Concours commun polytechnique concours DEUG

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1 première parie : Polynômes de Bernoulli Concours commun polyechnique concours DEUG. a) B =, donc B = X + K avec K consane. e donc B = X + KX + C avec C consane. La condiion B () = B () donne + K + C = C donc K = = Donc B = X soi C = X + C. E donc B 3 = X3 B = X X 4 + CX + D. La condiion B 3() = B 3 () donne, B = X X C = b) On coninue : e donc. e B 4 () = B 4 () donne soi D = e B 4 = X4 4 e donc N B 3 = X3 B 4 = X X 4 + E donc B 5 = X5 B 3 = X3 B 4 = X4 4 X 4 + X + D + X 4 + DX + E D = X 4 + X X X3 7 + EX + F E = + X 4. Q es une (la) primiive de P d inégrale nulle sur [; ]. Ce n es pas une "condiion iniiale" du cours. L exisence e l unicié ne son pas évidenes. a) Soi P = Z X 7 P ()d la primiive nulle en de P:Elle exise par coninuié de P sur R. On cherche donc Q sous la forme Q = P +C. La condiion. Z Q(u)du = équivau à C = Il exise donc une unique consane C, donc un unique polynôme Q : Z x Z Z u L(P ) = P ()d P ()d du Comme pour ou (; ) réels l applicaion f linéaire d applicaions linéaires. Z Z P (u)du = Z Z u f()d es linéaire, L es linéaire comme composé e combinaison Si L (P ) = Q = on a P = soi P =. Le noyau de L es rédui à. L es injecive. P ()d du

2 La condiion L(P ) = car Z Z Q()d = monre que L n es pas surjecive. Par exemple il n exise pas de polynôme P el que d = On peu même monrer que Im(L) = es Q. Q R [X] ; Z b) On peu réécrire les condiions (P ) :de façon équivalene : Q()d = e que l unique anécéden de Q Q R [X] ; B =, 8n N, B n+ = B n, B n+ () = B n+ () Si la suie véri e (P ) on a pour n N, B n+ = B n e donc e donc B n+ = L (B n ) On a bien Z B n+ ()d = B = ; 8n N, B n+ = L(B n ) Réciproque: si pour ou n, B n+ = L(B n ) on a B n+ = B n e donc B n+ () B n+ () = (par dé niion de L ) Z Z B n+()d = B n+ () B n+ () = Z B n+()d = c) Par récurrence : B = exise e es unique. Si B n exise e es unique B n+ exise e es unique d après la quesion.a) On peu véri er B 3 e B 4 3. On pose C n (X) = ( ) n B n ( X) e on véri e que la suie (C n ) véri e la même relaion que (B n ) C = e pour ou n C n+ = L(C n ) car : C n+(x) = ( ) n+ B n+( x) = ( ) n B n ( x) = C n (x) Z C n+ ()d = par unicié: Z Z Z ( ) n B n+ ( )d = ( ) n B n+ (u) ( du) = ( ) n B n+ (u)du = 8n N, B n (X) = ( ) n B n ( X) Z Q()d = B n+ ()d = 4. a) on reprend les valeurs numériques de la première quesion : b (); b = ; b = ; b 3 = ; b 4 = 7 b) D après la quesion 3. pour n impair Bn() = B n (). Mais pour n B n () = B n (). donc comme = B n () remarque : aenion à la cohérence si n = 3. II calcul de () pour n ; impair = 5. Comme on a B () = B () e donc g () = g ( ) donc par période g () = g = g + La foncion g es C sur [; [, coninue en (d après la remarque précédene) e g(x) = B ( x ) = x B adme une limie nie en ; donc par période g es coninue, périodique e C par morceaux sur R, donc g es égale à la somme de sa série de Fourier. avec : a (g ) = Z x B dx = g (x) = a (g ) Z + a n (g ) cos(nx) + (g ) sin(nx) = B () (d) = () en posan x =, changemen de variable C.

3 pour n, a n (g ) =. () = 7. changemen de variable C idem pour (g ) Z Z x B cos(nx)dx = Z B ()d =, d après la dé niion de L (on a bien ) a) deux inégraions par paries donnen Z n () = = = n = = : 4 n + cos(n)d + sin(n) n Z 4 n ( ( =) sin(n)d =) cos(n) B () cos(n) (d) = n () en posan x =, n Z 4 n pour n, n () = 4 n b) E pour, on inégre par paries grâce à B = B : n () = = Z = = B () cos(n)d B () sin(n) n n B Z B () cos(n) 4 n n Z B () sin(n)d _ 4 n ( =) sin(n)d Z Z B cos (n) d () sin(n)d Mais es impair plus grand que 3 donc B () = B () = 8n ; 8, n () = 4 n n ( ) c) A n xé e variable on a une suie géomérique 8n ; 8, n () = ( ) (n) () cos(n)d 8. Comme es pair la relaion de I.3 donne B n ( x) = B n (x). On a donc B n ( x) sin(( x)) = B n (x) sin (x). E donc Z = B n ( x) sin(( x))dx = le changemen de variable X = x donne : Z = B n (x) sin (ns) dx Z = B n (x) sin (nx) dx = Z = B n (x) sin (nx) dx e donc : 8n ; 8, n () = 3

4 remarque: on peu aussi monrer la parié e véri er : 8x ]; [ g ( x) = g (x) e éendre à x = ou puis à R: x pour x ]; [, g ( x) = g ( x) = B ( car x [; [ ). donc g ( x) = g (x) d après Q3: 9. On a donc pour : En prenan x = on a b = = donc X = n =, b 4 = III Applicaion au calcul de = g (x) = +X n= +X n= n K = ( + 7 donc X n 4 = 4 9 n=. a) Sans problème :d (P ) p + ) d ((P )) p + e p ( ) cos (nx) (n) 4 ) b 8 (P; Q) R p+ [X]; 8 (; ) R : (P + Q) (X + ) ( + +Q)(X) = (P (X + ) P (X)) + (Q(X + ) Q(X)) b) Si (P ) =, P es de période :Donc P (X) P () es un polynôme ayan une in nié de racines (ous les eniers). il es donc nul Ker() = R [X] c) Comme P es un polynôme de degré p +, P (X + ) P (X) es aussi de degré p +. Mais les ermes de plus hau degré se simpli e donc (P ) R p [X]. Comme Ker () es une droie, le héorème du rang donne : dim (Im(P )) = dim (R p+ [X]) = (p + ) = p + = dim (R p [X]) Pour ces deux espaces vecoriels on a inclusion e égalié des dimensions nies, donc égalié des sous espaces vecoriels.. Comme Xp p R p [X], Xp p Im() = R p [X] adme au moins un anécéden par, noé Q. Si Q p es un aure anécéden (Q Q p ) = donc Q Q p Ker(). Il exise une consane C elle que Q p = Q + C. La condiion C = Z Q()d. Q p exise e es unique.. On véri e par récurrence que la suie B p+ véri e la relaion précédene (X =) = (X + =) (X =) = = X Pour p : Si B p = Q p On en dédui que : e alors comme B p+ = B p Z ( =)d = donc B = Q (B p+) = (B p ) = (Q p ) = Xp (p ) ((B p+ )) = (B p+ (X + ) B p+ (X)) = B p+(x + ) B p+(x) = (B p+) = Xp Z Q p ()d = impose (p ) Danger : ne pas aller rop vie : en général si f es linéaire (f(p )) = f(p ). Il fau jusi er clairemen ((B p+ )) = (B p+) En prenan une primiive (B p+ ) = B p+ (X + ) 4 B p+ (X) = Xp p + Cse:

5 Comme p on a p + e donc par dé niion des polynôme de Bernoulli B p+ () = B p+ (). La valeur de l expression en donne une consane nulle (B p+ ) = Xp p, e d après I..b) 3. On a donc pour ou enier : B p+ ( + ) B p+ () = p p = Z B p+ ()d =. Donc par unicié B p+ = Q p. (B p+ ) = Xp p. Par élescopage p n p = X B p+ ( + ) B p+ () = B p+ (n + ) B p+ () = Le erme pour = es nul e donc : p = p (B p+ (n + ) B p+ ()) = 4. pour p = on a B 3 = X3 B 3 (n + ) B 3 () = X 4 + X donc (n + )3 3 pour p = 3 on a B 4 = X4 4 IV) séries générarices 5. En disinguan les cas : si n = jb j = 3 si n =, j j = (n + ) + + X 4 7 (n + ) B 4 (n + ) B 4 () = e donc = = = n + n + 4n + 3n 3 + = (n + )4 (n + ) 3 (n + ) (n + ) n + n + n + 4 n(n + ) n(n + )(n + ) si n > es impairj j = 3 () n si n es pair, on pose n =. A la quesion 9 on avai +X n= n = ( 4 ) b e donc j j = +X () n n= n +X () n n= j j n 3 () n 3 () n d après la valeur de (). Par récurrence sur n : B (x) = = b B (x) = x = = b x + b 5

6 7. Si pour ou x B n (x) = = x B n+ (x) = B n+ () + on a B n+(x) = B n (x) = = + + n+ X K= Z x = b (n+) = x d = + + x K n+ K K = X 8n N; 8x R, B n (x) = K= = b (n+) x e donc = K x K K x + ( + ) remarque : on peu aussi jusi er que B () n = B n e uiliser la formule de Taylor B n (x) = = B () n () a) On a d après la quesion 5 j n j n : si jj < le erme général end vers. Comme on éudie une 3 série enière R b) Si jj < les deux séries (e ) f() = +X n= w n avec w n = quesion précédene B n () = = +X n n= = e +X n convergen absolumen. On peu faire un produi de Cauchy n n= n ( la première série n a pas de erme pour n = ):Or d après la. On a donc w n = (B n () ) n = (B n () B n ()) n. x si n = B n () B n () = d après le calcul de B. si n, B n () = B n () par dé niion de la suie. Donc (e ) f() = f() = e 8. D après la quesion on a un produi de Cauchy : +X x g x () = n = n= = +X n= = (x) n = +X n= n +X en posan = (x) e = n La série es une série enière en X = x de rayon de convergence = in nie. Elle converge absolumen pour ou X e sa somme vau e x La série +X = Par produi de Cauchy es la série qui dé nie f. Elle converge absolumen si jj < : g x () = ex e = 9. a) f(=) f() = e = e = e = e = e = + e = e e = e = e= e = g =() b) par linéarié des développemen en série enière on a donc : +X n= n + X n = +X n= n= B n (=) n

7 Comme les séries enières on un rayon de convergence >, on peu (par unicié) ideni é les coe ciens : B n (=) = n 7