L équation de Schrödinger

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1 L équation de Schrödinger LectureNotes2016 Le Hamiltonien - Rappel: * L opérateur pour la position: ˆx = x * L opérateur pour la quant. de mouvement: ˆp = i d dx Est-ce qu il y a un opérateur pour l énergie? Dans la mécanique classique, l énergie totale est appelé le Hamiltonien classique : H(x, p) = p2 2m + V (x) Avec p =ˆp, nous pouvons formuler le Hamiltonien quantique : Ĥ = 2 d 2 2m dx 2 + V (x) l opérateur pour l énergie Il existe certains état, appelés états stationnaires ou états propres du Hamiltonien, pour lesquels l action du Hamiltonien donne l énergie du système: H (x) =E (x) operateur valeur Cette dernière éq. est en fait un variant de l éq de Schrödinger 1

2 Valeur moyenne du Hamiltonien: hhi = H dx et si est un état stationnaire hhi = H dx = E dx = E 2 dx = E (si est normalisée) 2

3 L équation de Schrödinger, indépendant du temps Comment peut on trouver la fonction d onde d un système? i - En résolvant l equation de (x, = 2 (x, t) 2 + V (x) (x, t) Note: ce sont des dérivés partielles, car (x, t) est une fonction, à la fois du temps et de la position Supposons que le potentiel est indépendant du temps: V = V (x) -> possibilité de séparer les variables x et t: (x, t) = (x) '(t) une solution séparable C est une restriction forte, mais avec cela, les solutions générales peuvent être trouvées = d' dt 2 = d2 dx 2 ' i d' dt = 2 2m i 1 d' ' dt = 2 2m fonc. de t d 2 dx 2 ' + V (x) ' 1 d 2 dx 2 + V (x) fonc. de x 3

4 Deux fonctions différentes, qui sont égales. -> il faut que les 2 soient constantes! 2 2m La partie spatiale: 1 d 2 (x) dx 2 + V (x) (x) =cst. (x) ici, nous pouvons identifier le Hamiltonien, et alors la constante doit être égale à l énergie ( H = E ) 2 d 2 2m dx 2 + V (x) (x) =H (x) =E (x) Voilà l équation de Schrödinger indépendant du temps La partie temporelle: i 1 ' d' dt = d' dt = E ie ' '(t) =e ie Note: cette simple évolution de temps est valide seulement si la fonction d onde peut être séparée en parties temporelles et spatiales indépendantes t 4

5 Etats stationnaires La fonction d onde total dépend du temps: (ici (x, t) = (x)e ie (x, t) est une fonction séparable) t Considérons la probabilité de présence, ou la densité de probabilité pour une solution séparable: (x, t) 2 = = e ie t e ie t = = (x) 2 Cela ne dépend pas du temps! -> Toujours la même probabilité de trouver le système dans une position particulière La valeur moyenne de la position: hxi = e ie t x e ie t dx = x dx ne dépend pas du temps alors: dhxi dt =0 ) hpi =0 -> Un état qui correspond à une solution séparable ne bouge pas! On appelle un tel état: un état stationnaire 5

6 Dispersion Imaginer un grand nombre de mesures de la position, x - valeur moyenne: hxi - résultat d une mesure individuelle: probabiliste - -> dispersion des résultats autour hxi Cette dispersion n apparaît pas à cause de limitation techniques, mais parce que la MQ est intrinsèquement probabiliste Définition de la dispersion (de la position): x = r D (x hxi) 2E = p hx 2 i hxi 2 Pareil pour la quantité de mouvement: p = r D (p hpi) 2E = p hp 2 i hpi 2 Quelle est la dispersion de l énergie, si un système se trouve dans un état stationnaire? H 2 = H (H ) =H (E ) =E 2 ) hh 2 i = H 2 dx = E 2 2 dx = E 2 ( E) 2 = hh 2 i hhi 2 = E 2 E 2 =0 -> Pour un état stationnaire, le résultat d une mesure de l énergie est certain 6

7 Principe d incertitude Inégalité de Heisenberg Dans la MQ, les dispersions de certaines quantités sont fortement liées Un tel exemple est x et p Meilleure connaissance de x ( x petit) -> mauvais connaissance de p ( p grand) (et vice versa) x p 2 L inégalité de Heisenberg L impossibilité de connaître x et p simultanément x et p sont des quantités conjuguées Un autre paire de quantités conjuguées sont le temps et l énergie: E t 2 7

8 Commutation: Considérons deux opérateurs: A et B AB (l action de B suivie par l action de A), n est pas nécessairement la même chose que BA (l action de A suivi par l action de B) Définition: [A, B] AB BA est le commutateur de A et B - si [A, B] =0, A et B commutent - si [A, B] 6= 0, A et B ne commutent pas Deux opérateurs qui ne commutent pas sont conjugués -> ils obéissent à une inégalité de Heisenberg Si [A, B] 6= 0 ) A B>0 8

9 Exemple ; incertitude position - quantité de mouvement: Les vitesses d une balle (m = g) et d un électron (m = kg) sont les mêmes; v = 300 m/s, avec une incertitude de 0.01%. Avec quelle précision peut-on mesurer la position des deux, si les positions sont mesurés en même temps que les vitesses? - l électron: p = mv = kg m/s Δp = mδv = kg m/s ) x = 0.2 cm 2 p - la balle: p = mv = 15 kg m/s Δp = mδv = kg m/s ) x 2 p = m 9

10 Exemple ; incertitude temps - énergie: Un atome peut rayonner à un instant quelconque après avoir été excité. Dans un cas typique, on trouve qu un atome excité a en moyenne un temps de vie d environ 10-8 s. C est à dire, pendant cette période, l atome émet un photon et sera désexcité. Quel est le minimum d incertitude Δν pour la fréquence du photon? Δt 10-8 s = E ) = E h h 2 th = 1 4 t =8 106 s 1 -> largeur spectrale! 10

= b j a i φ ai,b j. = ˆBa i φ ai,b j. = a i b j φ ai,b j. Par conséquent = 0 (6.3)

= b j a i φ ai,b j. = ˆBa i φ ai,b j. = a i b j φ ai,b j. Par conséquent = 0 (6.3) I Commutation d opérateurs Chapitre VI Les relations d incertitude I Commutation d opérateurs Un des résultats importants établis dans les chapitres précédents concerne la mesure d une observable  : une

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