EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES I DEFINITIONS (n) Une équaion différenielle es une équaion de la forme F(,,,,, ) 0 où es une foncion inconnue de e n fois dérivable n es l ordre de l équaion II EQUATIONS DU PREMIER ORDRE II Equaions à variables séparées : f () + g() 0 (ou f ()d + g()d 0 ) Eemple : + sin + 0, en inégran cos + sin + c 5 5 Méhode : On déermine des primiives F e G de f e g e F () + G() c II Equaions à variables séparables : ()g () + f ()g () 0 f Eemple : ( ) ' 0 Les foncions consanes e son deu soluions On sépare les variables :

2 ln + + c + + c e c e (Si K 0 alors -, sik ± alors ) [ ln+ ln ] c Ke Méhode : On muliplie par le faceur inégran pour obenir une équaion à f()g() f () g() variables séparées, + 0 Les valeurs 0 elles que g (0) 0 son elles que f () g () 0 es soluion de la ère équaion Si la soluion 0 n es pas donnée par une valeur (finie ou infinie) de la consane dans l inégrale générale, c es une soluion singulière II Equaions homogénes : ' F( ) + Eemple : ' ' + on pose d où ' ' + (ou d d + d) ; Ke +

3 ' + + ' ( ) deu soluions pariculières apparaissen : (' ) (' -) ' + ln + ln + c K K K + d où 5 K K + Méhode : On effecue le changemen de variables équaion en à variables séparables puis ( ' ' + ) pour obenir une II Différenielle eace f (, ) + g(, )' 0 avec f g Méhode : f g Si f (, ) d + g (, ) d 0 e alors oale eace df e on inégre pour obenir F(,) C f (, )d + g(, ) d es une différenielle Eemple : ( 0 ) + ( + )' 0 (ou ( 0 )d + ( + )d 0 )

4 f ( d( 5 0 g, il eise donc F(,) elle que df f (, )d + g(, )d 0 ) + d( )d + ( ) + d d(( + )d d( 5 + ) 5 ) + ( ) 0 d + d) + d d où ( + ) 5 C II 5 Equaions LINEAIRES ( er degré en e ') du er ordre : + a() b() Si b() 0 l équaion es sans second membre e es à variables séparables + a() 0 ln a(u)du + C 0 La soluion générale de l équaion sans second membre es 0 Ke a(u) du Théorème La soluion générale de l équaion avec second membre es la somme de la soluion générale de l équaion sans second membre e d une soluion pariculière de l équaion avec second membre Dém :

5 Soi une soluion pariculière de l équaion avec second membre e la soluion générale de l équaion avec second membre Alors : a(u) du 0 ' + a()( ) 0 Ke 0 e + Ke a(u) du Recherche de soluions pariculières de l équaion avec second membre quand a() a (foncion consane) : - Si b() es un polnôme de degré n on cherche une soluion polnomiale de degré n - Si b() ccosα + d sin α on cherche une soluion de la forme λ cos α + μsin α β - Si b() (ccos α + dsin α) e on cherche une soluion de la forme ( λ cosα + μsin α)e β β - Si b() p () e : n ) Si β a, on cherche une soluion de la forme ) Si β a, on cherche une soluion de la forme (p n e q n son deu polnômes de degré n) Théorème * Soi e deu soluions indépendanes de l équaion avec second membre La soluion générale es donnée par : + α( ) q q n n () e () e β β

6 Méhode de Lagrange die de VARIATION DE LA CONSTANTE : On cherche des soluions de l équaion avec second membre en faisan varier la 0 consane K dans l epression Ke soluion de l'équaion sans second membre a(u) du Eemple : - soluion de l équaion sans second membre: 0 0 C ln ln + C e K - On fai varier la consane K : K + K K K K ln + C' - La soluion générale de l équaion es ln + C' Cas pariculier des équaions linéaires du er ordre à coefficiens consans : + a b Une soluion pariculière es b a(u)du 0 a( 0 ) a e Ke Ke Ce a

7 La soluion générale es donc : Ce a + b a Eemple : cas d'un circui élecrique (E,R,C) L'inconnue es la foncion Q() e dq() Q '() i() d Q() Q() E / RC Ri () + E d'où Q '() + e Q() Ke + EC, Q ( ) EC e C RC R K / RC K Q(0) EC e i() e RC II 6 Equaions (non linéaires) de Bernoulli : ' + a() Méhode : On effecue le changemen de variables équaion linéaire du er ordre en z n b() n z pour se ramener à une Dém n n n n z' ( n) ', ' + a() b() ' + a() b() z' + ( n)a()z ( n)b() Eemple : ' +

8 On pose z ' z' - ' z + donne z ' L équaion sans second membre a pour soluion : z' ln z ln + c z K z On fai varier la consane : K ' + K K K' K + C d où la soluion générale de l équaion en z es + z C e + C II 7 Equaions (non linéaires) de Riccai : ' a() + B() + c() Si on connai une soluion pariculière on pose : + e z se calcule grâce à une z équaion linéaire II 8 Equaions (non linéaires) de Clairau : ' + f (') En posan on obien grâce à deu inégraions l équaion d une famille de droies c + f (c) e l enveloppe de cee famille de droies es donnée parmériquemen par f '() e f () f '() III EQUATIONS DU SECOND ORDRE F (,,, ) 0

9 III Equaions linéaires + a() + b() c() Méhode : * On ajoue à la soluion générale de l équaion sans second membre une soluion pariculière de l équaion avec second membre * variaion des consanes : Si λ + μ es la soluion générale de l équaion sans second membre on cherche des soluions de la forme λ() + μ() en imposan λ ) + μ () 0 ( * L eamen du second membre peu suggérer des soluions pariculières III a) Equaions linéaires sans second membre + a() + b() 0 Méhode : * Si e son deu soluions indépendanes alors la soluion générale es de la forme λ + μ * Si es une soluion pariculière on pose z e z vérifie une équaion de la forme A ()z + B()z 0 où z ne figure pas On pose alors z e vérifie une équaion du er ordre Eemple : + + 0

10 Une soluion pariculière es peu êre de la forme m m m m(m ) + m + 0 m + m + 0 m ou λ μ générale + m m D où la soluion Dans le cas général on ne sai pas inégrer si on ne connai pas de soluions pariculières Equaions linéaires sans second membre e à coefficiens consans + a + b 0 Méhode : On cherche à priori des soluions pariculières de la forme l équaion caracérisique E : r + ar + b 0 ) Si a r r b > 0 E a deu racines réelles r e r e Ae + Be ) Si a r b 0 E a une racine réelle r e (A B)e + r e On obien ) Si a b < 0 E a deu racines complees r α + iβ e r α iβ e e α (A cos β + B sin β) Eemple : 5 0 r r 5 0 r 5 e r d où Ae 5 + Be

11 Eemple : r 6r r r d où Eemple : (A + B)e r + r r + i, r i d où e (A cos + Bsin ) Cas pariculier fondamenal : + b 0 b b * si b < 0 Ae + Be * si b > 0 (A cos b + B sin b) Eemple : 0 Ae + Be Eemple : A cos + Bsin Applicaion : Cas d'un circui élecrique (E, R,L,C) L'inconnue es la foncion Q() e dq() Q '() i() d di() Q() R Q() E L + Ri() + E d'où Q "() + Q' () + d C L LC L

12 Une soluion pariculière de l'équaion avec second membre es : Q () EC R Q() Soi l'équaion générale sans second membre : Q "() + Q'() + 0, en essaan une L LC r R soluion de la forme e l'équaion caracérisique es : r + r + 0 de discriminan L LC Δ (R C LC) / L C er cas : RC + R C LC RC R C LC Δ > 0, r,r e LC LC Q ( ) EC ème cas : RC + i LC R C RC i LC R C Δ < 0, r, r e LC LC Q() EC + e ème cas : R L Δ 0, r (A cos ω + Bsin ω) R L, avec LC R C ω LC R L Q() EC + (A + B)e r r Q () EC + Ae + Be,

13 III b) Equaions linéaires avec second membre e à coefficiens a() e b() consans + a + b ϕ() : μ μ μ μ - Si ϕ() pn () e, on cherche des soluions de la forme qn ()e, qn ()e, qn () e respecivemen si μ n'es pas soluion de l'équaion r + ar + b 0, si μ es une racine simple e si μ es une racine double - Si ϕ() es un polnôme de degré n on cherche une soluion polnomiale de degré : n si b 0, a quelconque ; n+ si b 0 e a 0 ; n+ si a b 0 γ - Si ϕ() ( αcosω + βsinω)e, on cherche des soluions de la forme : γ () ( λ cosω + μsin ω)e si γ + i ω n'es pas soluion de r + ar + b 0 e γ () ( λ cos ω + μsin ω)e si γ + i ω es soluion III Equaions de la forme F (,, ) 0 ( ne figure pas) Méhode : On pose z e z es soluion d une équaion du er ordre G(, z, z ) 0 Eemple : 5 Alors z z 5 La soluion générale de l équaion en z sans second membre es : z z z 0 ln z ln + a z K z En faisan varier la consane :

14 5 (K + K) K 5 K K 5ln + b e z 5 ln + b u u d où 5 u ln u du + b + c 5 ln u du + b + c a a a 5 5 ln + b + K e ln + K + K