Maths. Spécial Bac MAGNARD. en 50 fiches détachables. Schémas-bilans pour tout mémoriser visuellement. QCM pour s évaluer + mémos calculatrices

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1 Spécial Bac Tout le programme en fiches ultra-visuelles! Maths S Tout le programme en 50 fiches détachables Schémas-bilans pour tout mémoriser visuellement QCM pour s évaluer + mémos calculatrices MAGNARD

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3 Spécial Bac Tout le programme en fiches ultra-visuelles! Maths S Vito Punta Professeur agrégé MAGNARD

4 Sommaire Conseils pour réussir sa 1 re S... 5 Second degré FICHE 1 Forme canonique et discriminant*... 7 FICHE Racines et factorisation FICHE 3 Paraboles FICHE 4 Inéquations* Fiche 5 Bilan Fonctions de référence FICHE 6 Racine carrée et valeur absolue FICHE 7 Fonctions associées u + k et λu FICHE 8 Fonctions associées u et 1... u 1 Fiche 9 Bilan... 3 Dérivation FICHE 10 Nombre dérivé et tangente... 5 FICHE 11 Fonction dérivée... 7 FICHE 1 Formules de dérivation... 9 Fiche 13 Bilan Variation des fonctions FICHE 14 Variations et extremums FICHE 15 Le tableau de variation FICHE 16 Traitements d inégalités Fiche 17 Bilan Suites numériques FICHE 18 Définir une suite* FICHE 19 Variations des suites... 43

5 FICHE 0 Comportements des suites à l infini* Fiche 1 Bilan Suites arithmétiques et géométriques FICHE Définition et propriétés des suites arithmétiques FICHE 3 Définition et propriétés des suites géométriques FICHE 4 Suites arithmétiques et sommes* FICHE 5 Suites géométriques et sommes* Fiche 6 Bilan Calcul vectoriel et droites FICHE 7 Vecteurs colinéraires et bases FICHE 8 Vecteurs et configurations* FICHE 9 Équations d une droite FICHE 30 Positions relatives de deux droites Fiche 31 Bilan Trigonométrie FICHE 3 Cercle trigonométrique et angles FICHE 33 Cosinus et sinus FICHE 34 Formules élémentaires FICHE 35 Formules d addition et de duplication FICHE 36 Équations trigonométriques Fiche 37 Bilan Produit scalaire FICHE 38 Définitions et calculs élémentaires FICHE 39 Détermination d angles et de longueurs* FICHE 40 Application du produit scalaire aux droites FICHE 41 Application du produit scalaire aux cercles Fiche 4 Bilan Statistiques FICHE 43 Quartiles et boîte à moustaches FICHE 44 Variance et écart-type Fiche 45 Bilan

6 Probabilités FICHE 46 Variables aléatoires FICHE 47 Moments d une variable aléatoire FICHE 48 Loi binomiale FICHE 49 Intervalle de fluctuation Fiche 50 Bilan ANNEXES Mémos calculatrices * Fiches dans lesquelles figurent des algorithmes. 4

7 Conseils pour réussir sa 1 ère S I Le programme de 1 ère S Le programme de mathématiques de 1 re S approfondit plusieurs points abordés en classe de de, telles que les fonctions et l étude de statistiques, tout en introduisant de nouvelles notions et outils. Parmi ceux-ci, vous serez amenés à utiliser des logiciels de calcul symbolique et de géométrie dynamique, ainsi que des tableurs pour le traitement de données, principalement en statistiques. Naturellement, vous devrez faire un usage raisonné de votre calculatrice et en connaître les fonctionnalités de base. Le programme s articule autour de trois parties : l analyse, qui introduit les concepts des suites et de la dérivation ; la géométrie, qui approfondit les notions de trigonométrie vues en de et aborde la notion de vecteur, grâce à laquelle vous approfondirez vos connaissances sur les droites et configurations usuelles en utilisant le produit scalaire ; l étude des statistiques et probabilités, qui vous permettra d acquérir des compétences en analyse de données. Tout au long de l année, vous poursuivrez aussi l étude de l algorithmique, dont vous devrez maîtriser les fondements. II Comment utiliser cet ouvrage? Pour réussir votre scolarité de 1 re S, vous devez bien sûr suivre assidûment les cours, réviser vos leçons et faire sérieusement vos exercices et devoirs-maison. Ces fiches sont organisées en plusieurs thèmes, sur lesquels vous êtes susceptibles d être interrogés au cours de l année. La connaissance de leur contenu est une condition nécessaire à la réussite de vos examens. Dans chaque fiche, vous trouverez les points essentiels à retenir sur le thème abordé, illustrés d exemples et de cas pratiques, qui vous permettront de vous exercer. Pour parfaire vos révisions avant un devoir sur table, utilisez la fiche-bilan qui conclut chaque partie. Le quiz-bilan vous permettra de contrôler rapidement si les notions abordées ont bien 5

8 été acquises. Vous y trouverez aussi un schéma-bilan pour réviser l une des méthodes de résolution de problèmes vue dans le cours. La maîtrise de la calculatrice est indispensable. Pour revoir les fonctionnalités de base de chaque modèle, vous pouvez utiliser les fiches mémos en fin d ouvrage. III Conseils pour réussir vos devoirs sur table Notez de manière claire sur votre copie les numéros des exercices et des questions. Soignez la présentation de votre copie, évitez de la surcharger de ratures, de renvois et de notes. Encadrez, ou du moins, faites ressortir très clairement les réponses aux questions. Préférez peaufiner ce que vous savez faire plutôt que de bâcler des réponses dont vous n êtes pas sûrs. 6

9 Forme canonique et discriminant 1 I Théorie FICHE 1. Forme réduite et ordonnée Un polynôme du second degré, réduit et ordonné suivant les puissances décroissantes à l inconnue x, s écrit sous la forme ax + bx + c où a, b et c sont trois constantes, avec a 0. Remarques 1. On impose a 0, sinon le polynôme serait de degré 1 ou 0.. Le polynôme 3x 5 + x est réduit, mais non ordonné, et le polynôme 5x x + 9x 1 n est pas réduit. Les formes réduites et ordonnées de ces deux polynômes sont respectivement 3x + x 5 et 4x + 9x Parce qu il y a trois termes différents dans l expression ax + bx + c, on l appelle parfois un trinôme.. Définitions On pose P(x) = ax + bx + c, avec a 0. Le discriminant de P(x) est le nombre b 4ac. On le nomme Δ (lire «delta»). La forme canonique de P(x) est l écriture a(x α) + β où : b α = a et β = Δ. 4a Remarques b Δ 1. On a donc ax + bx + c = a x + a. 4 a. N oubliez pas que le calcul b 4ac suppose que le polynôme soit écrit sous la forme ax + bx + c! Ainsi, si P(x) = 5x + 4 x, alors a = 1, b = 5 et c = Un algorithme L exécution de l algorithme suivant affiche la valeur du discriminant de ax + bx + c, une fois que l utilisateur a saisi les valeurs de a, b et c. Second degré 7

10 Variables : Traitement : Sortie : a, b, c et delta sont des nombres réels Demander à l utilisateur les valeurs de a, b et c Delta prend la valeur b^-4*a*c Afficher delta II Pratique Même si vous retenez par cœur la forme canonique, vous pouvez la retrouver en utilisant les techniques ci-dessous. 1. Cas particuliers Avec les identités remarquables, on sait que, pour tous réels u et v : (u + v) = u + uv + v (u v) = u uv + v. On trouve ainsi les formes canoniques de certains polynômes particuliers où β = 0, donc Δ = 0 aussi. Exemples : 1. 9x + 6x + 1 = (3x + 1), donc α= 1 et β = x + 10x 5 = (x 5), donc α = 5 et β = Dans le cas où b = 0, 6x + 7 est la forme canonique, avec α = 0 et β = 7.. Cas général Étape 1. Factoriser par a : ax b + bx + c = a x + a x + c. b Étape. Considérer que x + x est une identité remarquable incomplète : a b a x + + = a x c a x b a x b ba a c. Étape 3. Utiliser la factorisation de l identité remarquable : + + = b a x = a x a x c a x b ac b 4ac b. ba a 4a a 4a b Étape 4. Utiliser Δ : a x + + = + + a x c b Δ a x a a. 4 a Exemple : 3x + x + 5 = 3 1 x Second degré

11 Racines et factorisation I Théorie FICHE Dans toute la suite, on note P(x) = ax + bx + c avec a Racines Définition : on appelle racine de P(x) tout nombre annulant P(x), c est-à-dire tout nombre x 0 tel que P(x 0 ) = 0. Théorème : l existence de racine de P(x) dépend du signe de son discriminant. P(x) n a pas de racines si, et seulement si, Δ < 0. P(x) a une racine unique si, et seulement si, Δ = 0. Cette racine b est. a P(x) a deux racines distinctes si, et seulement si, Δ > 0. Ces deux b Δ b Δ racines sont et +. a a Remarques 1. On peut donc dire que l équation ax + bx + c = 0 a des solutions si, et seulement si, Δ 0.. Si on note S l ensemble de solutions de l équation ax + bx + c = 0, alors : si Δ < 0, S = Ø ; b si Δ = 0, S = ; a b Δ b Δ si Δ > 0, S = ; +. a a. Factorisation Théorème : on peut factoriser le polynôme ax + bx + c en un produit de deux facteurs du premier degré si, et seulement si, son discriminant est positif ou nul. b Si Δ = 0, alors ax + bx + c = a x + a. Si Δ > 0, alors ax + bx + c = a (x x )(x x ) où x et x sont les deux racines de ax + bx + c. Second degré 9

12 Remarques b b b 1. a x + = a x + x + a a a. C est pourquoi on dit par- b fois que la racine est une racine double. a. L identité remarquable (u v) (u + v) = u v permet une factorisation immédiate d un polynôme du second degré. Exemple : 5x 49 = (5x 7) (5x + 7). II Pratique du second degré 1. Résolutions d une équation à l aide de Δ Énoncé : résoudre les équations suivantes. 1. x 5x + 3 = 0.. x 7x = x + x + 1 = 0. Réponses 1. On trouve a =, b = 5, c = 3. Δ = 5 4 = 1. L équation a donc deux solutions, qui sont et 4 4, donc 1 et 3.. x 7x = 10 x 7x + 10 = 0. Donc Δ = ( 7) = = 9. On en déduit que l équation a deux solutions, qui sont et, c est-à-dire S = { ; 5}. 3. Dans ce cas, a = b = c = 1, donc Δ = 3, ce qui conduit à S = Ø.. Résolutions raisonnées Énoncé : résoudre les équations suivantes sans calculer Δ x 4x + 9 = 0.. x + 15 = x 64 = 0. Réponses 1. 16x 4x + 9 = (4x) 4x = (4x + 3). Donc 16x 4x + 9 = 0 4x + 3 = 0 x = 3 4. D où S = Puisque x 0, pour tout x, x Il n existe donc aucun nombre x tel que x + 15 = 0. C est pourquoi S = Ø. 3. 9x 64 = (3x) 8 = (3x 8)(3x + 8), d où 9x 64 = 0 (3x 8)(3x + 8) = 0, donc S = 8 3 ; Second degré

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14 Spécial Bac La collection conçue par les correcteurs du Bac 50 fiches ultra-visuelles pour réussir! Maths re S Tout le programme en fiches détachables Des synthèses de cours pour retenir l essentiel Des schémas-bilans pour tout mémoriser en un coup d œil Des encadrés zooms sur les points clés du programme Des conseils pour réussir votre année de 1 re S Des QCM pour s auto-évaluer Des mémos pour maîtriser les fonctionnalités de votre calculatrice Dans la même collection : Tout en Un Par matière Maxi Compil Fiches Compil 5, Compléments gratuits sur : 9:HSMCLA=\Z\V^[: