EILCO : Analyse Numérique Chapitre 2 : Quadrature H. Sadok

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1 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss EILCO : Anlyse Numérique Chpitre : Qudrture H. Sdok

2 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Pln 1 Introduction Bibliogrphie Introduction Construction de formules élémentires Remrques Méthodes des rectngles : n=0 Méthodes des trpèzes : n=1 Méthodes de Simpson : n= 3 Formules Composites 4 Méthode de Guss Polynômes orthogonux

3 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Bibliogrphie Méthode Introduction de Guss Bibliogrphie A. Qurteroni, R. Scco et F. Sleri, «Méthodes Numériques pour le Clcul Scientifique», Springer-Verlg Frnce, Pris, 000. S. Guerre-Delbrière et M. Postel, «Méthodes d pproximtion, Equtions différentielles, Applictions Scilb», Ellipses, Pris, 004. M. Crouzeix et A. L. Mignot, «Anlyse Numérique des Equtions Différentielles», Msson, Pris, 1983.

4 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Bibliogrphie Méthode Introduction de Guss Introduction On se propose de clculer l integrle I = f (x)dx. Lorsque f (x) = e x, on ne connit ps explicitement l vleur de I, c est pourquoi nous llons l pprocher. L idée de bse est d écrire f (x) = p(x) + e(x) ou p est un polynôme d interpoltion et d integrer : f (x)dx = p(x)dx + e(x)dx.

5 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Méthodes élémentires d interpoltion Si p n est le polynôme d interpoltion, lors p n peut s ecrire dns l bse de Lgrnge : p n (x) = n i=0 L i(x)f (x i ). et donc f (x)dx = n f (x i ) i=0 L i (x)dx+e Q (f ) = n A i f (x i ) +E Q (f ). i=0 De plus l expression de l erreur est donnée pr Expression de l erreur E Q (f ) = 1 n (n+1)! i=0 (x x i) f (n+1) (ξ x )dx = [x 0,..., x n, x] n i=0 (x x i) dx

6 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Remrques Les coefficients A i sont déterminés de telle sorte que l ereur de qudrture E Q (f ) soit nulle lorsque f E, E étnt un ensemble de fonctions. définition On dir que l formule de qudrture f (x)dx = n A i f (x i ) + E Q (f ). i=0 est excte sur l ensemble E si et seulement si E Q (f ) = 0, f E Dns l prtique E est en générl l espce vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égl à n. n i=0 A i f (x i ) représente l vleur pprochée de l integrle.

7 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n = 0 et x 0 = On donc f (x)dx = A 0 f () + E Q (f ). vec E Q (f ) = 0, f P 0, ce qui veut dire que si f (x) = 1, x, lors E Q (f ) = 0. Pr conséquent A 0 = b, il nous reste à déterminer l erreur E Q (f ). Nous svons que E Q (f ) = (x ) f (ξ x )dx. Posons u(x) = x 0 x [, b] et v(x) = f (ξ x ) et ppliquons l formule de l moyenne. Il existe lors c ], b[ tel que formule des rectngles à guche f (x)dx = (b ) f () + (b ) f (c).

8 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n = 0 et x 0 = b On f (x)dx = A 0 f (b) + E Q (f ). vec E Q (f ) = 0, f P 0, ce qui donne A 0 = b. On E Q (f ) = (x b) f (η x )dx. Posons u(x) = x b 0 x [, b] et v(x) = f (η x ) et ppliquons l formule de l moyenne. Il existe lors d ], b[ tel que formule des rectngles à droite f (x)dx = (b ) f (b) (b ) f (d).

9 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n = 0 et x 0 = +b On donc f (x)dx = A 0 f ( + b ) + E Q(f ). (1) vec E Q (f ) = 0, f P 0, et donc A 0 = b. Or E Q (f ) = +b (x ) f (ξ x )dx. Cette fois, l fonction x +b n est plus de signe constnt dns [, b] et on ne peut plus ppliquer l formule de l moyenne directement. Nous llons voir mintnnt deux fcons de procéder :

10 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Première méthode de détermintion de l erreur Or x dx = b = (b ) + b Ce qui implique que l formule de qudrture (1) est excte sur P 1 ( E Q (f ) = 0, f P 1 ),

11 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n = 0 et x 0 = +b (suite) Posons p le polyôme d interpoltion de degré un, tel que p( + b ) = f ( + b ) et p ( + b ) = f ( + b ). Nous vons donc et et p(t) = f ( + b ) + (t + b )f ( + b ), f (t) p(t) = (t + b f (η t ) ) p(t)dt = (b ) f ( + b )

12 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Formule du point milieu On en déduit que f (t) dt = p(t) dt + (t + b f (η t ) ) dt Comme l fonction u(t) = (t +b ) 0 t ], b[, on pplique l formule de l moyenne et on sit donc qu il existe lors e ], b[ tel que formule du point milieu f (x)dx = (b ) f ( + b (b )3 ) + f (e). 4

13 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Deuxième méthode de détermintion de l erreur On remrque que l erreur peut être donnée pr l formule de Cuchy suivnte E Q (f ) = (x x 0) [x 0, x]dx Or [x 0, x 0, x] = [x 0,x] [x 0,x 0 ] x x 0. On en déduit que [x 0, x] = [x 0, x 0 ] + [x 0, x 0, x] (x x 0 ). Ce qui donne E Q (f ) = (x x 0) [x 0, x 0 ]dx + (x x 0) [x 0, x 0, x]dx. Mis (x x 0) dx = 0 Et donc pr utilstion de l formule de l moyenne et du fit que (x x 0 ) 0, x [, b], on obtient l expression de E Q (f ).

14 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n = 1, x 0 = et x 1 = b L formule de qudrture devient donc : f (x)dx = A 0 f () + A 1 f (b) + E Q (f ) et l erreur de qudrture est donc E Q (f ) = (x )(x b) f (ξ x )dx. Afin de simplifier les clculs nous llons utiliser le chngement de vribles suivnt

15 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Chngement de vribles Posons x = + t(b ), donc dx = (b ) dt et on obtient f (x)dx = (b ) ou nous vons posé et donc 0 f ( + t(b ))dt = (b ) g(t) = f ( + t(b )) g (t) = (b )f ( + t(b )) g (t) = (b ) f ( + t(b )). 0 g(t)dt, Nous llons obtenir les formules de Qudrture pour l fonction g sur [0, 1], puis nous llons déduire les formules pour f.

16 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Formule des Trpèzes pour g L formule de qudrture devient donc : 0 g(t)dt = B 0 g(0) + B 1 g(1) + E Q (g) et l erreur de qudrture est donc E Q (g) = 0 t(t 1) g (θ t )dt. Cette formule étnt excte sur P 1, nous en déduisons donc que : Si g(t) = 1, t [0, 1] lors, 0 dt = 1 = B 0 + B 1 Si g(t) = t, t [0, 1] lors, 0 tdt = 1 = B 1

17 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Formule des Trpèzes pour f En ce qui concerne l erreur de qudrture pour g. L utilistion de l formule de l moyenne du fit que t(t 1) 0, t [0, 1] nous permet de dire qu il existe µ [0, 1] tel que E Q (g) = t(t 1) 0 g (θ t )dt = g (µ) 0 t(t 1)dt = g (µ) 1. L formule de qudrture devient donc : 0 g(t)dt = 1 g(0) + 1 g(1) g (µ) 1 Ce qui nous permet de déduire l formule des trpèzes pour f. Il existe s [, b] tel que méthode des Trpèzes f (x)dx = b (f () + f (b)) (b )3 1 f (s)

18 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp n =, x 0 = x 1 = +b et x = b L formule de qudrture est donc : vec f (x)dx = A 0 f () + A 1 f ( + b ) + A f (b) + E Q (f ) E Q (f ) = (x )(x +b )(x b) f (ξ x )dx. 6

19 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Formule de Simpson pour g Nous llons procéder comme pour l méthode des Trpèzes, en utilsnt le même chngement de vrible x = + t(b ) 0 g(t)dt = B 0 g(0) + B 1 g( 1 ) + B g(1) + E Q (g) et l erreur de qudrture est donc E Q (g) = 0 t(t 1)(t 1 ) g (θ t )dt. 6 Cette formule étnt excte sur P, on : Si g(t) = 1, t [0, 1] lors, 0 dt = 1 = B 0 + B 1 + B Si g(t) = t, t [0, 1] lors, 0 tdt = 1 = 1 B 1 + B Si g(t) = t, t [0, 1] lors, 0 t dt = 1 3 = 1 4 B 1 + B

20 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Formule de Simpson pour f En résolvnt ce système linéire on obtient B 0 = B = 1 6 et B 1 = g(t)dt = 1 6 g(0) g(1 ) g(1) + E Q(g) Remrque Si g(t) = t 3, t [0, 1] lors, E Q (g) = 0, ce qui implique que l formule de Qudrture est excte sur P 3.

21 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Erreur de Qudrture En ce qui concerne l erreur nous llons utiliser l formule de Cuchy : E Q (g) = 0 t(t 1 )(t 1) [y 0, y 1, y, t]dt vec y 0 = 0, y 1 = 1 et y = 1. [y 1, y 0, y 1, y, t] = [y 0,y 1,y,t] [y 1,y 0,y 1,y ] t y 1. Donc [y 0, y 1, y, t] = [y 1, y 0, y 1, y ] + [y 1, y 0, y 1, y, t] (t y 1 ). Ce qui donne E Q (g) = 0 t(t 1 )(t 1) [y 1, y 0, y 1, y ]dt + 0 t(t 1 ) (t 1) [y 1, y 0, y 1, y, t]dt.

22 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Remrques Méthodes Guss des rectngles : n=0 Méthodes des trp Erreur de Qudrture : suite Or [y 1, y 0, y 1, y ] est indépendnte de t et 0 t(t 1 )(t 1)dt = 0 E Q (g) = 0 t(t 1 ) (t 1) [y 1, y 0, y 1, y, t]dt. De plus t(t 1 ) (t 1) 0, t [0, 1], on donc en utilisnt l formule de l moyenne, le théorème de Cuchy et le fit que 0 t(t 1 ) (t 1) dt = 1 10, on obtient Formule de Simpson f (x)dx = b 6 (f ()+4f ( + b (b )5 )+f (b)) 880 f (4) (z)

23 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Formultion générle Dns les méthodes composites, l intervlle d integrtion, J = [, b], est divisé en n sous intervlles, J k = [x k, x k+1 ], ou = x 0 < x 1 < < x n = b. Si l intervlle J k est suffisment petit, on utilise des formules élémentires de qudrture sur J k. xk+1 I k = f (x)dx = f (x)dx J k en utilisnt très peu d évlutions de f dns J k. formules composites I = f (x) dx = n k=1 x k xk x k 1 f (x)dx on suppose dns l suite du prgrphe que les bscisses sont équidistntes x i = + ih, pour i = 0,..., n

24 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Méthode Composite des rectngles à guche On utilise comme formule élémentire l formule des rectngles à guche xk f (x)dx = (x k x k 1 ) f (x k 1 ) + (x k x k 1 ) f (c i ). x k 1 f (x) dx = h[f ()+f (+h)+...+f (+(n 1)h)]+ h En écrivnt h = (b ) n et en utilsnt le fit que on obtient Méthode Composite des rectngles à guche n k=1 f (c i ) n n f (c i ). k=1 = f (c), f (x) dx = h[f ()+f (+h)+...+f (+(n 1)h)]+ h(b ) f (c).

25 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Méthode Composite des points milieux On utilise comme formule élémentire du point milieu xk f (x)dx = (x k x k 1 ) x k 1 f (x k 1 + (x k x k 1 ) ) + (x k x k 1 ) f (c i ) 4 On obtient l formule suivnte Méthode Composite des points milieux vec f (x) dx = h[f (+ h )+f (+3h )+...+f (+(n 1 )h)]+e Q(f ). E Q (f ) = h (b ) f (d). 4

26 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Méthode Composite des Trpèzes On utilise comme formule élémentire l formule des Trpèzes xk x k 1 f (x)dx = x k x k 1 [f (x k 1 ) + f (x k )] (x k x k 1 ) 3 1 f () (d i ). Et on obtient vec l même technique Méthode Composite des Trpèzes f (x) dx = h [f ()+f (+h)+f (+h)+...+f (+(n 1)h)+f (b)]+e Q(f ). vec E Q (f ) = h (b ) 1 f () (d)

27 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Méthode Composite de Simpson On utilise comme formule élémentire l formule de Simpson xk x k 1 f (x)dx = x k x k 1 6 [f (x k 1 ) + 4f ( x k 1+x k ) + f (x k )] (x k x k 1 ) f (4) (z i ). Et on obtient vec l même technique Méthode Composite de Simpson f (x) dx = h 6 [f () + 4f ( + h ) + f ( + h) f ( + (n 1)h) + 4f ( + (n 1 )h) + f (b)] + E Q(f ). vec E Q (f ) = h4 (b ) 880 f (4) (z)

28 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Méthode de Guss Dns les méthodes vues uprvnt les bscisses étient fixées. Nous llons dns cette section chercher les bscisses pour que l méthode de qudrture soit excte sur l espce des polynomes de degré le plus élevé possible. f (x)dx = n A i f (x i ) + E Q (f ). i=0 n = 0 L formule de qudrture que l on cherche l forme suivnte : f (x)dx = A 0 f (x 0 ) + E Q (f ). et mintennt nous vons deux inconnues A 0 et x 0.

29 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Exemple de construction de l méthode de Guss Si f (x) = 1, x [, b] lors, dx = (b ) = A 0 Si f (x) = x, x [, b] lors, xdx = b = A 0x 0 On obtient donc A 0 = (b ) et x 0 = +b, et on retrouve l formule du point milieu formule du point milieu f (x)dx = (b ) f ( + b (b )3 ) + f (e). 4

30 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Autre Exemple de construction de l méthode de Guss n = 1 L formule de qudrture que l on cherche l forme suivnte : f (x)dx = A 0 f (x 0 ) + A 1 f (x 1 ) + E Q (f ). et mintennt nous vons qutre inconnues A 0, A 1, x 0 et x 1. Nous llons fire les clculs pour l fonction g sur l intervlle [0, 1]. On une formule sous l forme : 0 g(t)dt = B 0 g(y 0 ) + B 1 g(y 1 ) + E Q (g). ou les inconnues sont B 0, B 1, y 0 et y 1

31 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Autre Exemple n = 1 suite Pour que cette formule soit excte sur P 3, on doit voir : Si g(t) = 1, t [0, 1] lors, 0 dt = 1 = B 0 + B 1 Si g(t) = t, t [0, 1] lors, 0 tdt = 1 = B 0y 0 + B 1 y 1 Si g(t) = t, t [0, 1] lors, 0 t dt = 1 3 = B 0y 0 + B 1y 1 Si g(t) = t 3, t [0, 1] lors, 0 t3 dt = 1 4 = B 0y B 1y 3 1 On donc un système de 4 équtions non linéires 4 inconnues. Pour le résoudre nous llons multiplier chque éqution pr y 0 et nous llons l retrncher de l suivnte. On obtient

32 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Autre Exemple n = 1 suite On déduit donc que B 1 (y 1 y 0 ) = 1 y 0 B 1 y 1 (y 1 y 0 ) = 1 3 y 0 B 1 y 1 (y 1 y 0 ) = 1 4 y 0 3 y 1 = 1 3 y 0 1 y 0 = 1 4 y y. 0 Et finlment y 0 et y 1 sont solution de l éqution du second degré suivnte x x = 0.

33 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Autre Exemple n = 1 suite Et donc y 0 = 1 3 6, y 1 = et B 0 = B 1 = 1. On donc obtenu l formule suivnte : g(t)dt = (g(1 6 ) + g(1 + 6 )) + E Q(g). 0 Il nous reste à déterminer l erreur E Q (g)

34 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Détermintion de l erreur n = 1 E Q (g) Posons p le polyôme d interpoltion de degré trois, tel que Nous vons donc p(y 0 ) = g(y 0 ) et p (y 0 ) = g (y 0 ). p(y 1 ) = g(y 1 ) et p (y 1 ) = g (y 1 ). g(t) p(t) = (t y 0 ) (t y 1 ) g(4) (η t ) 4 En intégrnt, on obtient : 0 g(t)dt = 0 p(t)dt + 0 (t y 0 ) (t y 1 ) g(4) (η t ) 4 dt

35 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Détermintion de l erreur E Q (g) Comme p est un polyôme de degré trois, on donc 0 p(t)dt = 1 (p(y 0) + p(y 1 )) = 1 (g(y 0) + g(y 1 )). D utre prt, en utilsnt l formule de l moyenne, on sit qu il exite η ]0, 1[ tel que E Q (g) = g(4) (η) 4 En intégrnt, on obtient : 0 0 g(t)dt = 1 (t y 0 ) (t y 1 ) dt = g(4) (η) 4 ( g( ) + g(1 + 0 (t t+ 1 6 ) dt ) 3 6 ) + g(4) (η) 430

36 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Formule de Guss n = 1 Formule de Guss n = 1 vec et f (x)dx = b (f ( + y 0 (b )) + f ( + y 1 (b )))+E Q (f ) y 0 = 1 3 6, y 1 = E Q (f ) = f (4) (e) (b )5 430

37 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Définition de l formule de qudrture de Guss On considère les integrles de type f (x) w(x) dx où w(x) > 0, x ], b[, w est intégrble sur ], b[ ( et b peuvent être infinis). L méthode de Guss consiste à déterminer les coéfficients A i et les noeuds x i de telle fcon que l méthode de Qudrture f (x)w(x) dx = n A i f (x i ) + E Q (f ). () i=0 soit excte sur P n+1. Il fut remrquer que les coéfficients A i et les noeuds x i dépendent de n c est pourquoi on les note en générl A (n) i et x (n) i.

38 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Théorème de crctéristion Posons Π n (x) = n i=0 (x x i) Théorème L formule de qudrture (47) est excte sur P n+1, si et seulement si Π n (x)x p w(x) dx = 0, pour p {0, 1,..., n}. On dit que l suite {Π n } est une suite de polynômes orthogonux pour le poids w dns l intervlle [, b]. Les formules de qudrture de Guss à n points ne sont ps exctes sur P n+.

39 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Exemple 1 n = 1, w(x) = 1 et [, b] = [0, 1]. D près le théorème de crctéristion, nous vons 0 (x x 0 )(x x 1 ) dx = 0 et 0 (x x 0 )(x x 1 ) x dx = 0. 0n obtient donc le système linéire 1 S P = S 1 P = 1 4 où S = x 0 + x 1 et P = x 0 x 1. Et on retrouve le fit que x 0 et x 1 sont les deux rcines de l éqution x x = 0.

40 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Exemple n = 1, w(x) = 1 x 1 et [, b] = [ 1, 1]. D près le théorème de crctéristion, nous vons 1 (x x 0 )(x x 1 ) dx = 0 et 1 x 1 (x x 0 )(x x 1 ) x 1 x dx = 0. Or x 1 dx = 0, 1 1 x 1 dx = π, x 1 x 1 dx = π 1 x et 1 x 3 1 x dx = 0. Ce qui donne x 0 = x 1, et x 0 x 1 = 1. D ou x 0 = 1, x 1 = 1 et A 0 = A 1 = π.

41 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Polynômes orthogonux On définit le produit sclire de deux polynômes P et Q pr < P, Q >= P(x)Q(x) w(x) dx définition Une suite de polynômes {P k } k N est une suite de polynômes orthogonux si et seulement si le degré de P i est i, < P k, P j >= 0, et j k. On suppose que P i est unitire, c est à dire que P i (x) = x i +....

42 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Construction des Polynômes orthogonux Propriété Les polynômes orthogonux vérifient les reltions suivntes : x [, b], P 1 (x) = 0 et P 0 (x) = 1 x w(x) dx P 1 (x) = x β 0, et β 0 = w(x) dx Les polynômes orthogonux vérifient une reltion de récurrence à trois termes, vec P k+1 (x) = xp k (x) β k P k (x) α k P k 1 (x) β k = xp k (x) w(x) dx P k (x) w(x) dx, α k = xp k(x) P k 1 (x) w(x) dx P k 1 (x) w(x) dx

43 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Construction des Polynômes orthogonux (suite) Propriété Les rcines des polynômes orthogonux sont réelles, distinctes et sont dns ], b[, Les x i de l formule de qudrture de Guss sont les rcines des polyômes de degré n + 1 pprtennt à l fmille de polynômes orthogonux sur l intervlle [, b] pr rpport à l fonction poids w. Donc en fonction de l intervlle, du poids w, on doit construire l suite {P k } des polynômes orthogonux. Pour clculer les x i, il fut clculer les rcines de P n+1 et ensuite clculer les coéficients A i. Nous llons voir mintennt quelques exemples clssiques:

44 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Les Polynômes orthogonux de Legendre Définition [, b] = [ 1, 1], w(x) = 1, x [ 1, 1]. Les polynômes ortogonux de Legendre vérifient l reltion de récurrence à trois termes : (k + 1)P k+1 (x) = (k + 1)xP k (x) kp k 1 (x), k = 1,,... vec P 0 (x) = 1 et P 1 (x) = x. Formule de Guss-Legendre vec A i = 1 f (x) dx = n A i f (x i ) + E Q (f ). i=0 (1 x i ) (n+1) [P n(x i )] et E Q(f ) = n+3 [(n+1)!] 4 (n+3)[(n+)!] 3 f (n+) (ξ)

45 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Les Polynômes orthogonux de Lguerre Définition [, b] = [0, [, w(x) = e x, x [0, [. Les polynômes ortogonux de Lguerre vérifient l reltion de récurrence à trois termes : (k + 1)L k+1 (x) = (k + 1 x)l k (x) kl k 1 (x), k = 1,,... vec L 0 (x) = 1 et L 1 (x) = 1 x. Formule de Guss-Lguerre 0 f (x) e x dx = n A i f (x i ) + E Q (f ). i=0 vec A i = x i (n+1) [L n(x i )] et E Q(f ) = [(n+1)!] (n+)! f (n+) (θ)

46 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Les Polynômes orthogonux d Hermite Définition [, b] =], [, w(x) = e x, x ], [. Les polynômes ortogonux d Hermite vérifient l reltion de récurrence à trois termes : H k+1 (x) = xh k (x) kh k 1 (x), k = 1,,... vec H 0 (x) = 1 et H 1 (x) = x. Formule de Guss-Hermite vec A i = f (x) e x dx = n n! π (n+1)[h n(x i )] et E Q (f ) = n A i f (x i ) + E Q (f ). i=0 π(n+1)! n+1 (n+)! f (n+) (α)

47 Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss Les Polynômes orthogonux de Chybechev Définition [, b] = [ 1, 1], w(x) = 1 x 1, x [ 1, 1]. Les polynômes ortogonux de Chybechev vérifient l reltion de récurrence à trois termes : T k+1 (x) = xt k (x) T k 1 (x), k = 1,,... vec T 0 (x) = 1 et T 1 (x) = x. Formule de Guss-Chybechev 1 vec x i = cos f (x) dx 1 x = π n + 1 [ ] (i+1)π n+ et E Q (f ) = n i=0 f (x i ) + E Q (f ). π n+ (n+)! f (n+) (β)