PCSI1-PCSI2 DNS n 07 - Pour le mardi 03 janvier Exercices ou premières questions d exercices posés à l oral des concours.

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1 Exercices ou premières questions d exercices posés à l oral des concours Exercice ENSEA-ENSAM [ Montrer que α, π ], cos 4 α) + sin 4 α) = 2 2 sin2 2α) puis que si a, b) R+) 2 alors a 2 cos 2 α) + b 2 sin 2 α) ) b 2 cos 2 α) + a 2 sin 2 α) ) = a 2 b 2 + a2 b 2 ) 2 sin 2 2α) 4 2 Montrer qu il existe a, b) R 2 tel que n N, ) at + bt 2 cos nt) dt = n 2 ] 3 Soit a π 2, π [ et x ], [, montrer que si f x) = arctan tan a) x ) alors f est 2 ) + x dérivable sur ], [,et f x) = Im x + e 2ia 4 Déterminer les matrices de M de M 3 R) qui commutent avec N = Soit M une solution, montrer qu il existe trois matrices A, B et C de M 3 R) telles que M soit une combinaison linéaire de A, B et C dx 5 Soit I = ln2) 3chx + shx, déterminer a, b) Z2 tel que I = π 2 a + b arctan 2) ) ) ) 2π 4π 2π 6 Montrer que + 2 cos + 2 cos =, en déduire cos Petites Mines 7 Résoudre y 3y + 2y = e x + x avec y ) = y ) = cos x) 8 Soit f x) =, peut-on prolonger f en une fonction continue sur R, dérivable sur R, x 2 de classe C sur R? ) m + n p ) ) m n 9 Soient m, p) N 2, montrer : n N, = p k p k k= On pourra raisonner par récurrence sur n Soit f : x, et F la primitive de f sur ]3, + [ nulle pour x = 4 x + ) 3 x) Etudier les asymptotes de G définie sur ]3, + [ par G x) = xf x) Soit F définie sur R par F x) = cos x +sin x π e t2 +x dt, déterminer la dérivée en x = 2 Exprimer sin 3x) à l aide de puissances de sin x et de cos x En déduire les primitives de sin 3x) x 2 sin 2 poser ensuite u = cos x) x) CCP 3 Quelles sont les racines de 2z 2 + 3z + 2 sur C? /6 Lycée Faidherbe, Lille

2 4 Montrer que pour n 7, e 2iπ n < 5 Etudier l équation arctan x) + x = 6 Résoudre z + ) n = z ) n où n N et z C est l inconnue 7 Résoudre sur ], + [ l équation différentielle y + x y = 2x x 2 8 Résoudre 2x 2 y + y = sur ], [, sur ], + [ et sur R 9 Soit P un polynôme unitaire ie de coefficient dominant égal à ) de degré 3 et tel que P ) = Calculer P ) + P j) + P j 2) où j = 2 + i Soit n N et f n définie par f n x) = n 2 x n x) Déterminer le maximum u n de f n sur [, ] Quelle est la limite de u n ) n N? 2 Soit n N et f n définie par f n x) = arctan a) On fixe x ], + [, déterminer lim f n x) n + b) Quelle est la monotonie de f n sur ], + [? ) ) x + n arctan + nx x 22 On considère la fonction f définie sur ], ] par f t) = t3 t a) Montrer que f réalise une bijection de ], ] sur un intervalle I à préciser b) Soit u la bijection réciproque, définie sur I, montrer que x I, u x) 3 + xu x) = c) Justifier que u est dérivable sur I et que pour x I, u u x) x) = 3u x) 2 + x d) Montrer que u ) 2 et que u x) 3u x) e) Montrer que u x) x + x 23 Soient a > et S a : C R,R) C R,R) l application qui à f associe S a f) : x x+a f t) dt 2a x a ) πt a) Soit f : t sin, déterminer S a f) a b) Soit f C R,R), montrer que S a f) est de classe C c) Montrer que S a n est ni injective, ni surjective 24 Soient λ R et u n ) n N définie par u, u ) R 2 et pour n N, u n+2 = u n+ + λu n a) On suppose que 4 < λ <, montrer que X2 X λ admet deux racines réelles Montrer que la suite u n ) n N converge b) On suppose que < λ < 4, montrer que X2 X λ admet deux racines complexes r et r, comparer r et La suite u n ) n N converge-t-elle? 2/6 Lycée Faidherbe, Lille

3 c) On suppose que λ = 4, expliciter u n si u = et u = 25 Soit J = M 3 R) par 2 2 et soient F et G les deux fonctions définies sur R et à valeurs dans F x) = I 3 + e x ) J et G x) = I 3 e x + ) J a) Calculer J 2, la matrice J est-elle inversible? b) Montrer que x, y) R 2, F x) F y) = F x + y), que peut-on en déduire sur l inversibilité de F x)? c) Pour x, y) R 2, calculer de même G x) G y) Que peut-on en déduire? d) Pour x, y) R 2, montrer que G x) = F y) G x) F y) Mines-Ponts 26 Soit n N et g n définie sur [, ] par g n t) = e t t n) n Justifier que g n est dérivable sur [, ] et que t [, ], g n t) et n Centrale PC ) a c 27 Soit T = M 2 R), calculer T k pour k N b 28 Sans calculatrice) Comparer π 3 et 3 π quel est le plus grand?) 29 Montrer que x R, n N, sin nx) n sin x) 3 Soit a R fixé, déterminer les applications f de classe C sur R telles que x R, f x) = f a x) Pour le fun 3 Peut-on placer tous les carrés de côté de longueur n sans qu ils se chevauchent? n N et n 2) dans un carré de longueur 32 Soit M = {P R, P =, P minorée }, l ensemble des parties non vides et minorées de R, et f : R R Montrer l équivalence : f croissante sur R) P M, finfp )) inffp ))) 3/6 Lycée Faidherbe, Lille

4 Exercice 2 Polytechnique-ESPCI - PC - 24 Montrer que M, matrice carrée possédant un et un seul terme non nul par ligne et par colonne, est inversible 2 Polytechnique-ESPCI - PC - 24 Trouver toutes les fonctions u de classe C sur [, +] vérifiant : xu x) + ux) = x 3 Polytechnique-ESPCI - PC -24 z z 2 Pour z C, on note M = z z Calculer M n pour n N Le résultat subsistet-il pour n = z 2 z? 4 Mines-Ponts - PC - 24 x + ) /x x /x) x lnx)) 2 Calculer lim x + x x/x x 5 CENTRALE - PC - 24 Montrer que A, matrice réelle de taille n, dont les coefficients diagonaux sont nuls et tous les autres valent, est inversible, et donner son inverse 6 CENTRALE - PSI - 24 Résoudre dans C : + x) 2n = x) 2n où n N Calculer le produit des solutions non nulles 7 CCP - MP - 24 Soit J M 3 R), la matrice dont tous les coefficients valent Exprimer A = à l aide de J et de I 3, et en déduire un polynôme annulateur de A de degré 2 Calculer A n 8 CCP - PC - 24 On pose : gx) = x sinx) : calculer g x) + gx) Résoudre sur R : E ) «y + y = cosx)» et E 2 ) «y y = x» Donner toutes les solutions paires de E ) et les solutions impaires de E 2 ) Trouver toutes les fonctions f de classe C 2 sur R telles que : f x) + f x) = x + cosx) 9 CCP - PC - 24 Développement limité à l ordre 3 au voisinage de de ft) = e et En déduire f k) ) pour k 3 CCP - PSI - 24 Montrer que fx) = chx) 2 chx) et gx) = sont définies pour x = puis qu elles x2 x 2 sont prolongeables par continuité en 4/6 Lycée Faidherbe, Lille

5 TELECOM Sud Paris - MP - 24 Soit M = I n + X t Y où X, Y ) M n, R) 2 Montrer que M 2 est combinaison linéaire de I n et de M Discuter l inversibilité de M 2 ENTPE - PSI -24 Montrer que cosn) + sinn) pour tout n N 3 TELECOM Sud Paris - PSI - 24 Quel est le rang de la matrice carrée de taille n dont les coefficients valent m i,j = + a i a j où les a k sont des réels? 4 ENSAM - PT - 24 Montrer que l ensemble des polynômes P solutions de «P x) = combinaison linéaire Montrer que, si P est solution, P l est aussi x+ x P t)dt» est stable par Montrer qu un polynôme P de degré 2 ne peut pas être solution et conclure quant à l ensemble des solutions polynomiales de ce problème 5 ENSAM - PT - 24 On note C une matrice colonne à n lignes n 2), et L une matrice ligne à n colonnes et A = CL I n Peut-on avoir A = I n? Montrer : A 2 = LC 2)A + LC )I n 6 CCP - TSI -24 Résoudre x 2 y + y = dans ], + [ et ], [ On note f une solution sur ], + [ : étudier la limite de f en + Résoudre l équation différentielle sur R 7 Polytechnique-ESPCI - PC - 23 La suite de terme général u n = quelle est sa limite? 8 MINES-PONTS - PSI Trouver la limite l de la suite de terme général I n = 9 CCP - MP n radicaux) converge-t-elle? Si oui, dt + t n Montrer que, si u n ) et v n ) sont deux suites réelles telles que u n v n, alors u n et v n sont de même signe à partir d un certain ) rang ) Trouver le signe de u n = sh tan au voisinage de + n n 2 CCP - PC - 23 Montrer que T x) = dt existe sur R + tx 5/6 Lycée Faidherbe, Lille

6 Montrer : T x) + T x) =, interprétation? Calculer T ), T ), T ), T 2), T 2) 2 CCP - PC - 23 Montrer : t [, π 2t ], sint) t 2 π 22 CENTRALE - PC - 22 Soit A, matrice dont les coefficients de la première ligne, la première colonne et la diagonale valent, tous les autres étant nuls Montrer que A est inversible et trouver son inverse 23 ENTPE - MP - 22 x n Montrer que I n = + x dx existe et que I n) tend vers Trouver un développement asymptotique à deux termes de I n de la forme I n = a n + b n 2 +o n 2 ) 24 PT - 22 Soit f, de R dans R, dérivable en Trouver la limite en de 25 CCP - TSI - 22 Déterminer toutes les suites u n ) telles que u n+2 = 2u n+ u n Soit f telle que : x [, ], 2x fx) [, ] et f2x fx)) = x On pose : v = α [, ], v n+ = 2v n fv n ) f2x) fx) 2x Montrer : n N, v n [, ], v n+2 = 2v n+ v n, v n = nα fα)) + α Montrer fα) = α Conclusion? 6/6 Lycée Faidherbe, Lille