CALCUL INTEGRAL. A) Calcul direct à partir des formules fondamentales re C, D math II Calcul intégral
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- Michele Juneau
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1 CALCUL INTEGRAL Eercice Calculez les primitives suivantes : A Calcul direct à partir des formules fondamentales. (5 3d ( 7, 4d ( d ( t dt (sur t ( d (sur * R * R ( d (sur ( d (sur e ( d (sur 3 5 * R * R * R 9 (z 5 z dz (sur * R 0 ( 3 ( d (sur * R 3 8 ( 5 d 5 d (sur 4 [ 3 (, 3 7 d 3 ( - -
2 4 5 7 d ( 3 5 y 3 y 4 dy 6 5 ds s (sur [ d d 8 ( ( d 5 8, 5 0 d (sur ], d (sur R d e d 3 ( 4 5 ln d (sur [, 3y e dy 3 d 6 5 e 7 e 3e 7 d e 8 sin(3 d 5sin d 9 ( cos d d 3 - -
3 3 7 5e d 33 d cos (sur π, π 7sin 9 5 cos d 3 34 ( tan 4 d π π (sur, ( 36 π π tan d (sur, π π 37 tan d (sur, 38 d d (sur ] 3,3[ 9 π π 40 d (sur, 3cos e e 3 d 5 3 sin 7 d d (sur ], [ ( cos A sin d (sur ],[ d (sur 4 9 3e 5 e d, 3 3 cos 47 7 d sin (sur ] [ 0, π - 3 -
4 e e d 48 ( 49 3 ln d (sur * R sin π π 50 d (sur, cos ln 5 d (sur 3 * R 6 d (sur (,5[ d 3 (sur 7 * R tan e π π d (sur, cos d cos cos sin e d cos d cos B Décomposition en éléments simples de fractions rationnelles d (sur ], Déterminez d abord les coefficients réels a et b tels que : 4 a b = 3 d (sur ],3[ 6 Déterminez d abord les coefficients réels a, b et c tels que : 3 b c = a
5 d (sur ]3, Déterminez d abord les coefficients réels a, b et c tels que : 3 4 a b c = d (sur ], Déterminez d abord les coefficients réels a et b tels que : 5 b a = ( d (sur ], Déterminez d abord les coefficients réels a, b et c tels que : d 3 a b = 3 (sur ], 3 4 Déterminez d abord les coefficients réels a, b et c tels que : 5 9 a b c 3 = 3 4 ( d (sur ] 4, ( 4 Déterminez d abord les coefficients réels a, b et c tels que : 3 5 b c = a ( d (sur ]3, Déterminez d abord les coefficients réels a et b tels que : 3 a b =
6 C Produits de fonctions trigonométriques cos d 3 cos d 4 cos d sin 4 cos 3 d sin 7 cos d 7 sin cos d 7 cos cos 4 d 73 sin 3 sin 5 d 74 sin 5 cos 3 5 d D Intégration par parties 75 sin 3 d 76 ln d (sur 77 d (sur ln d (sur 78 ( * R ], * R π π 79 d (sur, cos 80 e 5 d ln 8 d (sur 8 Asin d * R (sur ] ;[ - 6 -
7 E Mélanges A tan 83 d 84 A tan d 85 5 d 4 (sur ], [ 86 ( 8 87 d 9 ln d (sur * R sin 88 d sin 89 d (sur ], ln 90 ln d (sur * R 9 ln d (sur * R 9 ln d (sur * R 93 d 4 94 tan π π d (sur, tan 4 4 cos 95 d sin d 97 A tan d sin π π 98 d (sur, cos 99 d sin (sur ] [ 0, π - 7 -
8 Eercice Pour les fonctions suivantes, trouvez la primitive F telle que F( = y : 0 0 π f ( =, = et y = 5 cos cos π f ( =, = et y = 7 cos = = = 3 f ( cos e, 0 0 et y0 Eercice 3 Calculez l aire de la partie du plan délimitée par G f, (O et les droites d équations = a et = b avec : f ( = 5 6, a = et b = 3. f ( =, a = 0 et b = 4. 3 f ( = 3, a = et b = 5. π 4 f ( = sin, a = et 3π b = f ( = 4 6, a = et b =. f ( =, a = et b = 3. f ( e =, a ln = et b = ln 3. 8 f ( = 3, a = et b = =, a = 3 et b = f ( 3-8 -
9 0 f ( = ln, f ( = A sin, a = et b = e. e a = et b =. ln f ( =, a = et b = e. e 3 Eercice 4 f ( = ln, a = et b = e. e Calculez l aire de la surface délimitée par les courbes de f et g et les droites d équations = a et = b avec : f ( =, g( =, a = et b =. f ( ln ( =, g( = ln, a = 3 et b = Montrez d abord que = a b où a et b sont deu réels. 3 f ( =, g( =, a = 0 et b = 4. π 4 f ( = cos, g( = sin, a = 0 et b =. 5 f ( =, g( =, 5 a = et b = 4. b Montrez d abord que g( = a où a et b sont deu réels. 6 f ( = A tan, g( = A sin, a = et b = (pour l intersection des deu courbes on pourra utiliser la V00. 7 f ( = ln, g( = e, a = et courbes on pourra utiliser la V00. b = (pour l intersection des deu e - 9 -
10 Eercice 5 Calculez l aire de la surface fermée délimitée par les courbes de f et g avec : f ( = et 3 g( =. f ( = 5 et g( = f ( = 4 et 3 f ( g( =. = et G g est la droite passant par A(,3 et l origine. 3 f ( = 3 et g( =. Eercice 6 Calculez le volume du solide engendré par la rotation autour de O de la surface délimitée par G f, O et les droites d équations f ( = 3, a = 0 et b =. = a et = b (figure! avec : f ( =, a = et b =. 3 f ( =, a = 0 et b =. 4 f ( = e, a = et b =. 5 6 Eercice 7 f ( =, a = et b =. f ( =, a cos π = et b 4 π =. 3 Calculez le volume du solide engendré par la rotation autour de O de la surface fermée délimitée par les courbes de f et de g (figure avec : f ( = 4 et g( = 3. f ( = 4 et la droite d équation 3y 4 = 0. 3 f ( = et 3 5 g( = f ( = et g( =
11 Eercice 8 Soit f ( = Eercice 9 Soit ( ln. Etude de f : domaines, limites et branches infinies, dérivée et tableau de variation, concavité, courbe. Trouvez l équation de la tangente à la courbe issue de l origine. 3 Soit λ [,e[, calculez l aire A( λ de la surface du plan délimitée par G f et les droites d équations =, = λ et y = 0. Déterminez λ pour que cette aire soit égale à ln. f ( 4 e =. Etude de f : domaines, limites et branches infinies, dérivée et tableau de variation, concavité, courbe. Soit λ 0, calculez l aire A( λ de la surface du plan délimitée par G f, O et les droites d équations = 0 et = λ ainsi que le volume V( λ du solide engendré par la rotation autour de O de cette surface. 3 Calculez lim A( λ et lim V( λ. λ λ - -
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