GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES

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1 GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES I Les points du plan et les nombres complexes - Notion de nombre complexe Dans ce chapitre, on définit un ensemble noté C, qui prolonge l ensemble R, muni d une addition et d une multiplication ayant les mêmes propriétés que dans R Dans toute cette page, x et y sont des nombres réels Le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) est appelé plan complexe Soit A le point de coordonnées ( ; 0) et B le point de coordonnées (0 ; ) Au point A, on associe le nombre réel Au point B, on associe le nombre complexe i tel que i² = - A tout point M de coordonnées (x ; y) du plan complexe, on associe le nombre complexe unique, noté, qui s écrit = x + i y Réciproquement, à tout nombre complexe = x + i y avec x et y réels, on associe dans le plan complexe le point M de coordonnées (x ; y) est appelé affixe de M On dit que M est le point image de L affixe du point M se note M A tout vecteur OM (x ; y), on associe le nombre complexe x + i y appelé affixe de ce vecteur Réciproquement, à tout nombre complexe = x + i y, avec x et y réels, on associe dans le plan complexe le vecteur de coordonnées (x ; y), appelé vecteur image de L affixe du vecteur w se note w 2- Remarques et vocabulaire Si = x + i y, avec x et y réels, x est la partie réelle de, notée Re() et y est la partie imaginaire de, notée Im() Les parties réelle et imaginaire sont des nombres réels L'écriture = x + i y avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe Un nombre complexe imaginaire pur est un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, par exemple 3 i Les points images sont les points de l axe (y y), appelé axe des imaginaires purs Le réel x peut s écrire x + 0i, donc le point image est un point de l axe (x x), qui est appelé axe des réels Tout nombre réel est un nombre complexe particulier : R est inclus dans C /3

2 3- Symétries et nombres complexes Définitions : Le point M a pour affixe = x + i y avec x et y réels Le point Q (- x ; - y), symétrique de M par rapport à O, a pour affixe, opposé de Le point N (x ; - y), symétrique de M par rapport à l axe (xx ), a pour affixe le nombre complexe appelé conjugué de et noté Pour = x + i y, on a = x - i y (x et y réels) Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire Remarques : Cette propriété découle de l'unicité de l'écriture d'un nombre complexe sous forme algébrique En particulier, x et y étant des réels, x + i y = 0 si et seulement si x = 0 et y =0 2/3

3 II Opérations sur les nombres complexes - Addition et multiplication dans C a) Règles de calcul L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes Exemples : A = ( + 3 i ) + ( i ) = ( 3 ) + ( )i = i B = 2 4 i - ( - 5 i ) = 3 + i C = ( 4 + i ) ( i ) = i - 5 i + 3 i ² = i Remarques : Les identités remarquables valables dans R le sont également dans C et ' étant des nombres complexes, ' = 0 équivaut à = 0 ou ' = 0 b) Représentation géométrique de la somme Deux nombres complexes et 2 ont pour images respectives M et N dans le plan complexe + 2 a pour image le point P quatrième sommet du parallélogramme MONP 2- Inverse et quotient Tout nombre complexe non nul admet un inverse noté Pour obtenir la forme algébrique de x dénominateur par x-iy car (x+iy)(x-iy) = x² +y² est un nombre réel Exemples : (x, y réels et x + iy 0), on multiplie numérateur et iy 2 3i 5i 2 i = (2 ( = (2 2 3i = 3i)(2 3i) 5i)(2 i) = i)(2 i) 2 3i 2² 3² 3 i = i = - i 5 5 3/3

4 3- Affixe d'un vecteur, d'un barycentre Dans le plan complexe, à tout vecteur u (x ; y), on associe le complexe x + i y affixe de u Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives A et B L'affixe du vecteur AB est B A Remarques : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales Si λ est un réel, l'affixe du vecteur λ u est λ où est l'affixe de u Deux points A et B du plan complexe ont pour affixes respectives A et B L'affixe du barycentre G des points pondérés (A, α ) et (B, β ) ( α + β 0) est : α A α β β B 4/3

5 III Module et arguments d'un nombre complexe (O ; OU, OV ) est un repère orthonormal du plan complexe - Module d'un nombre complexe est un nombre complexe de forme algébrique x + i y (x et y réels) Le module de est le nombre réel positif noté et défini par = x 2 y 2 Interprétation géométrique : Dans le plan complexe, si M a pour affixe alors OM = Remarques : Si x est un nombre réel, le module de x est égal à la valeur absolue de x = 0 équivaut à = 0 car OM = 0 équivaut à M = O = x² + y² = 2 2- Arguments d'un nombre complexe non nul Dans le plan complexe, est un nombre complexe non nul de point image M On appelle argument de et on note arg (), toute mesure en radians de l'angle orienté: ( OU ; OM ) Remarques : Un nombre complexe non nul a une infinité d'arguments ; si θ est l'un d'entre eux tout autre est de la forme θ + k2 π avec k Z On note arg () = θ (modulo 2 π ) ou plus simplement arg () = θ 5/3

6 3- Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul a) Repérages cartésien et polaire Dans le plan complexe, un point M distinct de O peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x ; y) ou par un couple (r ; θ ) de coordonnées polaires avec OM = r, ( OU, OM ) = θ, on a alors x = r cos θ et y = r sin θ b) Forme trigonométrique est un nombre complexe non nul L'écriture = r (cos θ + i sin θ ) avec r = et θ = arg est appelée forme trigonométrique de Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si, ils ont même module et même argument à un multiple de 2 π près Si = ρ (cos α + i sin α ) avec ρ nombre réel ρ > 0 alors ρ = et α = arg() 6/3

7 III Équations du second degré à coefficients réels Équation a ² + b + c = 0 (avec a, b, c réels et a 0) Théorème : L'équation a ² + b + c = 0 (avec a, b, c réels et a 0) de discriminant Δ = b² - 4 a c admet : b Si Δ = 0, une unique solution réelle : - 2a Si Δ 0, deux solutions : b Δ - réelles si Δ > 0 : 2a - complexes conjuguées si Δ < 0 : b b 2a i 2a Δ Δ b i 2a Δ Remarque : Si on note et 2 les solutions de l'équation (avec éventuellement = 2 alors pour tout complexe, a ² + b + c = a ( )( - 2 ) Exemple : L'équation ² + + = 0 a pour discriminant Δ = - 3 L es solutions sont les complexes conjugués - 2 i 3 2 et - 2 i 3 2 7/3

8 IV Conjugué d'un nombre complexe - Définition du conjugué est un nombre complexe de forme algébrique = x + i y (x, y réels), le nombre complexe x i y, noté, est appelé conjugué de Exemples : 2 3i = 2 3 i ; 4 = - 4 ; 2 i = - 2 i Conséquences : = = x² + y² + = 2 Re () - = 2 i Im () 2- Interprétation géométrique Dans le plan complexe, le point M d'affixe est l'image du point M' d'affixe par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses est un nombre complexe est réel équivaut à = est imaginaire pur équivaut à = - 3- Conjugué et opérations et ' sont deux nombres complexes et n un entier naturel non nul ' = ' ' Si 0, Exemples : = Si 0, ' ' ' n n ( 2 3i)(4 i) = (2-3 i) (4 + i) = l l0i 2 i = = 2 i 2 i 3 3 i i 3 i 2 i 2 i 5 5 ( 2 3i)² = (2-3i)² = -5-2i 8/3

9 VI Propriétés du module et des arguments - Conjugué et opposé Pour tout nombre complexe non nul, =, arg ( ) = - arg () (2π), =, arg(- ) = arg() + π (2π) 2- Arguments d'un réel, d'un imaginaire pur est un nombre complexe non nul - est réel équivaut à arg () = 0 (2π) ou arg () = π (2π) - est imaginaire pur équivaut à arg () = 2 π (2π) ou arg () = - 2 π (2π) 3- Opérations a) Inégalité triangulaire Pour tous nombres complexes et ', ' + ' b) Produit Pour tous nombres complexes non nuls et ', ' = ' et arg (') = arg + arg ' (2π), pour tout entier naturel non nul n, n = n et arg ( n ) = n arg () (2π) 9/3

10 c) Quotient Pour tous nombres complexes non nuls et ', = et arg = arg - arg ' (2π) ' ' ' 4- Lien avec le plan complexe A et B sont deux points d'affixes a et b, AB= b a Si A et B sont distincts, ( OU ; AB ) = arg (b - a) (2π) Conséquence : A, B, C et D sont des points deux à deux distincts d'affixes respectives a, b, c et d d c ( AB ; CD ) = arg (2π) b a En effet ( AB ; CD ) = ( OU ; CD ) ( OU ; AB ) = arg (d - c) - arg (b - a) = arg d b c a (2π) 0/3

11 VII- La notation exponentielle - La fonction θ cos θ isin θ f est la fonction définie sur R et à valeurs dans C par f ( θ ) = cos θ + i sin θ a) Pour tous réels θ et θ ', f ( θ + θ ') = f ( θ ) f ( θ ') En effet, les complexes f ( θ + θ ') et f ( θ ) f ( θ ') ont pour module et pour argument θ + θ ' b) Les fonctions cos et sin étant dérivables sur R, on dit que f est dérivable sur R La fonction dérivée de f est définie par f ' ( θ ) = cos' θ + i sin' θ = - sin θ + i cos θ = i (cos θ + i sin θ) = i f (θ) On obtient alors f ' (0) = i Par analogie avec la définition de la fonction exponentielle, on adopte l'écriture : Notation : Pour tout réel θ, on note e i θ = cos θ + i sin θ Exemples : e 0 e π i = i = - 2- Avec la notation e iθ Pour tous réels θ et θ ' et tout entier naturel non nul n, e iθ = et arg (e i θ ) = θ (2π) e iθ e iθ iθ' e iθ e (e i θ e i θ = e = e = e iθ i(θ ) n = e in θ i(θ θ') θ') (formule de Moivre) Remarques : Ces formules résultent immédiatement du fait que e iθ est le complexe de module et d'argument θ et des propriétés du module et des arguments La formule de Moivre s'écrit également (cos θ + i sin θ ) n = cos (n θ ) + i sin (n θ ) /3

12 3- Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul est un nombre complexe non nul L'écriture = re iθ exponentielle de avec r = et θ = arg () est appelée forme 4- Équation paramétrique d'un cercle du plan complexe C est un cercle de centre Ω d'affixe ω et de rayon r M est un point d'affixe ; les deux propriétés suivantes sont équivalentes () M est un point de C (2) Il existe un réel θ de ]- π ; π ] tel que = ω + r e i θ L'égalité = ω + r e iθ est appelée équation paramétrique complexe du cercle C Remarque : Si = x + iy (x, y réels) et ω = a + ib (a et b réels), l'égalité = ω + r e iθ x = a + r cos θ et y = b + r sin θ équivaut à 2/3

13 VIII- Nombres complexes et transformations F est une transformation du plan complexe; on lui associe la fonction f de C dans C qui à un complexe affixe du point M associe le complexe ' affixe du point M' = F (M) ' = f () est l'écriture complexe de la transformation F - Écriture complexe d'une translation w est un vecteur d'affixe b L'écriture complexe de la translation de vecteur w est ' = + b Démonstration : t est la translation de vecteur w ; M' = t (M) équivaut à MM ' les affixes respectives de M et M' w, c'est-à-dire ' - = b où et ' sont 2- Écriture complexe d'une homothétie Ω est un point d'affixe ω et k un réel non nul L'écriture complexe de l'homothétie de centre Ω et de rapport k est ' - ω = k ( - ω ) Démonstration : h est l'homothétie de centre Ω et de rapport k ; M' = h (M) équivaut à Ω M' kωm On note et ' les affixes respectives de M et M', l'affixe de Donc M' = h (M) équivaut à ' - ω = k ( - ω ) Ω M' est ' - ω, celle de k Ω M est k ( - ω ) 3- Écriture complexe d'une rotation Ω est un point d'affixe ω et θ un réel L'écriture complexe de la rotation de centre Ω et d'angle θ est ' - ω = e i θ ( - ω ) Démonstration : r est la rotation de centre Ω et d'angle θ Si M Ω, M' = r(m) équivaut à Ω M' = Ω M et ( Ω M ; Ω M' ) = θ, c'est-à-dire ' - ω = - ω et ' ω ' ω arg = θ Ceci revient à dire que le complexe a pour module et pour argument θ ou ω ω ' ω encore = e i θ ω Si M = Ω, M' = r (M) équivaut à M' = Ω, c'est-à-dire ' = ω 3/3