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1 NOM : Prénom : Observations : Composition n 3 de Mathématiques Seconde Mai 013 Note : /0 Signature : La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apportés au devoir. Vous devez composer sur le sujet. Exercice 1 : Soit les points A(- ; 5), B( ; -) et C(6 ; 3). 1) Déterminer les coordonnées du point D, défini par : AD = 3 AC ) Déterminer de même les coordonnées du point E, défini par : BE = - 1 BA + 3 BC 8 8 3) Démontrer que les points B, D et E sont alignés. 1

2 Exercice : 1) Avec la calculatrice, construire la courbe d équation y = - 3x² +, pour x appartenant à [- ; ]. ) Par lecture graphique, conjecturer le nombre de solutions de l équation - 3x² + = 0 sur l intervalle [- ; ]. 3)a) Vérifier que : - 3x² + = (x² - 1)(x² - ) b) En déduire la résolution de l équation - 3x² + = 0. Exercice 3 : 1) (SUR LA FEUILLE ANNEXE) Tracer dans un même repère la courbe représentative de la fonction carrée et celle de la fonction x x sur R. )a) Utiliser ce dessin pour comparer graphiquement un réel et son carré.

3 b) Les phrases suivantes sont-elles vraies? Justifier votre réponse. «Un nombre réel est toujours inférieur à son carré.» «Un entier naturel non nul et différent de 1 est toujours inférieur à son carré.» Exercice 4 : LE NOMBRE D OR /5 PARTIE A : Sur le graphique suivant, on a représenté les courbes d équations y = 1 et y = x 1. x ϕ y = 1 x 1) Justifier que l abscisse de A, notée, est solution de l équation x²- x 1 = 0. 3

4 ) a) Vérifier que pour tout nombre x : x² - x 1 = x 1 ² 5-4 b) En déduire la valeur de. PARTIE B : Le nombre est appelé le nombre d or ; il intéresse de nombreuses configurations en géométrie. Voici l un de ces configurations : ABCD est un carré de côté l, E est le milieu de [AB]. Le cercle de centre E passant par C coupe [AB) en F. On construit le rectangle AFGD. 1) Démontrer que AF = l. 4

5 ) En déduire que AF AD =. Exercice 5 : Une urne contient quatre boules, marquées 1,, 3, 4. On tire au hasard deux boules successivement, en remettant la première boule tirée dans l urne. A est l évènement : «La somme des points obtenus est égale à 4.» B est l évènement : «Le produit des points obtenus est égale à 4.» 1) Calculer p(a), p(b), p(a B). ) Calculer p(a B) de deux manières différentes Exercice 6 : Une association de consommateur a relevé le prix en euros d un même produit en plusieurs points de vente d une ville donnée. Prix Nombre de points de vente

6 1) Déterminer le prix de vente médian, puis le prix de vente moyen de ce produit. ) L enquête précédente a en fait oublié 10 points de vente pour lesquels le prix moyen calculé est euros et le prix médian 1 euros. Quel est alors le prix moyen de vente sur l ensemble des points de vente de la ville? Feuille annexe : 6

7 Composition Secondes Mai 013 Exercice 1 : Soit les points A(- ; 5), B( ; -) et C(6 ; 3). 1) Déterminer les coordonnées du point D, défini par : AD = 3 AC AD = 3 AC x D x A = 3 y D - y A x D + y D - 5 = 3 x C x A y C - y A xd + = 3 8 y D 5 = 3 (-) x D =1 - = 10 y D = 5-3 = Les coordonnées du point D sont (10 ;). ) Déterminer de même les coordonnées du point E, défini par : BE = - 1 BA + 3 BC 8 8 BE = - 1 BA + 3 BC 8 8 x E x B = - 1 y E - y B 8 x E y E + = x A x B y + 3 A - y B 8 x C x B y C - y B Les coordonnées du point E sont E(4 ;-1). x E = = + = 4 y E = = = ) Démontrer que les points B, D et E sont alignés. BD x D x B y BD 10 D - y B + BD 8 4 BE x E x B y BE 4 E - y B -1 + BE 1 BD = 4 BE Donc les vecteurs BD et BE sont colinéaires. Donc les points B, D et E sont alignés. 7

8 Composition Secondes Mai 013 Exercice : 1) Avec la calculatrice, construire la courbe d équation y = - 3x² +, pour x appartenant à [- ; ]. En prenant, comme paramètres de la fenêtre graphique, XMin = -, XMax =, YMin = -1, YMax = 3, on obtient : ) Par lecture graphique, conjecturer le nombre de solutions de l équation - 3x² + = 0 sur l intervalle [- ; ]. On compte le nombre de points d intersection de la courbe avec l axe des ordonnées : Il semble que l équation x 4 3x² + = 0 ait 4 solutions. 3)a) Vérifier que : - 3x² + = (x² - 1)(x² - ) (x² - 1)(x² - ) = x 4 x² - x² + = x 4 3x² + b) En déduire la résolution de l équation - 3x² + = x² + = 0 (x² - 1)(x² - ) = 0 x² - 1 = 0 ou x² - = 0 (x 1)(x + 1) = 0 ou (x - )(x + ) = 0 x = 1 ou x = -1 ou x = ou x = - S = {- ;-1 ;1 ; } 8

9 Composition Secondes Mai 013 Exercice 3 : 1) (SUR LA FEUILLE ANNEXE) Tracer dans un même repère la courbe représentative de la fonction carrée et celle de la fonction x x sur. )a) Utiliser ce dessin pour comparer graphiquement un réel et son carré. Si x ]- ;0] [1 ;+ [ alors x x² Si x [0 ;1] alors x x² Soit x = 0 ou x = 1 alors x = x² b) Les phrases suivantes sont-elles vraies? Justifier votre réponse. «Un nombre réel est toujours inférieur à son carré.» Faux : contre-exemple : 0,5 > 0,5 «Un entier naturel non nul et différent de 1 est toujours inférieur à son carré.» Vrai : un entier naturel n non nul est différent de 1 vérifie n > 1. Donc n ]1 ;+ [ et donc n < n² 9

10 Composition Secondes Mai 013 Exercice 4 : LE NOMBRE D OR /5 PARTIE A : Sur le graphique suivant, on a représenté les courbes d équations y = 1 et y = x 1. x ϕ y = 1 x 1) Justifier que l abscisse de A, notée, est solution de l équation x²- x 1 = 0. ϕ est solution de l équation 1 x = x 1. Pour x 0, 1 x = x 1 1 x = x (x 1) x 1 = x² - x x² - x 1 = 0 ) a) Vérifier que pour tout nombre x : x 1 ² 5-4 = x² - x = x² - x - 1 x² - x 1 = x 1 ² 5-4 b) En déduire la valeur de. ϕ est solution de l équation x² - x 1 = 0 x² - x 1 = 0 x 1 ² 5-4 = 0 x 1 ² 5 = 4 Or 1-5 < 0, Donc ϕ = x 1 = ou x 1 = 5 4 x = ou x = x = 1-5 > 0 et ϕ > 0 ou x =

11 Composition Secondes Mai 013 PARTIE B : Le nombre est appelé le nombre d or ; il intéresse de nombreuses configurations en géométrie. Voici l un de ces configurations : ABCD est un carré de côté l, E est le milieu de [AB]. Le cercle de centre E passant par C coupe [AB) en F. On construit le rectangle AFGD. 1) Démontrer que AF = AF = AE + EF = + EC l. Dans le triangle EBF rectangle B, on a EC² = EB² + BC² = ² 4 + ² = 5 4 ² Donc AF = ² = + 5 (1 + 5) = ) En déduire que AF AD =. AF AD = AF = = ϕ Exercice 5 : Une urne contient quatre boules, marquées 1,, 3, 4. On tire au hasard deux boules successivement, en remettant la première boule tirée dans l urne. A est l évènement : «La somme des points obtenus est égale à 4.» B est l évènement : «Le produit des points obtenus est égale à 4.» 1. Calculer p(a), p(b), p(a B). Somme Produit Chacun des 16 couples posibles a la même chance d apparaitre. On est donc dans une situation d équiprobabilité. L événement A est réalisé par les issues (1;3); (;) et (3;1) 11

12 Composition Secondes Mai 013 Donc p(a) = 3 16 L événement B est réalisé par les issues : (1;4); (;) et (4;1) Donc p(b) = 3 16 L événement A B se décrit par la somme des points est égale à 4 et le produit égal à 4. Il se réalise par l issue : (;). Donc p(a B) = Calculer p(a B) de deux manières différentes p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) = = 5 16 Autre methode : L événement A B se décrit par la somme des points est égale à 4 ou le produit égal à 4. Il se réalise par les issues : (1;3); (;); (3;1); (1;4) et (4;1) Donc p(a B) = 5 16 Exercice 6 : Une association de consommateur a relevé le prix en euros d un même produit en plusieurs points de vente d une ville donnée. Prix Nombre de points de vente ) Déterminer le prix de vente médian, puis le prix de vente moyen de ce produit. Prix Nombre de points de vente Effectifs Cumulés croissant s

13 Composition Secondes Mai 013 Le prix de vente médian correspond au ème point de vente, soit 3. Le prix de vente moyen est donné par : p = 40 p = = 3 ) L enquête précédente a en fait oublié 10 points de vente pour lesquels le prix moyen calculé est euros et le prix médian 1 euros. Quel est alors le prix moyen de vente sur l ensemble des points de vente de la ville? p' = p' = =,8 Le prix moyen de vente sur l ensemble des points de vente est de,8. 13

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