Chapitre IX Fonctions de référence

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1 Chapitre IX Fonctions de référence I. La fonction carré Définition : La fonction carré est la fonction qui, à tout nombre réel, associe son carré ². C est donc la fonction f définie sur par : f Eemple : f Remarque : 3 a pour image 9 f ; mais 9 a pour antécédents 3 et Sens de variation : La fonction carré f est décroissante sur ; et croissante sur ; Démonstration : Montrons que f est croissante sur l intervalle ;. Soient a et b 2 réels quelconques positifs tels que a b : fb fa b a b ab a Or comme a b alors b aet comme a et b sont positifs, alors b a par conséquent, fb fadonc fbfa On a donc a b et fafb donc l ordre est conservé, ce qui est la définition d une fonction croissante. Montrons que f est décroissante sur l intervalle ; : Soient a et b 2 réels quelconques négatifs tels que ab : fb fa b a b ab a Or comme a b alors b aet comme a et b sont négatifs, alors b a par conséquent, fb fadonc fbfa On a donc a b et fafb donc l ordre est inversé, ce qui est la définition d une fonction décroissante. Tableau de valeurs : f CQFD Ce tableau n est pas un tableau de proportionnalité ; la fonction carré n est donc pas une fonction linéaire. Tableau de variation : f () = ²

2 Représentation graphique : Cette courbe est appelée parabole de sommet O, origine du repère Propriété : Dans un repère orthogonal (O ;I ;J), la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Point-méthode 24 : Savoir utiliser la représentation graphique de la fonction carrée pour résoudre des inéquations 1. En s aidant d une rapide esquisse de la fonction carrée, résoudre directement les inéquations suivantes : a. ² < 5 b. ² 8 c. ² > 0 2. En s aidant d une rapide esquisse de la fonction carrée, déterminer le meilleur encadrement de ² dans les cas suivants : a. [2 ;6] b. [ 2; 1 ] c. ]-3 ;4]

3 II. La fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction qui, à tout réel non nul, associe son inverse. C est donc la fonction f définie sur ou {0} par : f Eemple : f f Remarque : 3 a pour image a pour image 2 5 a pour antécédent Sens de variation : La fonction inverse est décroissante sur ; et décroissante sur ; Démonstration : Montrons que f est décroissante sur ; : Soient a et b deu réels quelconques strictement positifs :a b On a fb fa b a a b ab Or, ab donc a b et a et b positifs donc ab Par conséquent, fb fa et donc fbfa On a donc ab et fafb, l ordre est inversé donc la fonction est décroissante. On pourrait faire le même raisonnement sur ; CQFD Tableau de valeurs : f Ce tableau n est pas un tableau de proportionnalité ; la fonction inverse n est donc pas une fonction linéaire Tableau de variation : f ( ) = 1

4 Représentation graphique : Cette courbe est appelée hyperbole de centre O, origine du repère Propriété : Dans un repère (O ;I ;J), la courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l origine du repère. Point-méthode 25 : Savoir utiliser la représentation graphique de la fonction inverse pour résoudre des inéquations 1. En s aidant d une rapide esquisse de la fonction inverse, résoudre directement les inéquations suivantes : a. 1 > 5 b. 1 3 c. 1 < 2 2. En s aidant d une rapide esquisse de la fonction inverse, déterminer le meilleur encadrement de 1 dans les cas suivants : a. [2 ;6] b. [ 2; 1 ] c. ]-3 ;4]

5 III. Fonctions polynômes du 2 nd degré Définition : Dire qu une fonction f définie sur est une fonction polynôme de degré 2 signifie qu il eiste trois réels a, b, c a tels que pour tout réel, Eemples : f, est une fonction polynôme de degré 2 avec a,b ; c g est une fonction polynôme de degré 2 avec a ; b ; c Sens de variation : Soit f une fonction polynôme du 2 nd degré définie sur par f a b c - Si a alors f est d abord décroissante puis croissante - Si a alors f est d abord croissante puis décroissante Représentation graphique : Dans un repère (O ;I ;J) orthogonal, la courbe représentative de f est une parabole qui admet un ae de symétrie parallèle à l ae des ordonnées. Définition : on appelle sommet de la parabole, le point qui correspond au minimum ou au maimum de la fonction f. Nous notons habituellement ses coordonnées (;). Si a Si a - - f f Conséquences de l ae de symétrie de la parabole : - Le point S est le point d intersection de la parabole avec son ae de symétrie - L ae de symétrie de la parabole a pour équation - Lorsqu on connait deu points de même ordonnée de la parabole, l abscisse du sommet S de cette parabole se trouve au milieu des abscisses de ces deu points. Eemple : Soit la fonction f définie sur par f 1. Variations : C est une fonction polynôme du 2 nd degré avec a donc décroissante puis croissante. 2. Sommet : Cherchons 2 antécédents d une même image. Par eemple résolvons f f S={ ;0} et 0 ont donc la même image par f, et l abscisse du sommet S de la parabole représentant f se trouve au milieu de ces deu abscisses : = L ordonnée du sommet S est : =f()=f Ainsi le sommet S a pour coordonnées S1 ; 8) et 8 est le minimum de la fonction f. 3. Ae de symétrie : c est la droite d équation

6 4. Représentation graphique : Propriété (admise) : Soit f une fonction polynôme du 2 nd degré définie par f a b c. Il eiste deu nombres réels et tels que pour tout réel, Cette écriture est appelée la forme canonique de f(). Les valeurs et sont les mêmes que précédemment, c est-à-dire que la parabole représentant f admet alors un sommet S de coordonnées ( ;) Eemple : On considère la fonction f définie par f Comme a, la fonction est d abord croissante puis décroissante, et elle admet un maimum en =2. Les coordonnées du sommet S de la parabole la représentant sont S(1 ;2), et la parabole admet la droite d équation comme ae de symétrie dans un repère orthogonal. Point-méthode 26 : utiliser l ae de symétrie d une parabole pour trouver les coordonnées de son sommet. Soit f ( ) = 3² une fonction définie sur 1. Résoudre l équation f ( ) = 2 2. En déduire les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f dans un repère orthogonal, puis le tableau de variation de f. Solution : Pour trouver les coordonnées du sommet, on résout l équation f ( ) = c que l on sait toujours résoudre. On trouve alors 2 solutions qui nous permettent de trouver l abscisse du sommet. 1. f ( ) = 2 3² = 2 (On a pris 2 pour que les 2 s annulent) 3² + = 0 (équation du 2 nd degré donc on factorise) ( ) = 0 (équation produit nul) = 0 ou = 0

7 = 0 ou = 1 3 Donc s = 0; Pour trouver l abscisse du sommet, on fait la moyenne des deu solutions qu on vient de trouver. 0 et 1 ont la même image (qui est 2), donc par symétrie de la parabole, le sommet a pour 3 abscisse : = = Pour déterminer l ordonnée, on calcule l image de. Et = f ( ) = f 1 6 = 3 1 ² = Ainsi, le sommet S a pour coordonnées : S 1 6 ;25 12 Pour trouver le tableau de variation, il faut étudier le signe de a (qui est le coefficient devant le ²). Si a est positif, la parabole fait un sourire, sinon, elle fait une moue. De plus, a = 3< 0 on en déduit donc le tableau de variation : f² 25 12

8 IV. Fonctions homographiques Définition : Une fonction homographique est une fonction f définie par : f a b où a, b, c, d c d sont des réels donnés avec c 0. Une fonction homographique est définie losque cd c est-à-dire lorsque d. Son ensemble de c définition est donc : D f =- d c Eemples : f est une fonction homographique (a ; b ; c ; d) et D f = g = est une fonction homographique (a ; b ; c ; d) et D g =-{ } h n est pas une fonction homographique Représentation graphique : L ensemble de définition d une fonction homographique est toujours l ensemble des nombres réels privés de la valeur d c. Comme d n a pas d image par f, ka représentation graphique de f dans un repère ne coupe pas la c droite verticale d équation d c Les représentations graphiques des fonctions homographiques sont constituées de deu parties distinctes, et dans un repère orthonormé, on les nomme hyperbole. Eemple : Soit f la fonction définie par : f définie sur -{3} Sa représentation graphique est donnée cicontre : C f ne touchera jamais cette droite