérieur, soit n = + u r.. Attention, d n est pas une variation infinitésimale d un vecteur, mais une quantité vectorielle infinitésimale. 4

3 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 elle est symétrique par rapport à tout plan contenant O, donc en n importe quel point M de coordonnées sphériques (r, θ, φ), E(M) appartient à tous les plans contenant O et M. On a donc E = E r (r, θ, φ) u r ; ρ est invariante par rotation autour de (O, u z ), donc E r ne dépend pas de φ ; ρ est invariante par rotation autour de (O, u φ ), donc E r ne dépend pas de θ. On a donc E = E r (r) u r. Appliquons maintenant le théorème de Gauss à la sphère de centre O contenant M. On a d = d u r, donc E d = E r (r) u r d u r = E r (r) d = E r (r) 4 π r = Q int(r), (II.15) où Q int (r) est la charge à l intérieur de la sphère de Gauss, d où E = Q int(r) 4 π r u r. (II.16) On a retrouvé, dans le cas plus général d une distribution de charges à symétrie sphérique, le résultat déjà obtenu pour une sphère et une boule uniformément chargée. II.c. Forme locale des équations de l électrostatique 1. Forme locale du théorème de Gauss ans prétention de rigueur, esquissons d abord une démonstration du théorème de Ostrogradski/Green. onsidérons d abord un pavé droit infinitésimal [x, x + dx] [y, y + dy] [z, z + dz] et calculons le flux d un vecteur f à travers la surface de celui-ci. On a dφ f (x, y, z) dy dz ( u x ) + f (x + dx, y, z) dy dz (+ u x ) + f (x, y, z) dx dz ( u y ) + f (x, y + dy, z) dx dz (+ u y ) + f (x, y, z) dx dy ( u z ) + f (x, y, z + dz) dx dy (+ u z ) = ( f x [x + dx, y, z] f x [x, y, z]) dy dz + ( f y [x, y + dy, z] f y [x, y, z]) dx dz + ( f z [x, y, z + dz] f z [x, y, z]) dx dy. (II.17) Or f x (x + dx, y, z) f x (x, y, z) f x / x dx et de même pour f y et f z en y + dy et z + dz, donc ( fx dφ x + f y y + f ) z dx dy dz = div z f dτ, où dτ = dx dy dz est le volume du pavé et (II.18) div f = f = f x x + f y y + f z z (II.19) est la divergence de f. Pour une surface fermée divisée en pavés infinitésimaux, le flux à travers est égal à la somme des flux à travers chacun des pavés, car les flux à travers les surfaces des pavés tournées vers l intérieur de se compensent (prendre deux pavés contigus). Pour toute fonction vectorielle f, on a donc f d = div f dτ (théorème d Ostrogradski/Green), (II.0) où est le volume délimité par. Appliquons ceci au théorème de Gauss. On a E d = div E dτ = Q int = ρ dτ. (II.1) eci étant vrai pour toute surface fermée, on en déduit la forme locale du théorème de Gauss : div E = ρ. (II.) Fonction δ (hors programme) Bien que formulée en terme de densité volumique de charge, l expression (II.) s applique aussi à une distribution discrète de charges Q 1,..., Q n. Notons r 1,..., r n les vecteurs positions de celles-ci. L expression 5

4 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 de ρ( r) est alors où ρ( r) = Q i δ (3) ( r r i ), i δ (3) ( r r i ) δ(x x i ) δ(y y i ) δ(z z i ) (II.3) (II.4) et δ est la fonction de Dirac (on dit parfois aussi un «pic de Dirac», voire un «Dirac» tout court). elle-ci possède les propriétés suivantes : δ(0) = ; δ(x) = 0 si x 0 ; δ(x) dx = 1. x= On a donc bien ρ( r) = 0 si, pour tout i, r r i ; ρ( r i ) = sgn(q i ) ; Q i δ (3) ( r r i ) dτ = Q i. La notation «δ(x) =...» utilisée dans les deux premières propriétés est abusive car δ n est en fait pas une fonction (la valeur δ(x) n est pas définie), mais une distribution, c.-à-d. un objet mathématique généralisant la notion de fonction. Plus précisément, δ est l objet tel que, pour toute fonction ϕ de R dans R indéfiniment dérivable et nulle hors d un intervalle borné de R, ϕ(x) δ(x) dx = ϕ(0). (II.5) x= Or, pour toute suite de réels (α j ) tendant vers 0 quand j et pour toute suite de fonctions ( f j ) de R dans R +, nulles hors de [ α j, α j ] et telles que f x= j(x) dx = α j f x= α j (x) dx = 1 (donc de plus en plus piquées vers j 0), on a αj lim ϕ(x) f j (x) dx = lim ϕ(x) f j (x) dx = φ(0). (II.6) j x= j x= α j Bien que lim j 0 f j ne soit pas définie, au sens de la convergence ponctuelle de fonctions, puisque lim j 0 f j (0) =, les expressions (II.5) et (II.6) permettent de considérer δ comme la limite de la suite de fonctions ( f j ) au sens des distributions.. Rotationnel de E. Théorème de Helmholtz Remarquer que la forme locale ne suffit pas pour déterminer E à partir de ρ, car on peut rajouter à E n importe quelle fonction f de divergence nulle (par exemple f = x u x y u y ) et obtenir une autre solution de (II.). Des considérations de symétrie peuvent permettre de préciser E (cf. II.b.), mais, dans le cas général, il faut compléter la forme locale du théorème de Gauss par d autres contraintes. Une première contrainte est fournie par l équation (I.5) du chapitre I. ur tout chemin fermé, on a E d r = 0. Or, pour toute fonction vectorielle f, f d r = rot f d (théorème de tokes), (II.7) où est une surface quelconque s appuyant sur. Le vecteur d est orienté de manière cohérente avec l orientation de. On utilise pour cela la règle suivante. Règle de la main droite : si l index est placé tangentiellement à la courbe et qu il pointe dans le sens adopté pour celle-ci, avec la paume vers l intérieur de la courbe, alors la surface est orientée dans le sens indiqué par le pouce. Le vecteur rot f («curl f» en anglais) est le rotationnel de f : rot f = f = f z y f y z u x + ( fx z f z x ) u y + f y x f x u z. y (II.8) Appliquons le théorème de tokes à E. Pour toute courbe fermée, rot E d = E d r = 0, donc, en tout point, rot E = 0. (II.9) (II.30) 6

5 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 (ette relation n est pas vraie hors du cadre de l électrostatique.) Les équations (II.) et (II.30) ne suffisent toujours pas à déterminer le champ électrostatique de manière unique, car si E les satisfait, alors E+ c te (par exemple) aussi. La dernière contrainte porte sur le comportement asymptotique du champ : E doit tendre vers 0 à l infini. Théorème de Helmholtz i ρ tend vers 0 plus vite que 1/r (donc en particulier si la distribution de charges est spatialement bornée), il existe une et une seule solution telle que div E = ρ/ ; rot E = 0 ; lim r E = 0. ette solution est donnée par E = grad, où (M) = 1 ρ(p) dτ. 4 π PM (II.31) On peut se demander quel est l intérêt de remplacer la loi de oulomb par un formulation locale constituée de trois lois ( F = q E, div E = ρ/, rot E = 0) et une condition sur E à l infini. En électrostatique, il est faible. En revanche, la formulation locale s adapte aisément au cas de charges mobiles (il s agit alors d électrodynamique), contrairement à la loi de oulomb (qui n est vraie que pour des charges statiques, rappelons-le). Par ailleurs, une formulation locale est naturelle pour décrire la propagation de proche en proche, par l intermédiaire d un champ, de l interaction électromagnétique. P 3. Équations de Poisson et de Laplace Pour toute fonction scalaire f, div( grad f ) = f = f = f, où f = f x + f y + f z est le laplacien scalaire. De div E = ρ/ et E = grad, on déduit l équation de Poisson : (II.3) = ρ. (II.33) Dans une zone vide de charges, l équation de Poisson se réduit à l équation de Laplace : = 0. (II.34) ette équation apparaît dans différentes branches de la physique. es solutions obéissent au théorème de l extrémum : n admet pas d extrémum dans toute zone où = 0. Un maximum ou un minimum de ne peut donc être atteint qu à la surface d un volume vide de charges. Une conséquence de ce théorème est le théorème d unicité suivant : le potentiel est déterminé de manière unique par la distribution des charges dans un volume et par la valeur de ou celle de grad n 3 en tout point P de la surface délimitant ce volume, n étant un vecteur normal à la surface en P. Donc, si on trouve, par n importe quel moyen, une solution de l équation = ρ/ dans satisfaisant les conditions sur à la surface de, cette solution est la bonne. II.d. Énergie électrostatique alculons à nouveau l énergie potentielle électrostatique interne d une distribution D de charges. On a p (D) = 1 ρ(p) (P) dτ = ε 0 (div E) dτ, (II.35) P où est le volume contenant D, ρ est la densité volumique de charge propre à D, et et E sont le potentiel et le champ produits par D. Or, pour toute fonction vectorielle f et toute fonction scalaire g, on a (div f ) g = div( f g) f grad g. (II.36) 3. Une contrainte sur en certains points de et sur grad n en les autres points de suffit à fixer dans. Néanmoins, n est déterminé qu à une constante additive près si n est connu en aucun point de. Remarquer par ailleurs que, au signe près, grad n est la composante du champ électrique normale à la surface. 7

6 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 Par ailleurs, d après le théorème d Ostrogradski, div( f g) dτ = f g d, où est la surface délimitant le volume et d est un élément de surface de. On a donc p (D) = ε 0 E d ε 0 E grad dτ = E d + E dτ (II.37) (II.38) (II.39) puisque E = grad. L équation (II.35), et par conséquent (II.38) aussi, reste valable pour tout volume délimité par une surface englobant, puisque (pour D) ρ = 0 dans \. onsidérons en particulier une sphère de rayon r, dont le centre O est à l intérieur de la distribution bornée de charges. À grande distance, le champ et le potentiel créés par chaque charge sont respectivement en O(1/r ) 4 et en O(1/r). Il en est donc de même du champ et du potentiel total à la surface de la sphère, donc, sur, E = O(1/r 3 ). La surface de la sphère valant 4 π r, E d ) 1 r = O( 0. (II.40) r La sphère de rayon englobant l Univers entier (), on a p (D) = E (P) dτ. (II.41) P La quantité E (P)/ porte le nom de densité volumique d énergie électrostatique en P. Remarquer que la valeur de p donnée par l expression (II.41) et déduite de l équation (II.35) est toujours positive, alors que celle d une distribution discrète, (1/) i q i i (équation (I.79)), peut être négative. eci vient du fait la première prend en compte l énergie propre de chaque charge, contrairement à la deuxième. onsidérons deux distributions de charges D 1 et D (pouvant éventuellement occuper le même volume mais constituer de charges distinctes), caractérisées par les densités volumiques de charge ρ 1 et ρ et produisant les champs E 1 et E. Le champ produit par D 1 D est E 1 + E, donc où et p (D 1 D ) = p (D 1 ) = ( E 1 + E ) dτ = p (D 1 ) + p (D ) + E p (D 1 D ), E 1 (P) dτ, Eint P E p (D 1 D ) = p (D ) = P E 1 (P) E (P) dτ E (P) dτ (II.43) P sont, respectivement, l énergie propre de D 1, celle de D et l énergie d interaction entre D 1 et D. (II.4) (II.44) II.e. Relations de passage onsidérons une nappe N chargée, c.-à-d. une distribution surfacique de charges, séparant une zone Z 1 d une zone Z. Notons σ la densité surfacique de charge en un point M de N et n 1 le vecteur normal à N en M dirigé de Z 1 vers Z. omparons les champs électriques E 1 et E dans Z 1 et Z au voisinage de M. 1. omposante normale de E Pour cela, appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de révolution d axe (M, n 1 ), traversé par la nappe et fermé dans Z 1 et Z, respectivement, par des surfaces 1 et perpendiculaires à n 1. L aire de 1 et est infinitésimale. La longueur du cylindre selon n 1 est de h/ dans Z 1 et de même dans Z. Notons 3 la surface parallèle à n 1. On a = 1 3, donc E d = E d + E d + 1 E d = Q int 3 = σ, (II.45) 4. Pour le champ, «E = O(1/r ) quand r» signifie qu il existe deux réels K et R tels que, pour tout point M, si r OM R, on a E(M) K/r. 8

7 Michel Fioc Électromagnétisme et électrocinétique (P01) UPM, 016/017 car l aire de la portion de nappe à l intérieur du cylindre vaut. Faisons tendre la hauteur du cylindre vers 0. On a lim h 0 E d = 0, donc 3 ( ) σ = lim E d ε + E d, (II.46) 0 h 0 1 ur 1, d = d ( n 1 ), donc lim E d = E 1 d n 1 = ( E 1 + E h 0 1 ) d n 1 = E 1, (II.47) où E 1 E 1 n 1, la composante E 1 E n 1 1 est perpendiculaire à la nappe N et la composante E 1 E 1 E 1 est parallèle à N. De même, sur, d = d (+ n 1 ), donc lim E d = +E. (II.48) h 0 En divisant par, on obtient finalement E E 1 = σ. (II.49). omposante tangentielle de E Pour établir la relation entre E 1 et E, considérons un rectangle orienté de centre M, traversé par la nappe, et dont les côtés opposés 1 et, de longueur infinitésimale l, sont perpendiculaires à n 1. La longueur des côtés 3 et 4, parallèles à n 1, est de h/ dans Z 1 et Z. On a = 1 3 4, donc E d r = E d r + E d r + E d r + E d r = 0. (II.50) Faisons tendre h vers 0. On a lim h 0 E d r = lim h 0 E d r = 0, donc 3 4 ( ) lim h 0 1 E d r + E d r = 0. (II.51) Notons t le vecteur unitaire normal à n 1 orientant 1. On a d r = dl t sur 1 et d r = dl t sur. lim E d r = l E 1 t et lim E d r = l E t, h 0 1 h 0 donc E t E 1 t = 0. eci étant vrai pour tout t perpendiculaire à n 1, (II.5) E E 1 = 0. (II.53) 3. Discontinuité de E à la traversée d une nappe de chargée En combinant (II.49) et (II.53), on obtient E E 1 = σ n 1, (II.54) où σ est la densité surfacique de charge en un point M d une nappe de charges, E 1 et E sont les champs au voisinage de M dans les zones Z 1 et Z séparées par la nappe, et n 1 est un vecteur unitaire, normal à la nappe en M et orienté de Z 1 vers Z. 9

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