CONTROLE N 2-2 heures

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1 Mathématiques : Terminales S 1 et S NOM-Prénom: Mercredi 6 Octobre 010 CONTROLE N - heures QCM (13,5 points) Principe pour la notation : Pour les 6 premières questions, 0,5 pt/ bonne réponse, - 0,5 pt/réponse fausse, 0 pt sinon. Pour les questions suivantes, 0,5 pt/ bonne réponse, - 0,5 pt/réponse fausse, 0 pt sinon. Mettre en couleur la bonne réponse (ne le faire que lorsque vous êtes sûr de votre réponse car en cas de plusieurs cases coloriées, la réponse est considérée comme nulle!) Joindre le QCM à la copie. Quelle est la partie réelle du nombre complexe z = ( + i )²? Quelle est la partie imaginaire du nombre complexe z = (1 - i )² i Le module du nombre complexe z = 4 + 3i est égal à Un argument du nombre complexe z = - i est égal à π 4 Si z = - 5i alors - π 4 3π 4 = + 5i 5 = - + 5i = - - 5i

2 Soit z le nombre complexe de module et d'argument π /3 alors la forme algébrique de z est égale à 3+ i i 3 + i π 3 3- i DansIC, l'ensemble des solutions de l'équation z² + z + 1 = 0 est {- 1 +i 3 ; -1 - i 3 } 7 { 1 +i 3 ; 1 - i 3 } { ; } La forme exponentielle du nombre complexe z = - - i est 8 Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan complexe muni d un repère orthonormal d'affixes respectives z A, z B, z C, z D Une mesure de l'angle ( AB, CD ) est 9 Soient A, B, C points distincts du plan complexe muni d un repère orthonormal d'affixes respectives z A, z B, z C. On sait que : On peut en déduire : A, B et C sont alignés 10 ABC est un triangle rectangle en A ABC est un triangle isocèle en A

3 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Soit A le point d'affixe 1 + i et B le point d'affixe 1 - i. Quel est l'ensemble des points M d'affixe z tel que z i = c'est l'ensemble vide c'est le cercle de diamètre [AB] 11 c'est le cercle de centre A et de rayon. c'est le cercle de centre B et de rayon. c'est la droite (AB) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Soit A le point d'affixe 1 + i et B le point d'affixe 1 - i. Quel est l'ensemble des points M d'affixe z tel que z i = z i c'est l'ensemble vide c'est le milieu du segment [AB] 1 c'est la droite (AB) c'est le cercle de diamètre [AB] c'est la médiatrice du segment [AB] Soit A, B et C trois points du plan complexe muni d un repère orthonormal d'affixes respectives z A, z B, z C telles que z A = z C - z B alors on a : OACB est un parallélogramme (éventuellement aplati) 13 A, B et C sont alignés A est le milieu de [BC] Les questions 14, 15,16 se rapportent au même énoncé. Soient A et B deux points du plan complexe muni d un repère orthonormal d'affixes respectives : z A = 1 + i et z B = 3 - i, soit I le milieu de [AB] d'affixe z I alors : AB =,8 14 AB = 0 AB = 10- AB = z I = 1 - i 15 z I = z I = - i z I = - ( ; OA ) = 3π/4 16 ( ; OA ) = -π /4 ( ; ) = π/4 ( ; ) = -3π/4

4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal L'application du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que z' = z i est une homothétie de centre le point I d'affixe (1 + i ) et de rapport 17 translation de vecteur d'affixe 1 + i rotation de centre O et d'angle de mesure π/4 rotation de centre I d'affixe 1 + i et d'angle de mesure π /4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal L'application du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que z' = 4z est une homothétie de centre O et de rapport 4 18 translation de vecteur d'affixe 4 rotation de centre O et d'angle de mesure Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal L'application du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M ' d'affixe z' tel que: z = i z est une rotation de centre O et d'angle de mesure 3π/4 19 homothétie de centre O et de rapport rotation de centre O et d'angle de mesure -π/4 rotation de centre O et d'angle de mesure π/4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Que peuton dire de plusieurs points dont les affixes ont même module. 0 Ils appartiennent à un même cercle de centre O Ils appartiennent à une même droite passant par O On ne peut rien en dire. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. Que peuton dire de plusieurs points dont les affixes ont même argument. 1 Ils appartiennent à un même cercle de centre O Ils appartiennent à une même droite passant par O On ne peut rien en dire. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. L ensemble des points M d'affixe z tel que Z= z+1 est imaginaire z-1 pur est Le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d'affixe 1 L'axe des imaginaires purs privé du point d'affixe 1. L'axe des réels privé du point d'affixe 1.

5 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal. L'ensemble des points M d'affixe z tel que Z= z+1 est réel est : z-1 3 Le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d'affixe 1 L'axe des imaginaires purs privé du point d'affixe 1. L'axe des réels privé du point d'affixe 1. La forme algébrique du nombre complexe de module et d'argument 5π/6 est : 3- i i i 1 i 3 En utilisant les formules d'euler : transformer l'expression sin θ cos 3θ. sin θ cos 3θ= 5 Question 6, 7, 8,9 On considère les nombres complexes : La forme algébrique du nombre complexe z 3 est : 6 La forme exponentielle du nombre complexe z 1 est 7

6 La forme exponentielle du nombre complexe z est 8 La forme exponentielle du nombre complexe z 3 est 9 Ecrire le nombre complexe : sous la forme exponentielle. 30

7 Exercice (6,5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique 1 cm) 1. Résoudre dans IC l équation z²+4z+8=0. On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.. On note A et B, les points du plan d affixes respectives a=-i et b=-a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l exercice. a) Déterminer l affixe c, du point C, image de B par la rotation de centre O et d angle π. b) On note D l image de C par la rotation de centre A et d angle π ; démontrer que l affixe d de D est d=-6i. c) Placer C et D sur le graphique. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? 3. α étant un nombre réel non nul, on désigne par G α le barycentre du système : { (A ;1) ;(B ;-1) ;(C ;α) }. a) Exprimer CG α en fonction de BA. b) En déduire l ensemble des points G α lorsque α décrit IR*. Construire cet ensemble. c) Pour quelle(s) valeur(s) de α a-t-on G α =D? 4. On suppose dans cette question que α=. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer et construire l ensemble des points M du plan tels que : MA MB + MC = 4.