NOMBRES COMPLEXES. Définition Deux nombres complexes Z = a + i b et Z = a + i b' sont égaux si et seulement si a = a et b = b

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1 NOMBRES COMPLEXES I- s et règles de calcul dans C Un nombre complexe est un nombre de la forme Z = a + i b où a et b sont des réels et i un nombre vérifiant i² = 1 L'ensemble des nombres complexes est noté C Vocabulaire : La forme a + i b s appelle la forme algébrique du nombre complexe Z le réel a s appelle la partie r éelle de Z notée Re(Z) et le réel b la partie i maginaire notée Im(Z) Si la partie réelle d'un nombre complexe Z est nulle, on a Z = ib. Z est alors appelé un imaginaire pur Théorème Pour tout nombre complexe Z, Z est un réel si et seulement si Im(Z) = 0 Z est un imaginaire pur si et seulement si Re(Z) = 0 donc R C Deux nombres complexes Z = a + i b et Z = a + i b' sont égaux si et seulement si a = a et b = b En particulier, a + i b = 0 si et seulement si a = 0 et b = 0. Opération sur les nombres complexes Soit Z et Z' deux nombres complexes de forme algébrique : Z = a + ib et Z' = a' + i b' Somme et produit Z + Z' = ZZ' = Inverse et quotient 1 Z = pour Z' 0, Z Z ' = Applications: Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique ( i )( 5 4 i ) = i 5 2 i 1 3 i = =

2 II- Nombre complexe conjugué On appelle nombre complexe conjugué de Z = a + ib le nombre complexe, noté Z, tel que Z = a ib Exemple : Le nombre complexe conjugué de Z = 2 + 3i est Z = Conséquence : On a Z + Z = et Z Z = d où les propriétés suivantes : Z réel et Z est imaginaire pur Propriété des conjugués Pour tous nombres complexes Z et Z, on a : Z Z ' =Z Z ', Z= Z, ZZ '=Z Z ', Z n =Z n, Z Z ' = Z Z ' pour Z' 0 Démonstration : Posons Z = a + ib et Z = a + ib. Alors : Z Z ' = Z Z ' = Exemples : Le conjugué de Z = 4 5 i 3 i Le conjugué de Z = 2 z 2 i 5 z i est Z = est Z = III- Module d'un nombre complexe On appelle module d un nombre complexe Z = a + bi la quantité positive Z = a 2 b 2 Exemple : Module de 3 2i Théorème : Propriété des modules Pour tout nombre complexe Z et Z, on a : 1) Z 2 =Z Z 2) Z = Z 3) Z = Z 4) Z Z ' = Z Z '. En particulier, si k est un réel, k Z = k Z 5) Z Z ' = Z Z ' 6) Inégalité triangulaire : Z Z ' Z Z ' 7) Z n = Z n

3 Démonstration : IV- Equations du second degré Théorème Soit a, b et c trois réels avec a 0. L'équation az 2 bz c=0 a pour discriminant =b 2 4 ac. On rencontre alors trois cas : Si 0, l'équation admet deux solutions réelles z 1 = b 2a Si =0, l'équation admet une solution réelle z 0 = b 2 a Si 0 l'équation admet deux solutions complexes : z 1 = b i 2a et z 2 = b 2a et z 2 = b i 2a Exemple : Résoudre l'équation 2 z 2 3x 5=0

4 V- Représentation géométrique d un nombre complexe Munissons le plan d un repère orthonormé ( O, u, v ) Principe : A tout nombre complexe Z = a + ib, on lui associe le point M de coordonnées (a ;b) Z 1 = 2 + i Z 2 = 3 2i Z 3 = Z 2 Vocabulaire : Le point M(a ;b) s appelle l image du nombre complexe Z = a + bi Le nombre complexe Z = a + bi s appelle l'affixe du point M(a ;b) (affixe : nom féminin) On note Z = affixe(m) ou Z = aff(m) Affixe d un vecteur, du milieu d un segment. Soit A et B deux points du plan complexe admettant pour affixes respectives Z A et Z B. * l affixe du vecteur AB est Z B Z A * l affixe du milieu I du segment [AB] est : Z I = Démonstration : notons A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). On a alors : Z A = x A + iy A et Z B = x B + iy B. Nous savons que les coordonnées du vecteur AB sont (x B x A ; y B y A ) Or Z B Z A = x B + iy B (x A + iy A ) = (x B x A ) + i (y B y A ) donc l affixe du vecteur AB est Z B Z A. Milieu d'un segment Ces interprétations géométriques des nombres complexes permettent de traduire des problèmes de géométrie en relations entre nombres complexes. Ainsi, on adaptera les règles vues avec des coordonnées aux affixes : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même affixe L affixe d une somme de deux vecteurs est la somme des affixes de ces vecteurs

5 VI- Forme trigonométrique d u n nombre complexe a) L'argument : On appelle argument d un nombre complexe Z non nul, toute mesure en radians de l angle ( u ; OM ) On note ( u ; OM ) = Arg (Z) Un point M du plan peut alors être repéré de deux manières : * par son affixe z = a + i b * par ses coordonnées polaires ( z ; arg(z) ) Remarque sur l argument Un nombre complexe admet une infinité d argument. Si est un argument de Z, tout autre argument de Z est de la forme + 2 k (k Z). L argument principal est celui qui appartient à ] ; ] Exemples : Arg (i ) = Arg (1) = Arg ( 1) = Arg ( i) = b) Forme trigonométrique L écriture Z = a + ib s appelle la forme algébrique de Z Or nous avons vu que a = r cos et b = r sin où r = Z et = Arg(Z). Le nombre complexe Z peut donc s écrire : Z = r ( cosθ + i sin θ ) ; cette écriture s appelle la forme trigonométrique de Z Soit Z un nombre complexe non nul. L écriture Z = z (cos + i sin ) où = Arg(Z) s appelle la forme trigonométrique de Z Lien entre forme trigonométrique et forme algébrique z = a + i b z = z ( cos + i sin ) avec z = a 2 b 2, cos = a a 2 b 2, sin = b a 2 b 2 Déterminer la forme trigonométrique de z = 1 + i

6 Théorème : Propriété des arguments Arg Z = Arg ( Z) = Arg Z = Arg(ZZ ) = Arg 1 Z ' = Arg Z Z ' = Arg Z n = Démonstration :

7 VII- Forme exponentielle d un nombre complexe Considérons la fonction f définie sur C par f( ) = cos + i sin et à valeur dans C, vérifie : f ( + ) = Si on étend les règles de dérivation dans R à C, les fonctions sinus et cosinus étant dérivables, on obtient : f ( ) = La fonction f est donc solution de l équation : Or les fonctions proportionnels à leur dérivée sont de la forme : Comme f(0) = On en déduit la valeur de la constante k : Et on obtient : f( ) = On peut ainsi faire une analogie avec la fonction exponentielle et adopter la définition suivante : Pour tout réel, on note e i =cos isin θ e i désigne donc le nombre complexe de module 1 et d argument. Un nombre complexe de module r et d argument peut donc s écrire : z = r exponentielle de z θ e i : c est une forme Exemples : e i0 = e i 2 = e i = Le conjugué de θ e i est : Une simple transcription des propriétés vues sur les arguments donne alors : Théorème : pour tout et, on a : e i. e i ' = ei La notation exponentielle rend les calculs très simples : Si Z = 3e i 4 et Z = 7e i 2 3 alors ZZ = e i ' = e i n = n Z

8 VIII- Application à la géométrie Théorèmes : Le plan est muni d'un repère orthonormé direct ( O ; u, v ) A, B, C, D désignant quatre points deux à deux distincts d'affixes respectives z A, z B, z C, z D, on a les relations suivantes : 1 : ( u ; AB ) = 2 : AB = 3 : ( AB ; CD ) = 4 : AB CD = Démonstration : 1) On construit le point E tel que OE = AB. L'affixe du vecteur AB étant, le vecteur OE a pour affixe lui aussi d'où ( u ; AB ) = 2) On a avec les mêmes notations : AB = 3) On utilise la relation de Chasles pour les angles orientés : ( AB ; CD ) = 4) Evident Conséquences : Alignement de trois points : Parallélisme de deux droites : A, B, C alignés ( AB ; AC ) = 0 arg z C z A = 0 z C z A.. (AB) et (CD) parallèles AB; CD =0 arg z D z C Orthogonalité de deux droites : =0 z D z C.. (AB) perpendiculaire à (CD) AB; CD = 2 arg z D z C = 2 z D z C..

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