Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie

Transcription

1 Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie I Affixe, module et argument I.1 Représentation géométrique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O; u; v. Il est ainsi appelé plan complexe. À tout nombre complexe z = a+ib (avec a, b réels, on associe un unique point du plan, le point M(a;b. Réciproquement, à tout point point M(a;b, on associe le le nombre complexe z = a+ib. On dit que M est l image du nombre complexe z, et que z est l affixe du point M (z est aussi l affixe du vecteur OM. 1. z AB = z B z A.. z w+ w = z w +z w. 3. Pour tout k R, z k w = kz w. 4. Si I est le milieu de [AB], z I = z A +z B. 1. AB a pour coordonnées (xb x A ;y B y A. Donc z AB = x B x A +i(y B y A = x B +iy B (x A +iy A = z B z A.. On raisonne de même en passant aux coordonnées pour montrer les points., 3. et 4.. I. Module et argument d un nombre complexe Soient z = a+ib avec a, b réels unnombrecomplexe et M son image dansle plancomplexe. 1. Le module de z, noté z est la distance OM, soit z = a +b.. Si z est non nul, un argument de z, noté argz est une mesure de l angle orienté de vecteurs ( u; OM. Pour z 0, argz = ( u; OM. b + M(z z v O argz u a 1

2 1. z = 0 équivaut à z = 0.. Un nombre complexe non nul admet uneinfinité d arguments : si θ est unemesurede l angle ( u; OM, alors les autres mesures de cet angle sont les réels θ+kπ, k Z. 3. Le nombre 0 n a pas d argument car l angle de vecteurs ( u; OM n est pas défini si M = O. 1. z = zz. z R + si et seulement si argz = 0 [π]. 3. z R si et seulement si argz = π [π]. 4. Un nombre complexe z non nul est imaginaire pur de partie imaginaire strictement positive si et seulement si argz = π [π]. 5. Un nombre complexe z non nul est imaginaire pur de partie imaginaire strictement négative si et seulement si argz = π [π]. 1. Pour tous points A et B d affixes respectives z A et z B, AB = z B z A.. Pour tous points distincts A et B, ( u; AB = arg(zb z A [π]. Démonstration 1. Soit M le point tel que OM = AB. Alors l affixe de M est zb z A. Par conséquent, AB = z B z A.. Soit M le point tel que OM = AB. M O car A B. ( u; AB = ( u; OM = arg(zb z A [π]. I.3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Pour tout nombre complexe z non nul, z = r(cosθ+isinθ avec r = z et θ = argz. Cette écriture est appelée une forme trigonométrique de z. Un nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques car arg z est défini à π près (par contre le module est unique. 1. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même module et le même argument à un multiple de π près.. Si z = r(cosθ+isinθ avec r > 0, alors z = r et argz = θ [π].

3 Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z = a + ib, avec r = z et θ = argz. Alors, Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : r = a +b cosθ = a r Passage de la forme trigonométrique à la forme algébrique : a = rcosθ b = rsinθ sinθ = b r Ceci permet de retrouver θ. I.4 s du module et de l argument Pour tout nombre complexe z, 1. z = z, et z = z.. Avec z non nul, arg(z = argz [π] arg( z = arg(z + π [π]. 1. Somme : pour tous nombres complexes z et z, z +z z + z (inégalité triangulaire.. Produit : pour tous nombres complexes z et z, Si de plus z et z sont non nuls, zz = z z. arg(zz = argz +argz [π]. 3. Quotient : Pour tous nombres complexes z et z, avec z 0, z z = z z. Pour tous z et z non nuls, ( z arg z = argz argz [π]. 4. Puissance : pour tout z C, pour tout n N Si de plus z est non nul, z n = z n. arg(z n = nargz [π]. Démonstration 1. C est la formulation avec des nombres complexes d une inégalité sur les distances. u + v u + v où u et v sont des vecteurs d affixes respectives z et z. 3

4 . z et z étant non nuls tous les deux, on peut considérer leurs formes trigonométriques. z = r(cosθ +isinθ, et z = r (cosθ +isinθ. zz = rr (cosθ +isinθ (cosθ +isinθ = rr [cosθcosθ sinθsinθ +i(sinθcosθ +sinθ cosθ] = rr [cos(θ +θ +isin(θ +θ ] On a ainsi obtenu une forme trigonométrique de zz, ce qui implique zz = z z et arg(zz = argz +argz [π]., si z ou z est nul, l égalité zz = z z est évidemment vraie. 3. On raisonne par récurrence. 4. On pose Z = z z, d où z = z Z, et on applique les résultats sur le produit. Il n y a pas de formule générale donnant le module d une somme de deux nombres complexes. On ne peut rien dire en général sur arg(z +z. Conséquence Si A(a, B(b, C(c, D(d sont des points du plan tels que A B et C D, alors CD 1. AB = d c b a = d c b a ( ( d c. AB; CD = arg [π]. b a Démonstration 1. C est direct puisque AB = b a et d après la propriété. Comme A B et C D, l angle ( AB; CD ( AB; CD est bien défini. = = z z = z z. ( ( AB; u + u; CD ( u; ( CD u; AB [π] [π] = arg(d c arg(b a [π] ( d c = arg [π] b a II Notation exponentielle et application Onavuquepourtous aet bréels, (cosa+isina(cosb+isinb = cos(a+b+isin(a+b. En posant f(x = cosx+isinx, on a donc f(a f(b = f(a+b. La fonction f possède une propriété de la fonction exponentielle. Pour tout θ R, on pose e iθ = cosθ +isinθ. 4

5 e iθ = 1 et arge iθ = θ [π]. Pour tout nombre complexe z non nul, on appelle notation exponentielle de z toute écriture z = re iθ où r = z et θ = arg(z [π]. 1. Comme pour la forme trigonométrique, la notation exponentielle n est pas unique car argz est seulement défini modulo π.. Pour calculer des sommes de nombres complexes, la forme algébrique (z = a + ib est la plus appropriée. Pour calculer des produits, quotients, puissances de nombres complexes, la forme trigonométrique ou exponentielle est la plus appropriée. Pour tous réels θ et θ, 1. e iθ e iθ = e i(θ+θ. 1. e iθ = e iθ = e iθ. e iθ 3. = e i(θ θ. e iθ 4. Pour tout n N, ( e iθ n = e inθ (formule de Moivre. 1. La formule de Moivre s écrit aussi pour tout θ R, pour tout n N, (cosθ+isinθ n = cos(nθ+isin(nθ. Pour tout réel θ, e iθ = cosθ+isinθ, et e iθ = cosθ isinθ. En addtionnant et soustrayant ces égalités, on obtient les formules d Euler : Conséquence (formules d Euler Pour tout θ R, cosθ = eiθ +e iθ sinθ = eiθ e iθ. i Rappel : triangle de Pascal pour les coefficients binomiaux k 0 1 n

6 Par exemple, ( 4 = 6, et ( 6 = 0. 3 Les coefficient binomiaux interviennent dans la formule qui donne le développement de (a+b n : Pour tous complexes a et b, et pour tout entier n 1, (a+b n = Exemple : (a b 3 = a 3 3a b+3ab b 3 n k=0 (a b n = ( n a k b n k = k n k=0 Exercice 1 π Linéariser cos 3 4 x, en déduire cos 3 (x dx 0 Exercice π Linéariser sin 3 4 x, en déduire sin 3 (x dx 1. 0 n k=0 ( n ( 1 k a n k b k k ( n a n k b k k La notation exponentielle permet de retrouver des formules de trigonométrie. Sur les formules d addition par exemple, pour tous réels a et b, e i(a+b = e ia e ib cos(a+b+isin(a+b = (cosa+isina(cosb+isinb D où, en identifiant les parties réelles et imaginaires, = cosacosb+icosasinb+isinacosb sinasinb = (cosacosb sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa cos(a+b = cosacosb sinasinb sin(a+b = sinacosb+sinbcosa Quelques situations géométriques classiques. Soient A, B C trois points distincts d affixes a, b et c respectivement. c a 1. b a = eiπ = i si et seulement si (AB = AC et ( π ABAC =. Cela équivaut à dire que le triangle ABC est direct, rectangle isocèle en A. c a. b a = eiπ 3 si et seulement si (AB = AC et ( π ABAC = 3. Cela équivaut à dire que le triangle ABC est équilatéral direct. Exercice 3 (lieux géométriques Soient A(a et B(b deux points distincts. Montrer les assertions suivantes : 1. Réponses : pour tout x R, sin 3 (x = 1 4 sin(3x+ 3 4 sinx, puis π sin 3 (x dx =

7 1. L ensemble des points M(z tels que z b R est la droite (AB privée du point z a A.. L ensemble des points M(z tels que z b ir est le cercle de diamètre [AB] privé z a du point A. 3. L ensemble des points M(z tels que z b z a = 1 est la médiatrice du segment [AB]. 7