Placement optimal de capteurs sur des modèles EDP

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Agnès Beaudet
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1 Placement optimal de capteurs sur des modèles EDP E. Trélat Univ. Paris 6 (Labo. J.-L. Lions) et Institut Universitaire de France Lancement du DIM RDM-IdF, 8 décembre

2 Motivations Problème Placer des capteurs sur un système de manière "optimale". Objectifs Réduire le coût de l instrumentation. Optimiser l efficacité de la reconstruction et des estimations. Difficultés Poser un problème mathématique pertinent, et savoir le résoudre!

Optimiser l efficacité de la reconstruction et des estimations.

3 Motivations Domaine de l automobile Mesures vitesse, consommation, maintien, coordination des roues, équilibrage, systèmes ABS, ESP, capteurs de recul, latéraux,... Video de créneau autonome E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

systèmes ABS, ESP, capteurs de recul, latéraux,.

4 Motivations Robotique Capteurs de contact, visuels, etc.

5 Motivations Domaine de la médecine Monitoring, mesures, détection de tumeurs,...

6 Motivations Domotique Température, hygrométrie, ensoleillement, régulation, alarme, télésurveillance.

7 Motivations Surveillance GPS, satellites.

8 Motivations Jeux vidéos Détection, reconstruction de mouvement.

9 Starcraft : E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

10 Starcraft : Extrapolons : Etant donné un domaine Ω, vu comme un billard, est-il possible de trouver un point B Ω tel que tout point R Ω soit joignable par une boule lancée depuis le point B? Sinon combien faut-il de points? Et où faut-il les placer, "de manière optimale"? E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

boule lancée depuis le point B? Sinon combien faut-il de points?

11 Problème de type billard : Extrapolons : Etant donné un domaine Ω, vu comme un billard, est-il possible de trouver un point B Ω tel que tout point R Ω soit joignable par une boule lancée depuis le point B? Sinon combien faut-il de points? Et où faut-il les placer, "de manière optimale"?

point R Ω soit joignable par une boule lancée depuis le point B?

12 Contre-exemple : le champignon de Penrose. Dans un billard elliptique : une trajectoire qui coupe l axe focal entre les foyers F et F, le recoupe toujours à l intérieur du segment [FF ].

13 Contre-exemple : le champignon de Penrose. Dans un billard elliptique : une trajectoire qui coupe l axe focal à l extérieur du segment [FF ], le recoupe toujours à l extérieur.

14 Contre-exemple : le champignon de Penrose. On coupe une ellipse en deux suivant l axe focal et on ne garde que la moitié supérieure. On ajoute deux lobes. il n existe aucun rayon géométrique joignant B à R. Cependant, un point source B placé dans le chapeau peut permettre d atteindre tout point du champignon.

15 Contre-exemple : le champignon de Penrose. Sur cette variante de champignon, il faut au moins deux points sources pour atteindre tout point du champignon : un dans chaque demi-ellipse. Cette construction peut être itérée : pour tout n N, il existe des domaines pour lesquels au moins n sources sont nécessaires. (Luc Hillairet, Images des Maths)

tout point du champignon : un dans chaque demi-ellipse.

16 Généralisation mathématique : étude de l équation des ondes Ω R d T > fixé ω Ω sous-ensemble de mesure > Equation des ondes avec conditions au bord de Dirichlet y tt y =, (t, x) (, T ) Ω, y(t, ) Ω =, y(, ) = y L (Ω), y t (, ) = y H (Ω) (y, y ) L (Ω) H (Ω)!y C (, T ; L (Ω)) C (, T ; H (Ω)) Observable z = χ ωy (ou bien équation de Schrödinger iy t = y)

y =, (t, x) (, T ) Ω, y(t, ) Ω =, y(, ) = y L (Ω), y t (, ) = y H (Ω) (y, y ) L (Ω) H

17 Observabilité Inégalité d observabilité Le système est dit observable (en temps T ) s il existe C T (ω) > t.q. (y, y ) L (Ω) H (Ω) Z T Z C T (ω) (y, y ) L H y(t, x) dxdt. ω Bardos-Lebeau-Rauch (99) : l inégalité d observabilité est vraie ssi le couple (ω, T ) vérifie la Condition de Contrôle Géométrique (Geometric Control Condition, GCC) dans Ω : Tout rayon de l optique géométrique qui se propage dans Ω et se réfléchit sur son bord Ω intersecte ω en temps T.

ω Bardos-Lebeau-Rauch (99) : l inégalité d observabilité est vraie ssi le couple (ω, T ) vérifie la Condition de

18 Observabilité Inégalité d observabilité Le système est dit observable (en temps T ) s il existe C T (ω) > t.q. (y, y ) L (Ω) H (Ω) Z T Z C T (ω) (y, y ) L H y(t, x) dxdt. ω Bardos-Lebeau-Rauch (99) : l inégalité d observabilité est vraie ssi le couple (ω, T ) vérifie la Condition de Contrôle Géométrique (Geometric Control Condition, GCC) dans Ω : Tout rayon de l optique géométrique qui se propage dans Ω et se réfléchit sur son bord Ω intersecte ω en temps T. Question Quel est le meilleur sous-ensemble possible ω de mesure donnée? < L < fixé, sup C T (ω) ω Ω ω =L Ω

ω Bardos-Lebeau-Rauch (99) : l inégalité d observabilité est vraie ssi le couple (ω, T ) vérifie la Condition de Contrôle Géométrique

19 Observabilité Inégalité d observabilité Le système est dit observable (en temps T ) s il existe C T (ω) > t.q. (y, y ) L (Ω) H (Ω) Z T Z C T (ω) (y, y ) L H y(t, x) dxdt. ω Bardos-Lebeau-Rauch (99) : l inégalité d observabilité est vraie ssi le couple (ω, T ) vérifie la Condition de Contrôle Géométrique (Geometric Control Condition, GCC) dans Ω : Tout rayon de l optique géométrique qui se propage dans Ω et se réfléchit sur son bord Ω intersecte ω en temps T. ( R T R ω sup inf y(t, ) x) dxdt ω Ω (y, y ) (y, y ) L (Ω) H (Ω) \ {(, )} ω =L Ω L H

20 Critère spectral Par des considérations spectrales et probabilistes, on se ramène au problème suivant : sup ω Ω ω =L Ω Z inf φ j (x) dx j N ω où (φ j ) j N base hilbertienne de L, composée de fonctions propres du Laplacien Dirichlet, φ j = λ j φ j.

=L Ω Z inf φ j (x) dx j N ω où (φ j ) j N base hilbertienne

21 Dimension En dimension, avec Ω = [, π], on a le problème sup ω [,π] ω =Lπ Z inf sin (jx) dx j N ω sin (jx) = cos(jx) donc R ω sin (jx) dx = Lπ R ω cos(jx) dx Pour tout ω, on a R ω cos(jx) dx lorsque j + (lemme de Lebesgue) Z donc inf j N ω sin (jx) dx Lπ, puis sup ω [,π] ω =Lπ Z inf sin (jx) dx Lπ j N ω Théorème sup ω [,π] ω =Lπ Z inf sin (jx) dx = Lπ j N ω

22 En dimension supérieure Le problème sup ω Ω ω =L Ω Z inf φ j (x) dx j N ω est lié au comportement asymptotique des carrés des fonctions propres φ j. La physique quantique s intéresse aux limites possibles des mesures de probabilité µ j = φ j dx, et notamment à la question : - l énergie a-t-elle tendance à s équidistribuer (i.e., µ j dx Ω ), - ou au contraire l énergie peut-elle se concentrer? (par exemple, µ j Dirac)

23 En dimension supérieure Le cas du disque Il existe une sous-suite de φj qui converge vaguement vers la Dirac au bord (phénomène des whisperring galleries). E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

24 En dimension supérieure Onde laser dans une fibre optique : Onde dans un bassin d eau en forme de stade : E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

25 En dimension supérieure Systèmes intégrables : Systèmes chaotiques : E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

26 En dimension supérieure Le phénomène de "scar" dans une cavité chaotique : théorie du chaos quantique : N. Anantharaman, S. Nonnenmacher,... E. Trélat Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

27 En dimension supérieure Ce comportement asymptotique a des conséquences importantes dans le problème d observabilité optimale. phénomène de spillover : L ensemble optimal du problème tronqué à N modes sup ω Ω ω =L Ω Z inf φ j (x) dx j N ω est le pire domaine pour le problème tronqué à N + modes sup ω Ω ω =L Ω Z inf φ j (x) dx j N+ ω

28 Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L=. Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N=5 and L=. Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L=. Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L= Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L=.4.5 Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N=5 and L=.4.5 Problem : Optimal domain for N= and L= Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L=.6.5 Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N=5 and L=.6.5 Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L= E. Trélat Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L=.6.5 Problem (Dirichlet case): Optimal domain for N= and L= Placement optimal de capteurs sur des modèles EDPs

29 Perspectives applications en médecine, biologie : Paris 5, Paris 6, Paris 7, Paris, Polytechnique, Versailles, INRIA électromagnétisme, mécanique, robotique, télécommunications : Paris 6, Paris, ENS, Polytechnique, ENSTA, Versailles, Cergy, Telecom ParisTech, INRIA chaos quantique : Paris, CEA, ENS, Dauphine, Paris 7, Cergy, Ponts applications à l aéronautique, aux géosciences : Paris 6, Paris, ENS, ENSTA, INRIA traitement mathématique de l image : Cachan, Paris 5, Paris 6, Paris, ENS, Polytechnique, INRIA... Initiative de Recherche "Contrôle non linéaire et optimisation" Elaboration (en cours) d un partenariat entre la FSMP et EADS Astrium. Débouchés étudiants : thèses, postdocs, emplois. But : structurer et renforcer des équipes universitaires et industrielles dont les recherches en contrôle non linéaire et optimisation débouchent sur des applications concrètes liées au domaine aérospatial. Parmi les thématiques : Problèmes d optimal design : placement optimal de capteurs, d actionneurs. Par exemple : comment placer optimalement les injecteurs dans un moteur de fusée, de façon à optimiser la réaction?

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