Ordre et comparaisons

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1 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS Ordre et comprisons. ACTIVITÉ SUR L ORDRE.. nomres positifs et nomres négtifs. Les réels se représentent sur l droite réelle. Dire que x est positif(ou nul) s écrit : x 0. Dire que x est négtif (ou nul) s écrit : x 0. Dire que x est nul s écrit : x = 0. x 0 négtif 0 nul x 0 positif Attention : L écriture x ne veut ps dire que l on prle d un nomre négtif. x signifie l opposé de x. Propriété : (à completer) () L opposé d un nomre négtif est, (2) l opposé d un nomre positif est. (3) L somme de deux nomres positifs est, (4) l somme de deux nomres négtifs est. Propriété 2 : (à completer) () L inverse d un nomre négtif est, (2) l inverse d un nomre positif est. (3) Le produit de deux nomres de même signe est, (4) le produit de deux nomres de signe contrire est. Remrque : Dire que x est strictement positif s écrit x > 0 et signifie que x est positif et est non nul. Dire que x est strictement négtif s écrit x < 0 et signifie que x est négtif et est non nul..2. Ordre dns R. Lorsque deux nomres réels ne sont ps égux, il en un plus grnd que l utre. Mettre dns l ordre (ou ordonner, ou comprer), c est dire lequel est le plus petit et lequel est le plus grnd. On utilise les smoles <, >, et. Dire que est plus petit que s écrit : Dire que est égle à s écrit = : Dire que est plus grnd que s écrit : Exercice. (comprison dns D) () Comprer les nomres décimux suivnts : () 5234, 286 et 5224, 284 ; () 5234, 356 et 345, 43 ; (c) 5, 36 et 6, 43 ; (d) 7, 32 et 7, 33 ; (e) 2, 23 et 2, 24 ; (2) Dégger des exemples ci-dessus un moen de comprer 2 nomres décimux. Exercice 2. (comprison dns Q) Pour chque cs, comprer les nomres suivnts (justifier) : () () 4 et 7 ; () 3 3 et 7 3 ; (c) c et où < et c > 0. c (2) () 2 et 2 3 ; () 4 7 et 4 9 ; (c) c et c où 0 < <. (3) () 23 2 et 34 3 () 7 4 et 6. Exercice 3. (comprison dns R) comprer les nomres suivnts (justifier) : () 2 et π ; () 2 et 3 ; Exercice 4. Résoudre dns R les inéqutions suivntes : () 3x ; () x/2 + 2 < 0

2 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS Critères de comprison. 2. RELATION D ORDRE Critère : Dire que est inférieur ou égl à signifie que l différence est positive ou nulle. C est-à-dire équivut à 0. Ce qui signifie que pour comprer deux nomres, on regrde le signe de leur différence. Exercice 5. et sont deux réels strictement positifs. Comprer les nomres A et B suivnt en étudint le signe de leur différence(critère ci-dessus). Dites si A et B peuvent être égux. () A = + et B = ( + )( + ) (exercice 4p.54) (2) A = + et B = 2 + (exercice 42p.54) (3) A = + et B = 2 (exercice 43p.54) Critère 2 : Pour comprer deux nomres, on peut les comprer à un troisième. En effet, si < c et c < lors <. Exemple : On, 44 < 2 <.45 et, 570 < π/2 <, 57. Donc 2 <.45 <, 570 < π/2. Exercice 6. On les encdrement suivnt :, 7320 < 3 <.732,, 44 < 2 <.45, 2, 2360 < 5 < 2, 236 et 2, 6457 < 7 < 2, Rnger dns l ordre croissnt les nomres suivnts 4, 3, 5, 2 et 7. Si 0 < < que pensez vous de et? Propriété 3 : () Ajouter ou soustrire un nomre ux deux memres d une inéglité conserve l ordre. { { +c c lors +c +c lors c c (2) Multiplier ou diviser pr un nomre strictement positif conserve l ordre. { { k, k > 0 k, k > 0 lors k k lors k k (3) Multiplier ou diviser pr un nomre strictement négtif chnge l ordre. { { k, k < 0 k, k < 0 lors k k lors k k Exercice 7. Supposons que x est dns l intervlle [ 2, 6]. Trouver l intervlle où se situe les expressions suivntes () 3x 2 (2) x 2 + (3) x (4) 2x + 6 Exercice 8. Résoudre les inéqutions suivntes (chercher l ensemle des x qui vérifient les inéglités suivntes). () 3x (2) x 2 3 (3) f(x) 0 où f(x) = x/3 + 2 (4) g(x) où g(x) = 2x 3 Exercice 9. Résoudre dns R les inéqutions suivntes : () 3x 2 > x + (2) soient f(x) = x/4 et g(x) = 3x + 2. Déterminer l ensemle des x tels que f(x) g(x).

3 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS encdrement d un réel. On se sert des propriétés de l ordre pour trouver un encdrement de nomre réel. Propriété 4 : () Si < et c < d lors + c < + d (2) Si,, c et d sont des réels positifs tels que < et c < d lors c < d Exercice 0. Schnt que, 442 < 2 <, 443 et, 7320 < 3 <, 732, donner un encdrement de () (2) 2 3 (3) (4) 3( 2 3 3) 2 Exercice. x est un réel tel que 2 < x < 5. Donner un encdrement de A = x + x. Exercice 2. () On donne trois points A, B et C. On sit que AB mesure entre 0, 3 cm et 0, 4 cm, que AC est entre 5, 6 cm et 5, 8 cm. Schnt que CB mesure entre 4, 8 cm et 4, 9 cm les points A, B et C peuvent-ils être lignés? Qu en est-il si CB mesure entre 4, 6 cm et 4, 7 cm? B 6 ± 2 cm (2) Soit ABCD un prllèlogrmme. L ngle Â pour mesure C 60 exctement. Le coté BC mesure entre 5, 8 cm et 6, 2 cm et le coté AB mesure entre 3, 9 cm et 4, cm. Donner une pproximtion de l ire du prllèlogrmme. 4 ± cm comprison. A H D Comprison de 2 frctions. On v trouver un critère pour comprer 2 frctions. On commence pr donner un critère de comprison de / et / lorsque et sont 2 réels strictement positifs : Propriété 5 : Soient et deux nomres réels strictement positifs. Si < lors >. preuve : Pour comprer deux nomres on compre leur différence : c est-à-dire que > équivut à > 0 Or = Comme > 0 puisque > 0 et > 0, les signes de et de sont les mêmes.. Donc > 0 équivut à > 0, c est-à-dire à >. Exercice 3. (comprison dns Q) Pour chque cs, comprer les nomres suivnts (justifier) : () () et ; () et ; (c) et + où > > 0. + (2) () et 6 43 ; () et 42 6 ; (c) et + où > > 0. + Propriété 6 : Soient,, c et d qutres réels. On suppose que et d sont des nomres strictement positifs. L inéglité < c équivut à d < c. d Exercice 4. Donner 2 preuves de cette propriété.

4 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS comprison de, 2 et 3 lorsque est positif. Exercice 5. le ut de cet exercice est de comprer les nomres, 2 et 3 où un réel positif ou nul. () Comprer et 2, lorsque vut 0, 5, 0,, 0.9. Aux vues de ces résultts dns quel ordre rngeriezvous les nomres et 2 lorsque 0 < <? (2) En prennt des exemples, comme précédemment, comprer et 2 lorsque >. (3) Comprer les signes de 2 et (indiction : fctoriser 2 ). En utilisnt le critère d ordre, déduire une démonstrtion des conjectures vncées ci-dessus. (4) En fctorisnt l expression 3 2 comprer le signe de 3 2 en fonction de. Comprer lors 2 et 3 selon que 0 < < ou >. (5) Rédiger une démontrtion de l propriété ci-dessous Propriété 7 : () Si < lors < 2 < 3, (2) si 0 < < lors 3 < 2 < pssge u crré et à l rcine crré. Propriété 8 : 2 x 2 () Si 0 < < lors 2 < 2. (2) Si 0 < < lors < = x x x 3 x = x 2 Exercice 6. On v démontrer que cette propriété est vri : Soient 0 < < deux réels. () Vérifier sur des exemples que l propriété est vri (on pourr s ider de l clcultrice pour trouver des vleurs pprochées des rcines crrées). (2) En utilisnt une indentité remrqule, comprer le signe de 2 2 à celui de. En déduire l première prtie de l proposition. (3) L identité remrqule utilisée nous permet-elle de démontrer l seconde prtie de l propriété, en choisissnt judicieusement et (indiction : que vut ( ) 2 et ( ) 2 )? Exercice 7. On repondr ux questions suivntes, sns utiliser l clcultrice. () Montrer que 33 < 7 < 34. (2) Comprer A = 3 5 et B = 5 3. Exercice 8. Soient et deux réels strictement positifs. () Comprez les nomres A = + et B = (2) Comprez les nomres C = + et B = 2. x

5 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS Résolution grphique d inéqutions. 3. ORDRE ET ÉTUDE QUALITATIVE DES FONCTIONS Exercice 9. On donne ci-contre l représenttion grphique d une fonction f. A l ide du grphique, répondez ux questions suivntes : () Résoudre f(x) = 0. (2) Sur quel(s) intevlle(s) l fonction est-elle strictement positive? (3) Résoudre f(x) > 0. (4) Déterminer les cisses des points de l coure nt une ordonnée strictement positive. (5) Déterminer les réels qui ont une imge pr f qui est strictement positive. (6) Que pensez-vous des questions (2), (3), (4) et (5)? x Exercice 20. On utilise le grphique de l exercice précédent pour répondre ux questions suivntes : () Résoudre f(x) =. (2) Sur quel(s) intevlle(s) l fonction est-elle supérieur à? (3) Déterminer les réels qui ont une imge pr f qui est supérieure à. (4) Résoudre f(x). (5) Déterminer les cisses des points de l coure nt une ordonnée supérieure à. (6) Que pensez-vous des questions (2), (3), (4) et (5)? Exercice 2. On donne ci-contre l représenttion grphique d une fonction f. A l ide du grphique, répondez ux questions suivntes : () Déterminer les points pour lesquels f s nnule. (2) Sur quel(s) intevlle(s) l fonction est-elle positive? (3) Résoudre f(x) 0. (4) Déterminer les réels qui ont une imge pr f supérieure à. (5) Déterminer les scisses des points de l coure qui possède une ordnonnée strictement inférieure à? Exercice 22. On considère les fonctions f(x) = (2x + 3) 2 et g(x) = (x ) 2 définies sur R. On représenté ces fonctions sur le grphique ci-contre. () Résoudre grphiquement l éqution f(x) = g(x). Autrement dit, chercher les scisses des points qui pprtiennent à l fois à l coure représenttive de f et à celle de g. (2) Sur quel(s) intervlle(s), l coure représenttive de f est-elle u dessus de celle de g? (3) Déterminer grphiquement l ensemle des réels x pour lesquel f(x) g(x). (4) Trduisez l question (2) sous forme d inéglité (5) À l ide du cours, résolver dns R l inéqution (2x + 3) 2 (x ) 2. (6) En déduire vec précision l intervlle sur lequel f(x) g(x) C f 2 x C g

6 Seconde 0 - Année ORDRE ET COMPARAISONS vrition de fonction. On reprend ici l notion de vrition de fonction du point de vue lgerique. Exercice 23. Soient f(x) = 3x + 2 et g(x) = 7x + deux fonctions définies sur R. Représenter grphiquement ces fonctions. Quel est le sens de vrition de chcune de ces fonctions. Le démontrer à l ide de l définition. Plus générlement, on considére l fonction définie sur R, h(x) = x +, où et sont deux réels quelconques. Demontrer que h est une fonction strictement croissnte si > 0, constnte si = 0 et strictement décroissnte si < 0. Exercice 24. Soit f l fonction définie sur R pr l formule f(x) = x 2 4x. () Démontrer que l fonction f est strictement croissnte sur [2; + [, strictement décroissnte sur ] ; 2]. (2) Trouver les réels x tels que f(x) = 0. En déduire un tleu de signe de l fonction f. Exercice 25. Soit f l fonction x x 2 définie sur R. Démontrer que f est strictement décroissnte + sur R + = [0, + [ extremum. On reprend l étude des extremum du point de vue lgérique. Exercice 26. Soit f l fonction définie sur R pr : f(x) = x 2 + 4x + 5. () Démontrer que f(x) peut ussi s écrire sous l forme f(x) = 9 (x 2) 2. (2) Résoudre l éqution f(x) = 0. (3) Démontrer que f pour mximum 9 sur R. (4) Démontrer que f est strictement croissnte sur ] ; 2[ et strictement décroissnte sur ]2; + [. En déduire que f tteint son mximum u point 2. En déduire ussi le tleu de signe de f. Exercice 27. ABC est un tringle rectngle isocèle de sommet A, vec AB = AC = 6 cm. I est le milieu de BC et J le milieu de AC. On considère un point P lire sur CB, et AMP N est un rectngle. () À l ide de 2 tringles isométriques, montrer que le tringle M IN est isocèle rectngle. (2) On pose CN = x. C N J P I () Justifier que l ire du tringle MIN est 2 IN 2. () Clculer IJ, puis exprimer JN en fonction de x. En déduire l ire A (x) du tringle MIN en fonction de x. (c) Fctoriser A (x) A (3). En déduire l vleur pour lquelle l ire du tringle MIN est mximle. Où se situe lors le point P. A M B