Par «paquets» : Différents types : Ecriture de position :
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- Raphael St-Germain
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2 1. Commet compter? Pr «pquets» : o commecé pr costruire des symoles ouveux pour chcu des «iveux» : 10, 100, 1 000, etc. C'est le cs des écritures égyptiee, grecque ou romie. Ce mode de représettio coduisit à ue impsse : o e pouvit écrire u grd omre qu'à coditio d'voir le symole correspodt. Différets types : tous les systèmes e formiet ps les «pquets» de l même mière : Certis chgeiet de «iveu», pr exemple, à 10, d'utres à 1 ou à 60. O trouve u reste de ces prtiques ds les ctuelles mesures de temps et d'gles. Ecriture de positio : L grde découverte qui do issce à l'ctuel système d'écriture des omres viet prolemet de l'ide, véhiculée et trsformée pr les Ares. C'est ue écriture de positio ds lquelle les symoles sot peu omreux. L plce de chcu d'etre eux ds le omre e idique le «iveu». O peut doc, grâce à ce système, écrire potetiellemet 'importe quel omre à coditio d'voir (et de créer) u sige pour mrquer l'sece, le zéro.
3 . Esemles de omres Nomres etiers : Ils formet ue échelle commeçt pr u poit de déprt, le zéro ds les systèmes usuels, et se poursuivt idéfiimet. L esemle est oté N. À cette derière foctio, dite «crdile», est liée, celle d'opértio (dditio et multiplictio). L somme et le produit de deux etiers sot ecore des etiers. O peut défiir leurs opértios réciproques (ou iverses), l soustrctio et l divisio. Nomres reltifs : Pour doer u ses à ue soustrctio comme 5 7, impossile pour les etiers, o prologe ceux-ci pr ue suite symétrique pr rpport à 0 ; celle-ci est formée des mêmes omres précédés du sige mois et iscrits ds u ordre iverse. L'esemle s'écrit lors : { 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 }. Ce ouvel esemle Z des etiers reltifs s'éted idéfiimet ds les deux ses ; il est formé de deux prties, les omres égtifs,précédés du sige mois, et les omres positifs.
4 . Esemles de omres Nomres rtioels : Ue divisio de A pr B 'est possile, vec les etiers, que si A est u multiple de B. Qud ce 'est ps le cs, l méthode d'extesio, qui servi pour les soustrctios, mèe à poser ce quotiet comme ue etité ouvelle défiie précisémet pr l divisio : le quotiet de pr 3, pr exemple, est u rtioel. Leur représettio se fit de deux fços : soit sous l forme de frctio ( s'écrit lors /3), soit sous l forme décimle (α est lors égl à 0,666 ). Avec Q est rélisée l clôture lgérique de l'esemle des etiers pr rpport ux qutre opértios qui y sot turellemet défiies. L'esemle des omres rtioels est le plus petit esemle cotet les etiers et ds lequel toutes les opértios défiies sur N isi que leurs iverses sot possiles ss ucue restrictio.
5 . Esemles de omres Les omres réels : Dès l'atiquité grecque, o découvert que certies grdeurs issues de costructios géométriques (pr exemple ou π) échppet à toute détermitio excte : ce sot les omres irrtioels. Prmi ceux-ci, certis, dits «omres lgériques», peuvet être décrits comme solutios d'ue équtio lgérique à coefficiets rtioels ; d'utres, dits «omres trscedts» (tel π), e sot solutio d'ucue équtio à coefficiets rtioels. L'esemle R des omres réels est isi formé pr tous les omres rtioels et irrtioels. Les omres complexes : Ds l'esemle R isi costitué, il reste cepedt ue opértio impossile : le clcul de l rcie crrée d'u omre égtif. Pour dépsser cette impossiilité, o est meé à costruire des omres, dits «imgiires», tels que le omre i, vérifit pr défiitio l reltio : i 1. O éted doc isi les omres réels e les ploget ds u esemle plus vste ds lequel o peut extrire les rcies de 'importe quel omre positif ou égtif. L'esemle oteu est l'esemle C des omres complexes.
6 3. Systèmes de umértio Défiitio : U système de umértio est u esemle de covetios pour former les omres, les dire, les écrire et clculer. De mière plus géérle, c est u système qui permet de représeter u omre (ou u mot) pr l juxtpositio ordoée de symoles pris prmi u esemle. Coître l umértio permet de compredre les mécismes qui permettet de psser d u omre à u utre. Exemples : Système déciml : compred 10 symoles ppelés chiffres : {0,1,,3,4,5,6,7,8,9} Système iire : compred symoles ppelés it {0,1} Système hexdéciml : compred 16 symoles, les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F
7 3. Systèmes de umértio Covetios : L esemle de symoles que possède le système de umértio est ppelé se. Lorsqu u mot (omre) est écrit, l positio respective des symoles détermie leur poids. Le symole le plus à droite représete toujours les uités Les positios des symoles se liset de droite à guche
8 4. Ecriture Pricipe - U omre N peut s écrire ds ue se quelcoque B. Le omre N s écrit pr juxtpositio de symoles - Le omre N pour vleur décimle : N B B K 1B 0B - Cette écriture est ppelée forme polyômile - L élémet i est le symole de rg i et so poids est B i - -1 est le symole le plus sigifictif (poids le plus fort) - 0 est le symole le plus file - Les coefficiets B i sot ppelés coefficiets de podértio - N est lors codé sur its
9 4. Ecriture Exemples Système déciml : 561, Système iire : Système hexdéciml : (1101) ( 0 ) A 16 C 16 AC
10 4. Ecriture Ecriture scietifique L ottio scietifique est ue représettio d u omre déciml. Elle cosiste à exprimer le omre sous l forme ± x 10, où ± est ppelé sige, est u omre déciml de l'itervlle [1 ; 10[ ppelé mtisse (ou sigificde) et est u etier reltif ppelé expost. Il y doc qu u seul chiffre (o ul) à guche de l virgule, puis u omre vrile de décimles (omres près l virgule), qui déped de l précisio ,
11 5. Bses du clcul Opértios L dditio plus L soustrctio L soustrctio - mois L dditio L multiplictio X Ou sece de sige Multiplier pr Fcteur de L divisio L divisio / Divisé pr L multiplictio
12 5. Bses du clcul Propriétés Ds u clcul vec plusieurs opérteurs, o effectue ds l'ordre : Les multiplictios (et les puissces) Les divisios Les dditios et les soustrctios Ds ue expressio cotet des clculs etre prethèse, o effectue le clcul des prethèses vt tout le reste Siges et prethèses : Avec u sige devt l prethèse : o peut elever les prethèses ss prolème Avec u sige - devt l prethèse : pour elever les prethèses, o doit chger les siges de l esemle des termes de l prethèse Distriutivité de l multiplictio pr rpport à l dditio: Si u omre multiplie ue prethèse, ce omre se distriue (se multiplie vec) sur chcu des termes de l prethèse.
13 Frctios 5. Bses du clcul Ecriture : o e clcule l frctio que si elle correspod à u omre etier. Si elle correspod à u omre déciml, et ecore plus s'il e se termie ps, o préférer, grder l'écriture frctioire du omre Simplifictio : c c Additio ou soustrctio : D'ord les mettre sous le même déomiteur Esuite trsformer les umérteurs de l même fço qu ot été trsformés les déomiteurs Efi dditioer ou soustrire les umérteurs etre eux Multiplictio : Pour multiplier deux frctios etre elles ou vec u omre, il suffit de multiplier les umérteurs et les déomiteurs etre eux, coformémet ux différetes règles de multiplictio Divisio : Diviser ue frctio pr u omre (ou ue utre frctio), c'est multiplier l frctio pr l'iverse de ce omre (ou de cette frctio)
14 5. Bses du clcul Puissces U omre soumis à ue puissce (ou expost) se multiplie pr lui même, utt de fois que l'idique l puissce (ou expost) si elle est supérieure à 1. U omre à l puissce 0 vut toujours 1. Opértios ( ) ( ) p p p p p p 1
15 5. Bses du clcul Idetités remrqules ( ) ( ) ( )( )
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