Étude d un chariot de golf électrique (corrigé)

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1 élec PÉDAGOGIE Concours Cenrale-Supélec 2003 Filière TSI Sciences indusrielles Éude d un chario de golf élecrique (corrigé) La prédéerminaion des caracérisiques élecriques d une machine ournane débue oujours nécessairemen par l éude mécanique, saique e dynamique, de la charge qu elle enraîne. C es une fois seulemen que les paramères caracérisan la charge son parfaiemen idenifiés qu il es possible de choisir e de dimensionner élecriquemen la machine, puis l élecronique de puissance qui l alimene en énergie, pour remoner enfin à la parie commande, mêlan éroiemen l élecronique des peis signaux à l auomaique du sysème. Dans le cas d un sysème asservi, on peu alors réellemen reboucler sur la parie mécanique afin de conclure quand aux performances globales du sysème. On rerouve bien cee démarche dans le suje de l École cenrale - Supélec de l an passé, don nous avons publié l énoncé dans le précéden numéro e don nous vous livrons ici une proposiion de corrigé. MOTS-CLÉS I. L ANALYSE DU SYSTÈME EXISTANT I.A. L éude des soluions consrucives adopées I.A.1. Le réduceur à roue e vis Les grandeurs sur lesquelles il fau inervenir (figure 1) :, l angle d hélice de la vis ou pas de la vis ; ', l angle de froemen de glissemen, apparen, au conac de la roue avec la vis. Pour qu un sysème vis/écrou soi réversible, il fau que l angle d hélice soi supérieur à l angle de froemen, soi une relaion à vérifier : > '. Couple de maériaux : il fau un maériau «dur» (la vis) sur un maériau «moins dur» (la roue). On peu proposer deux soluions : vis en acier (E335 ou C40 ou C35 ou 35 CrMo4 ) sur roue en bronze (Cu Sn9 P ou Cu Sn12 ) ; vis en acier (E335 ) sur roue en nylon (PA 6/6) sur-moulée sur un inser en acier pour la liaison avec l arbre de roue. I.A.2. L orienaion du chario Les liaisons souhaiées enre l arbre e la roue : en A, pivo d axe (O, y ) ; en B, encasremen (ou liaison complèe). Figure 2. La soluion consrucive Le dessin de concepion de la soluion consrucive pour la liaison de la roue avec l arbre es donné en figure 2. Figure 1. Le conac dans le sysème vis-écrou I.B. La déerminaion des paramères du moeur I.B.1. La résisance e le coefficien de fém Pour chaque poin du ableau ci-après, on a : lw l p - JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE

2 Tableau de déerminaion des paramères du moeur N (en r/min) I (en A) En prenan, par exemple, les poins correspondan à la première e à la dizième ligne du ableau, on obien le sysème d équaions p l - p l - don la résoluion donne : - - l - p Cu (en mn. m) λ (en Vs) R (en Ω) Applicaion numérique : R 0,22 e 0,028 Vs. On peu égalemen mener le même calcul successivemen enre deux lignes consécuives, puis en déduire une valeur moyenne de R e de. I.B.2. Le couple de peres On calcule le couple de peres par : C rp C em C u I C u. Pour ous les poins du ableau, on rouve C rp 0,022 Nm. On peu obenir ce couple de peres par un essai à vide à ension d indui variable. Pour chaque poin de mesure, on relève U, I e la viesse angulaire Ω. On en dédui : - ª W W I.C. La déerminaion des paramères du variaeur de viesse I.C.1. L éude de la commande de grille Les ransisors uilisés ici son des ransisors Mosfe à canal N. Pour créer un canal de ype N (les poreurs de charges majoriaires son donc des élecrons), il fau porer la grille à un poeniel posiif par rappor à la source (broche de référence). Il s agi donc d une commande en ension : la grille ne reçoi du couran que pendan les phases de commuaion où il es nécessaire de charger le condensaeur grille-source. La fréquence de foncionnemen es assez élevée, jusqu à quelques cenaines de kiloherz. Le TC 428 perme de fournir pendan les commuaions le couran nécessaire à une commuaion rapide. R dson : résisance vue enre drain e source pendan la phase de conducion ransisor à l éa on, c es-à-dire passan e quasi équivalen à un inerrupeur fermé. I.C.2. La déerminaion du couple de charge I.C.2.a. La diode es idéale, les chues de ension aux bornes des ransisors son négligeables. Cp (en Nm) ,6 21 0,028 0,230 0, ,1 66 0,028 0,211 0, , ,028 0,229 0, , ,028 0,219 0, , ,028 0,215 0, , ,028 0,221 0, , ,028 0,217 0, , ,028 0,221 0, , ,028 0,219 0, ,5 439 Moyenne 0,028 0,220 0,022 4 Pour a 0,2, on a : au b R a I (car au démarrage E 0), aub d où I R puis C I aub λ em λ Cr 0. R Applicaion numérique : C r0 0,336 Nm. I.C.2.b. La diode présene une chue de ension de 0,9 V en conducion. On ien compe du paramère R dson donné précédemmen. Pendan la phase de conducion, la ension aux bornes du moeur es : - Pendan la phase de roue libre, la ension aux bornes du moeur es la ension aux bornes de la diode : u V d 0,9 V. La ension moyenne es donc : Ê < > Á Ë Comme précédemmen, R a I, d où : Ê Á Ë Ce qui perme de déerminer I : l l L applicaion numérique donne C r0 0,231 Nm. Pour la suie de l éude, ce couple résisan sera considéré indépendan de la viesse de roaion, e on prendra C r0 0,22 Nm. I.C.3. La déerminaion de l inducance L a de l indui du moeur I.C.3.a. L expression de la fém E du moeur u E R a i u L, or 0 en régime permanen (voir à ce suje le corrigé du concours de l École cenrale dans le numéro 123), donc : E R a E R a au b V CT (1 a), d où E au b V CT (1 a) R a . I.C.3.b. L expression de l ondulaion du couran d indui Pendan la phase de conducion des ransisors, on a : La soluion de cee équaion compore un erme en - Pour que la soluion de cee équaion différenielle soi assimilable à une droie, il fau pouvoir uiliser le développemen limié au premier ordre de l exponenielle : - ª - Il fau donc L a /R a >> T h, d où : - En inégran cee expression pendan la durée d une phase de conducion des ransisors, on rouve Ú - Ú Ú ( ) TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004

3 Le couran es riangulaire (hypohèse) ; on peu dire que Ú < > En remplaçan E par l expression obenue ci-dessus, on obien (U b E) at h (U b au b V CT (1 a) R a ) at h R a at h L a. I, soi, après simplificaion e facorisaion : (1 a) (U b V CT ) at h L a. I. On en dédui l expression de l ondulaion de couran - - D e donc I max, obenu pour a 0,5 : D I.C.3.c. Exploiaion m D L a /R a >> T h Quand à R dson, elle inervien en majoran le erme R a, or R a n inervien pas dans le résula final. II. L ÉTUDE DU CAPTEUR DE VITESSE II.A. La mise en forme du signal e () es une ension recangulaire de valeur maximale V cc e de valeur minimale V cesa. La fréquence F es liée à la viesse du moeur par : où k es le rappor de réducion du réduceur. Or 200 r/min < N moeur < 4000 r/min, donc 9,6 Hz < F < 192 Hz. La viesse linéaire du chario es liée à la viesse du moeur par p où d es le diamère des roues, d où : 0,126 m. s 1 < V < 2,51 m. s 1 ou encore 0,452 km. h 1 < V < 9,05 km. h 1. II.B. L éude du converisseur fréquence-ension II.B.1. La déerminaion de la ension inerne d alimenaion En appliquan le héorème de superposiion, on peu calculer le poeniel aux bornes de la diode de régulaion : II.B.2. Le comparaeur à hysérésis II.B.2.a. Ce monage perme de fixer le poeniel de la borne 11 de LM2917 à 4,5 V grâce au pon diviseur par 2 réalisé avec les deux résisances R7. II.B.2.b. Un comparaeur à hysérésis en enrée perme une meilleure immunié au brui. II.B.2.c. L allure de e () e celle de E() son données sur les schémas de la figure 3. II.B.3. La charge e la décharge de C 2 à durée consane II.B.3.a. C K1 E ; C K2 E. H E. B Figure 3. Le foncionnemen du comparaeur à hysérésis II.B.3.b. Pour que u 2 croisse, il fau K1 en 1 e K2 en 1, donc C K1 1 e C K2 1, donc E 1 e H 0. Pour avoir H 0, il fau u 2 < U 2max 3 4 U Z 6 V. II.B.3.c. 0 < < T'. On a E 1 e H 0, donc C K1 1 e C K2 1 (première ligne de la able de vérié), donc charge de C 2 à couran consan I. Fin de la charge lorsque à T', on a - À T', H passe à 1 avec E 1, C K2 passe à 0 (dernière ligne de la able), i 2 0. La ension u 2 n évolue plus. II.B.3.d. 1 < < 1 T". On a E 0 e B 0, donc C K1 0 e C K2 1 (deuxième ligne de la able de vérié), donc décharge de C 2 à couran consan I Fin de la charge lorsque à 1 T", on a - d où - À 1 T", B passe à 1 avec E 0, C K2 passe à 0 (roisième ligne de la able), i 2 0. La ension u 2 n évolue plus. II.B.3.e. Les allures de E(), i 2 (), u 2 () e i 3 () sur deux périodes de E() son données en figure 4. II.B.3.f. Il fau 2 T < T, donc < ou encore < Applicaion numérique : C max 112,5 nf. II.B.4. La charge e la décharge de C 3 II.B.4.a. D aure par, d après le graphe précéden de i 3 (), < > JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE

4 E i 2 I 0 I u 2 6 V 2 V 1 T 2T II.B.4.d. L ensemble {R 3, C 3 } consiue un filre passe-bas du premier ordre. Son rôle es de bloquer la composane alernaive de i 3 () e de ransmere sa composane coninue. La ension u 3 obenue en sorie es donc quasi coninue lorsque la viesse du chario es consane. II.B.5. L éude dynamique du capeur Si la viesse du chario es consane, i 3e 2 IT'F C 2 U Z F. Si cee viesse varie de manière sinusoïdale, Ê Á Ë On en ire : Ê Á Ë avec B v10 C 2 U z R 3 e v R 3 C 3. Applicaion numérique : B v10 0,03 Vs e v 0,375 s. i 3 I T' T Figure 4. La charge e la décharge des condensaeurs Donc En calculan la valeur moyenne de i 3 (), on a alors : < > < > < > or < > Ú - car T es la période de i 3 (). On a donc R 3 2 R 3 IT'F, d où : 2 R 3 IT'. Or, d après la quesion précédene, 2 IT' C 2 U Z, d où : 2 R 3 IT' R 3 C 2 U Z V. s. II.B.4.b. < > < > W II.B.4.c. La fréquence de i 3 () e donc de u 3 () es 2 F (voir figure 4). < > < > ( p ) où I 31eff e U 31eff représenen les valeurs efficaces des fondamenaux de i 3 () e de u 3 (). En divisan la deuxième expression par la première, il vien : W p W La condiion imposée par l énoncé implique p > d où (4 FR 3 C 3 ) 2 > pour ou F, donc : > m p II.B.6. L éage de sorie II.B.6.a. Il y a bouclage sur enrée inverseuse, donc l ALI foncionne en régime linéaire. e e u 5 u 3 F. Amplificaion en couran. II.B.6.b. F nv/ d u 5 / (n 72 : nombre d encoches), d où b p b p - Applicaion numérique : p II.B.6.c. avec B v 0 k T 2,29 Vm 1 s e v 0,375 s. III. L ASSERVISSEMENT III.A. La déerminaion des foncions de ransfer liées au moeur III.A.1. Le momen d inerie équivalen ramené à l axe du moeur Ê Ë Á - W III.A.2 La déerminaion de H mi (jω) À parir des équaions aux variaions, on écri en uilisan la ransformaion complexe : l W l W (Pour cee dernière relaion, le couple résisan n inervien pas car, éan consan, ses variaions son nulles.) l Applicaion numérique : m 0,638 s e e 2 ms. (1 j m ) (1 j e ) 1 j ( e m ) (j )2. e. m 1 j m (j )2. e. m 72 TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004

5 car e <<. m e m m III.A.3. La déerminaion de H mv (jω) En éliminan le couple moeur enre (c) e (d), on dédui : W l d l d III.B. L éude de la boucle de couran III.B.1. La réalisaion du capeur de couran moyen III.B.1.a. Le capeur de couran insanané On propose un capeur à effe Hall (qui fourni, après adapaion, une ension de 400 mv par ampère). III.B.1.b. Le filre passe-bas Soi V(j ) la ension enre le poin siué enre les deux résisances R 5 e la masse. Le héorème de Millman nous perme d écrire : La ension sur l enrée non inverseuse de l ALI es donc : Ê Á Ë Ê Á Ë La ension sur l enrée inverseuse de l ALI es : - Le foncionnemen du monage es linéaire, donc : - D où : - p - Le sysème es sable si z > 0, donc si k < 3 ; or ici 1 < k < 1,46. III.B.1.c. La foncion de ransfer du capeur Ê Ë Á Il fau k 0,4 8/16, d où k 1,25, puis z 0,875. Il s agi d un sysème du deuxième ordre, donc la pene es de 40 db/dec. Pour que la condiion soi vérifiée, il fau que p < Ê Ë Á > Ê - Ê Ë Á Á Ë Ê Ë Á > En posan Ê Ë Á on en dédui l inéquaion u 2 2(2 z 2 1)u 99 > 0. u éan oujours posiif, la soluion de cee inéquaion es u > 9,43, soi < - > p III.B.2. Le réglage du correceur il s agi donc d un correceur PI. La FTBO de cee boucle es : m BO Arg(FTBO(j )) Arc an e 2 Arc an i. Pour avoir une phase de 125 (il y avai apparemmen une erreur dans l énoncé : on ne peu jamais obenir 125 ), par dichoomie : ω φ BO 70,9 153,2 120,3 127,8 124,9 125 D où 5610 rad. s 1. Une calcularice programmable avec solver donnera direcemen le résula. Pour avoir une marge de phase de 55, il fau alors pour cee pulsaion FTBO 1. m j j m Erreur saique : m j j JANVIER-FÉVRIER 2004 TECHNOLOGIE III.B.3. La déerminaion d un premier ordre équivalen Les élémens ideniques à ceux du premier ordre son : la courbe de gain (pene à 20 db/dec en HF) ; la pene horizonale en BF ; la phase varian de 0 à 90. Þ Pulsaion pour laquelle la phase es de 45 : 7700 rad. s 1. m Þ m III.C. L éude de la boucle principale (boucle de viesse) W Þ - Applicaion numérique : d

6 Figure 5. Schéma foncionnel prenan en compe l influence de C r ω d ª Déerminons la foncion de ransfer en boucle fermée d d d d d d Ê Á Ë d Applicaion numérique : A v 4,2. d d Les avanages de ce réglage : dépassemen rès faible, emps de réponse minimal. L erreur saique es nulle car il s agi d un syème de classe 1. III.D. L influence d une variaion du couple résisan La modificaion du schéma foncionnel es proposée en figure 5, avec l Une variaion de la pene occasionnera une variaion de viesse. En effe, si on éudie la réponse du sysème à un échelon de couple résisan, à consigne viesse consane, cela revien à faire, dans le schéma foncionnel précéden, W v 0. La réducion du schéma foncionnel mène à : m Ê Á d Ë d Quand end vers 0, H cf (j ) end vers l m Un échelon d ampliude C r0 sur le couple occasionnera donc une variaion l m de la viesse du chario. Il faudra donc remplacer le correceur C v (j ) proporionnel par un correceur PI. 74 TECHNOLOGIE 129 JANVIER-FÉVRIER 2004