1S DS n o 5 Durée :1h. ( 4 points ) Exercice 1

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1 1S DS n o 5 Durée :1 Exercice 1 ( points ) Voici la courbe représentative C f d une fonction f définie sur [ 6; 9] avec quatre de ses tangentes. Le point A de coordonnées ( 2, ; 0), appartient à la courbe C f 1. D après le grapique, donner la valeur de f( 2) puis la valeur de f ( 5), f (2) et f (6, 5) Justifier soigneusement la réponse pour f (2). Le point de coordonnées ( 2; 1) appartient à la courbe donc f( 2) = 1 f( 2) = 1 f ( 5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 5 et cette tangente est parallèle à l axe des abscisses donc a pour coefficient directeur 0 f ( 5) = 0 Remarque On peut aussi lire directement le coefficient directeur en calculant à partir du grapique f ( 2) = variation des ordonnées variation des abscisses = +2 = 2 (voir grapique en rouge) +1 De même, f (2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 2 et cette tangente passe par les points D(2; 0, 5) et E(5; 1, 5) donc f (2) = 2 3 f ( 2) = 2 3 (tracé en bleu sur le grapique) De même, f (6, 5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d abscisse 6, 5 donc f (6, 5) = +2, 5 +2 = 5 = 1, 25 (tracé en vert sur le grapique) f ( 2) = 5

2 2. Déterminer l équation de la tangente à C f au point d abscisse 6, 5. La tangente au point d abscisse 6, 5 a pour coefficient directeur f (6, 5) = 5 et admet donc une équation réduite de la forme y = 5 x + b (b R) et passe par le point de la courbe de coordonnées (6, 5; 2), si on note F ce point, on a donc : y F = 5 x F + b 2 = 5 6, 5 + b b = 2 32, 5 b = 2, 5 La tangente à la courbe au point d abscisse 6,5 a pour équation réduite y = 5 x 2, 5 Remarque Avec la formule donnant directement l équation réduite de la tangente, on a : y = f (a)(x a) + f(a) avec a = 6, 5, f (a) = 5 et f(a) = 2 3. On sait que f ( 3) = 2 ; tracer T 3, tangente à la courbe C f au point d abscisse 3. f ( 3) est le coefficient directeur de la tangente T 3 au point de la courbe d abscisse 3 Tracé en orange sur le grapique. Exercice 2 ( 3 points ) Soit la fonction g définie sur R par g(x) = 2x 2 x + 1. A l aide du taux d accroissement, montrer que g est dérivable en a = 1 et calculer g (1). Pour tout réel 0, le taux d accroissement de f entre a = 1 et b = 1 + est : f(1 + ) f(1) f(1 + ) f(1) T () = = Calcul de f(1) et f(1 + ) f(1 + ) = 2(1 + ) 2 (1 + ) + 1 = 2( ) = = et f(1) = = 2 Calcul de T () : f(1 + ) f(1) T () = = (2 + 3) = Limite quand 0 Quand 0, on a T () 3 avec les notations des limites : lim T () = 3 0 Conclusion La limite de T () quand 0 existe et est finie = donc f est dérivable en x = 1 et f (1) = 3 RemarqueEn utilisant la fonction dérivée de f avec les formules de dérivation, on a : f (x) = 2 2x = x 1 et donc f (1) = 1 = 3

3 Exercice 3 ( 3 points ) La fonction f est définie sur R par f(x) = x 3. Démontrer que f (x) = 3x 2 pour tout réel x. aide : (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Pour tout réel a R et tout réel 0, le taux d accroissement de f entre a et b = a + est : f(a + ) f(a) f(a + ) f(a) T () = = a + a Calcul de f(a) et f(a + ) en fonction de a f(a + ) = (a + ) 3 = a 3 + 3a 2 + 3a et f(a) = a 3 Calcul de T () : f(a + ) f(a) T () = = a3 + 3a 2 + 3a a 3 = (3a2 + 3a + 2 ) Limite quand 0 Quand 0, on a T () 3a 2 avec les notations des limites : lim T () = 3a 2 0 Conclusion Pour tout réel a, la limite de T () quand 0 existe et est finie = 3a 2 + 3a + 2 donc f est dérivable sur R et f (x) = 3x 2 Exercice ( 10 points ) 1. La fonction f est définie et dérivable sur R par f(x) = 3x x x 2. Calculer f (x) (simplifier l expression obtenue) f(x) = 3 2 x2 + 3x x 2 Rappel : (x 2 ) = 2x, (3x 1) = 3 et ( 1 x 2 ) = 2 x 3 donc f (x) = 3 2 2x x 3 f (x) = 3x x 3 2. La fonction g est définie par g(x) = (2x + 1) x a) Déterminer l ensemble de définition D g de g. La fonction racine carrée est définie sur [0; + [ D g = [0; + [

4 b) Justifier que g est dérivable sur ]0; + [, et calculer g (x) (simplifier l expression obtenue). u : x x est dérivable sur ]0; + [ et v : x 2x + 1 (fonction affine) est dérivable sur R donc sur ]0; + [ donc le produit de u et v est dérivable sur ]0; + [. g est donc dérivable sur ]0; + [ On pose donc u(x) = 2x + 1 et v(x) = x On a donc u (x) = 2 et v (x) = 1 g (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) = + (2x + 1) 1 = + 2x + 1 = 2 x + 2x + 1 = 6x + 1 g (x) = 6x La fonction est définie sur D = R \ a) Justifier que est dérivable sur D. { } 3 par (x) = x x. u : x x 1 est dérivable sur R donc sur D et v : x 3 5x est dérivable sur R donc sur D et pour tout x D, v(x) 0 donc le quotient de u par v est dérivable sur D donc est dérivable sur D b) Calculer (x). On pose u(x) = x 1 et v(x) = 3 5x et on a u (x) = et v (x) = 5 (x) = u (x)v(x) u(x)v (x) (v(x)) 2 = ()(3 5x) (x 1)( 5) 12 20x + 20x 5 (3 5x) 2 = (3 5x) 2 = 7 (3 5x) 2 (x) = 7 (3 5x) 2 c) Prouver que (x) > 0 sur D ; que peut-on en déduire pour les variations de? Sur D, (3 5x) 2 > 0 donc (x) est du signe de son numérateur donc (x) > 0

5 et donc est strictement croissante sur D (x) > 0 et est strictement croissante sur D