Chapitre IX : Géométrie dans l espace

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1 5. Exercices A. Les points M, N et P sont situés sur les arêtes SA, SB et SC de la pyramide SABC. On désigne par I l intersection de MN et AB, par J celle de NP et BC et K celle de MP et AC. Complète la figure et démontre s ils existent que I, J et K sont alignés. Que peux-tu dire si MP et AC sont parallèles? Il n y a pas d intersection. Trace la figure. La figure est un triangle parallèle à la base ABC Dans quel cas les points I, J et K n existent-ils pas? Les points I, J, K n existent pas lorsque MP // AC, MN // AB ou NP //BC K I J Hypothèses : Tétraèdre SABC M [SA], N [SB] et P [SC] MN AB = {I}, NP BC = {J} et MP AC = {K} Thèse : I, J et K sont alignés Les points I, J et K appartiennent aux plans ABC et MNP. Puisque ces plans ont au moins un point commun, ils ont une droite commune, qui est leur intersection. Les trois points communs aux deux plans appartiennent à leur droite d intersection. Ils sont donc alignés. B. Démontre les propriétés suivantes : 1. Si un plan coupe un second plan suivant une droite, alors il coupe tout plan parallèle suivant une droite parallèle à la droite Hypothèses : α // β et plan π d = α π et e = β π Thèse : d // e G. Amenta 114 C.E.S. Saint-Vincent

2 Démonstration par l absurde : Si d non parallèle à e, alors ces deux droites situées dans le plan π, auraient un point commun qui serait aussi un point de α et de β. Or les plans α et β sont parallèles donc sans points communs. Ce qui est contraire à l hypothèse donc d // e. 2. Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l un coupe l autre. Hypothèses : α // β d α = {A} Thèse : d perce β Soit C β et d, par C on mène e // d. Les droites e et d définissent un plan π. Les plans β et π ont un point commun, C et donc une droite commune. Cette droite coupe la droite e en un point B car e // d. Ainsi d perce β en B. 3. Si trois plans sont sécants deux à deux, alors les trois droites d intersection sont soit sécantes, soit parallèles. Hypothèses : α, β, γ : α β = d, β γ = e et α γ = f Thèse : soit d // e et e // f, soit d, e et f un point commun 1 er cas : les trois droites d intersections sont distinctes Dans β, d et e ne peuvent que être que // ou sécantes. a) supposons d // e Si f non // d, alors f d et f non // e, alors f e. Soit f coupe d et e en un même point alors d et e sécantes ce qui contredit Soit f coupe d et e en deux points distincts alors f β, ce qui est impossible puisque f est l intersection de α et γ, donc f serait aussi intersection de α et β et de β et γ.ce qui contredit que les trois droites sont distinctes. Alors d // e // f. b) supposons d et e sécantes en P P d donc P α et P e donc P γ. Ainsi P appartient à leur intersection, la droite f. Les trois droites sont donc concourantes en P. Il n y a pas d autres point sinon les trois droites seraient confondues. 2 ème cas : les trois plans sont sécants selon la même droite. Dans ce cas les droites d, e et f sont parallèles confondues G. Amenta 115 C.E.S. Saint-Vincent

3 4. Une droite est parallèle à un plan ssi elle est parallèle à une droite de ce plan. Il y a dans ce cas une condition nécessaire et une condition suffisante. CN : Hypothèses : d une droite // α Thèse : d // e α 1 er cas : d α, elle est parallèle à elle-même 2 ème cas : d α = Soit A α, ainsi A et d détermine un plan β. Ces deux plans ont une droite commune e, vu qu ils ont un point commun A. Les droites d et e sont coplanaires et non sécantes, sinon la droite d aurait un point commun avec α. Ainsi d // e. CS : Hypothèses : d // e α Thèse : d // α d // e, donc d et e coplanaire. 1 er cas : d α donc d // α 2 ème cas : d α, donc les droites d et e coplanaire déterminent un plan β α. La droite e est commune aux deux plans donc e = α β. La droite d ne perce pas α, sinon d et e auraient un point commun alors qu elles sont // disjointes. Donc d // α. 5. Deux plans sont parallèles ssi deux droites sécantes de l un sont respectivement parallèles à deux droites sécantes de l autre. Il y a dans ce cas une condition nécessaire et une condition suffisante. CN : Hypothèses : α // β Thèse : deux droites sécantes de α sont parallèles à deux droites sécantes de β. 1 er cas : α = β : Evident 2 ème cas : α // β et α β a) Soient A α et B β, a et b deux droites sécantes incluses à α et comprenant A. γ = (B, a) et π =(B, b) γ et β ne peuvent être // car ils contiennent B et ne peuvent être confondus car sinon ils contiendraient a de α. Donc β et γ sont sécants, soit c la droite d intersection. b) De même manière on obtient d la droite d intersection entre les plans β et π. c) c et d sont sécants car elles ont le point B en commun mais ne peuvent confondues sinon a // b alors qu elles ont sécantes. d) a et c dans γ ne peuvent être sécante car sinon leur point d intersection appartiendrait à α et à β qui sont parallèles disjoints. Donc a // c. e) De même, b // d Ainsi les droites sécantes a et b de α sont parallèles aux droites d et e de β. CS : G. Amenta 116 C.E.S. Saint-Vincent

4 Hypothèses : a et b sécantes de α et d et e sécantes de β et a // c et b // d. Thèse : α // β Supposons α β = e. On ne peut avoir en même temps e // c et e // d, sinon c //d 1 er cas : e c c β et e β alors soit C = c e. On a c // a et C c, la droite c est donc l unique parallèle à a comprenant C. De plus a α, il n existe qu une seule parallèle à a passant par C. Cela ne peut être que c qui est incluse dans α. c et e sont des sécantes incluses dans α et β, alors les plans α = β ce qui contredit la supposition. 2 ème cas : e d, cela se démontre de la même manière que le premier cas. 6. Par un point donné, on ne peut mener qu un seul plan perpendiculaire à une droite donnée. Hypothèses : droite d ; point P Thèse : α: P α et α d ; α est unique. Démonstration 1 er cas : P d Soient α et β deux plans distincts contenant d. Par P, dans α, on mène a d et par P, dans β, on mène b d. Soit π = (a, b). Le plan π d car cette droite est perpendiculaire à deux droites particulières passant par son pied dans le plan. Ce plan est unique ; supposons qu un autre plan γ, passant par P, soit aussi perpendiculaire à la droite d. Un autre plan, soit µ, mené par la droite d, couperait alors les plans α et β définis ci-dessus suivant deux droites PQ et PR d et situées dans un même plan µ, ce qui est impossible. Donc π est le seul plan d au point P. 2e cas : P d Soit a = (P, d ). Dans α, par P, on mène PA d. Dans un plan quelconque comprenant la droite d, on mène par A la droite q d. Soit π = (AP, q); ce plan π d, car d est perpendiculaire à deux droites passant par son pied A dans ce plan. Le plan π est unique; supposons qu un autre plan β mené par P soit aussi d et soit C le point de percée de la droite d dans ce plan. Dès lors la droite d serait perpendiculaire à CP et à AP et on pourrait dans le plan α = (P, d) mener deux perpendiculaires à d par le point P ce qui est impossible. Donc π est le seul plan perpendiculaire à la droite d mené par le point P. G. Amenta 117 C.E.S. Saint-Vincent

5 7. Par un point donné, on ne peut mener qu une seule droite perpendiculaire à un plan donné. Hypothèse : plan α ; point P Thèse : d :P d et d α; d est unique. 1 er cas : P α Il suffit de construire une droite perpendiculaire à deux droites du plan α passant par P. Soit une droite quelconque du plan α : a passant par P. Par le théorème démontré ci-dessus, on sait que, par P, on peut mener un et un seul plan β perpendiculaire à la droite a. Ce plan β coupe le plan α suivant AB. Dans le plan β, on mène d perpendiculaire à AB en P ; d est la perpendiculaire cherchée car d AB par construction et d a car d β et b a. La droite d est unique ; supposons qu il y ait en P deux perpendiculaires d et d au plan α. Le plan (d,d ) couperait le plan α suivant une droite q ; on aurait d q et d q, ce qui est impossible. Donc la droite d est la seule droite perpendiculaire au plan α en P. 2ème cas : P α Soit a une droite quelconque du plan α; par P, on mène un plan β a. Soit A le point de percée de a dans β et AB la droite d intersection des plans α et β. On a AP a et AB a. Dans le plan β, on mène par P, la droite d AB ; il faut vérifier que la droite d est la perpendiculaire cherchée. Soit R le point de percée de d dans le plan α. Soit C un point quelconque du plan α. Il faut démontrer que d RC, ce qui revient à démontrer que le triangle PRC est rectangle en R, c est-à-dire que PC ² = PR ² + RC ². Or le triangle PAC est rectangle, donc PC ² = PA ² + AC ² (1). Les triangles RAC et PRA sont rectangles, donc AC ² = RC ² RA ² et PA ² = PR ² + RA ². En remplaçant dans (1), on obtient : PC ² = PR ² + RA ² + RC ² RA ² ; on a donc établi que le triangle PRC est rectangle en R, ce qui prouve que d RC. La droite d est donc perpendiculaire au plan α, car elle est perpendiculaire à deux droites passant par son pied dans le plan. La droite d est unique ; supposons qu on puisse mener deux droites d et d perpendiculaires au plan α. Le plan (d,d ) couperait alors le plan α suivant une droite a qui serait perpendiculaire aux droites d et d, issues de P, ce qui est impossible si d d. Par le point P, on ne peut donc mener qu une seule droite d perpendiculaire à un plan donné. G. Amenta 118 C.E.S. Saint-Vincent

6 8. Si une droite est perpendiculaire à deux plans, ces deux droites sont parallèles. Hypothèses : plans α et β ; droite d : d α et d β Thèse : α // β Si α = β, le théorème est immédiat. Soit α β (voir figure). Démonstration par l absurde : si α et β ont un point P commun, on pourrait mener par P deux plans distincts perpendiculaires à une même droite d, ce qui est impossible. Donc α//β. 9. Si deux plans sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l un est perpendiculaire à l autre. Hypothèses : plans α et β ; α//β et droite d : d α en A Thèse : d β La droite d perce le plan β en un point B. Dans β, par le point B, on mène une droite quelconque b. Le plan (b, d) coupe le plan α suivant une droite a parallèle à b passant par A. Puisque d α, d est perpendiculaire à toute droite de α et donc d a et donc d b puisque a//b. La droite d, perpendiculaire à une droite b quelconque du plan β, et passant par son pied dans ce plan, est perpendiculaire à toute droite passant par son pied dans ce plan et est donc perpendiculaire à ce plan. 10. Si deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Hypothèses : droites a et b : a//b et plan α : α a en A Thèse : α b La droite b perce le plan α en un point B. Pour démontrer que b α, il suffit de démontrer que b est perpendiculaire à deux droites sécantes passant par son pied dans le plan. Comme α a, on sait que a est perpendiculaire à toute droite passant par son pied dans le plan donc a AB; comme a//b, on en déduit que b AB. Dans le plan α, on trace par B la droite e AB ; cette droite est perpendiculaire au plan (a, AB), qui est en fait le plan (a, b). Dès lors, b e. La droite b est donc perpendiculaire aux deux droites AB et e, qui passent par son pied dans le plan α, elle est donc perpendiculaire à ce plan. G. Amenta 119 C.E.S. Saint-Vincent

7 11. Si deux plans sont perpendiculaires, tout plan parallèle à l un est perpendiculaire à l autre. Hypothèses : plans α et π : α π ετ plan β : β // α Thèse : β π Si β = α, le théorème est immédiat. Soit β α. α π d π : d α Cette droite d est donc orthogonale à toute droite incluse dans le plan α. Soient c la droite d intersection des plans π et α, et A le point de percée de d dans le plan α. Par A, on mène dans α, la droite a c. On a a π car a à deux droites sécantes de π ; en effet, (d π d a) et a c par construction. Soit B un point quelconque de β ; par B, on peut mener une et seule droite b parallèle à la droite a. Cette droite b est tout entière dans β, sinon elle aurait un point commun avec le plan α et les plans α et β ne seraient pas parallèles. On a b π ; le plan β est donc perpendiculaire au plan π car il contient donc une droite b perpendiculaire à ce plan. 12. Si deux plans sont perpendiculaires, toutes droites perpendiculaires à l un est parallèle à l autre. Hypothèses : plans α et π : α π et droite d : d α Thèse : d // π Supposons que la droite d ne soit pas parallèle au plan π, c est-à-dire que la droite d perce le plan π en un point P. Comme les plans α et π sont, on peut mener par P une droite a α. Du point P, on aurait donc deux perpendiculaires (les droites d et a) au plan α, ce qui est impossible. Donc d // π. 13. Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même troisième, leur intersection est perpendiculaire à ce troisième. Hypothèses : plans α et β : α β = d et plan π : π α et π β Thèse : d π Démonstration π α a : a α et a π π β b : b β et b π Les droites a et b sont parallèles. Soit A un point de l intersection des deux plans. ; par A, on mène une droite p π. On a p//a et p//b. Les plans (A, a) et (p, a) sont confondus avec le plan α ; il en est de même pour les plans (A, b) et (p, b), confondus avec le plan β. La droite p est commune aux deux plans ; elle est donc confondue avec leur intersection. Comme p π et d = p, on a d π. G. Amenta 120 C.E.S. Saint-Vincent

8 14. Deux plans sont parallèles ssi l un d eux est perpendiculaire à une droite perpendiculaire à l autre. Condition nécessaire Condition suffisante Hypothèses : plans α et β : α // β Hypothèses : plans α et β et droite d : d α droite d : d α et β d Thèse : β d Thèse : α // β Exercice 9 Exercice Si une droite et un plan sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux. Hypothèses : plan α et droite a et droite d : d α et d a Thèse : a//α Soit A le point de percée de d dans α et B le point commun des droites d et a. Le plan (a, d) coupe le plan α suivant la droite b. Puisque d est perpendiculaire à α, elle est perpendiculaire à toute droite de α passant par son pied dans le plan, donc d b. Les droites a et b sont coplanaires et perpendiculaires à une même droite d ; elles sont donc parallèles. Et la droite a, étant parallèle à une droite du plan α, est parallèle à ce plan. 16. Si deux droites sont perpendiculaires à un même plan, alors elles sont parallèles entre elles. Hypothèses : droites a et b et plan α : a α et b α Thèse : a // b Soient A et B les points de percée des droites a et b dans α. Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles. On mène par B la parallèle b à a. Dès lors b serait perpendiculaire au plan α et par B, on pourrait mener deux perpendiculaires b et b au plan α, ce qui est impossible. Les droites a et b sont donc parallèles. G. Amenta 121 C.E.S. Saint-Vincent

9 C. Soit un cube, On appelle A un de ces sommets et on considère le plan α défini par les trois sommets reliés à A par une arête du cube. Démontre que la diagonale AB du cube est perpendiculaire à α. Hypothèses : Cube AGCDEFBH Thèse : AB EDG 1) AB ED En effet ABH ED puisque BH ED. (ED est une droite du plan EAH, plan d une face du cube) perpendiculaire à HB (droite contenant une arête du cube) et que AH ED (les diagonales d un carré sont perpendiculaires). 2) AB EG (analogue). 3) Puisque AB est orthogonale à deux droites sécantes du plan EDG, elle est orthogonale à ce plan. D. Soit un tétraèdre MNPQ. On suppose que les triangles MNP et MBQ sont isocèles respectivement en P et Q. Démontre que la droite PQ est orthogonale à MN. Hypothèses : Tétraèdre MNPQ, MP = PN et MQ = QN Thèse : MN QP Soit H le pied de la hauteur issue de M dans le triangle MQP. Ce point H est aussi le pied de la hauteur issue de N dans le triangle NQP, car ces deux triangles sont égaux, car ils ont leurs trois côtés égaux deux à deux. On a donc QP MH et QP NH ; la droite QP perpendiculaire à deux droites sécantes du plan MHN, est perpendiculaire à ce plan et donc orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à la droite MN. On a donc MN QP. E. Dans une pyramide régulière SABCD à base carrée, on appelle O le centre de la base ABCD. Le point M est le milieu de l arête [AD]. Démontre que A est perpendiculaire au plan SOM. Hypothèses : pyramide régulière SABCD à base carrée et M, milieu de l arête [AD] Thèse : AD est perpendiculaire au plan SOM La pyramide SABCD est régulière, donc SO est la hauteur de cette pyramide. La base est carrée, donc la droite OM est la médiatrice du segment [AD], ce qui entraine OM AD. Puisque la pyramide est régulière, le triangle ASD est isocèle en S et SM en est donc la médiane et la hauteur, donc SM AD. L arête AD est donc perpendiculaire en M aux droites MO et MS du plan SOM, ce qui permet de conclure que l arête AD est perpendiculaire à ce plan. G. Amenta 122 C.E.S. Saint-Vincent

10 F. Si par un point, on mène deux droites, l une perpendiculaire à un plan, l autre perpendiculaire à une droite de ce plan, alors cette dernière droite est perpendiculaire au plan des deux perpendiculaires. (Cette propriété est appelée : théorème des trois perpendiculaires) Le point P est dans le plan π Hypothèses : plan α ; droite d, d α ; point P π et PB α et PA d Thèse : d (PA, PB) Par hypothèse, on a d PA; il faut démontrer que d AB. On prend sur d, de part et d autre du point A et à égale distance de celui-ci, deux points C et D que l on joint aux points B et P. Par hypothèse PA d et, par construction, A est le milieu du segment [CD], donc AP est, dans le plan PCD, médiatrice du segment [CD], ce qui entraine CP = DP. On en déduit que les obliques BC et BD qui s écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales : BC = BD. Donc BA est, dans le plan BCD, la médiatrice du segment [CD], puisque B et A sont équidistants de C et de D. On en conclut que BA d. La droite d est donc perpendiculaire au plan (PA, PB) puisqu elle est perpendiculaire aux deux droites BA et PA passant par son pied dans le plan. Le point P est extérieur au plan π Hypothèses : plan α ; droite d α ; point P π et PB α et PA d Thèse : d (PA, PB) Par hypothèse, on a d PA; il faut démontrer que d AB. On prend sur d, de part et d autre du point A et à égale distance de celui-ci, deux points C et D que l on joint aux points B et P. Par hypothèse PA d et, par construction, A est le milieu du segment [CD], donc AP est, dans le plan PCD, médiatrice du segment [CD], ce qui entraine CP = DP. Les obliques CP et DP étant égales, s écartent également du pied B de la perpendiculaire p, c est-à-dire BC = BD. On en conclut que BA est, dans le plan π, la médiatrice du segment [CD], puisque B et A sont équidistants de C et de D ; on en déduit que BA d. La droite d est donc perpendiculaire au plan (PA, PB) puisqu elle est perpendiculaire aux deux droites BA et PA passant par son pied dans le plan. G. Amenta 123 C.E.S. Saint-Vincent