NOMBRES COMPLEXES. I Définitions

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1 NOMBRES COMPLEXES Objectifs Définitions C, nombre complexe, forme algébrique, parties réelles imaginaires, imaginaire pur. Plan complexe, affixe, image, axe imaginaire, axe réel Introduction. Inclusions successives de IN, Z, IQ,IR, IC par résolution de x + 2 = 6 x + 6 = 2 6x = 5 x² = 5 x² = -1 Notion de Nombre imaginaire I Définitions 1) Nombres complexe : théorème définition On peut construire un ensemble de nombres, noté IC, dont les éléments sont appelés nombres complexes qui possède les propriété suivantes : - IC contient les nombres réels - IC contient un élément noté i, tel que i² = -1. i n est pas réel. - Un nombre complexe z s écrit de façon unique z = x + i y (où x et y sont réels) - On peut ajouter et multiplier des nombres complexes avec les mêmes règles de calcul que dans IR. Exemples : z = 5 z = 3 i z = i, z = π i 2) Notations et remarques. Soit z = x + i y. Cette notation est appelée forme algébrique de z x est appelé partie réelle de z, notée Re(z) y est appelé partie imaginaire de z, notée Im(z) Si Im(z) = 0, z est de la forme z = x. z est réel. Si Re(z) = 0, z est de la forme z = iy. Il est alors appelé imaginaire pur Deux nombres complexes z = x + i y et z = x + i y sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et imaginaires : z = z x = x et y = y En particulier z = 0 x = 0 et y = 0 3) Le plan complexe : Dans un repère orthonormal (O, u, v ) du plan, on dit qu un point x M de coordonnées a pour affixe le complexe z = x + i y. y M est appelé point image de z, et OM vecteur image de z Un réel a une image sur l axe des abscisses : il est alors appelé axe réel. Un imaginaire pur a une image sur l axe des ordonnées, alors appelé axe imaginaire. Exemples : 4) Remarque

2 Il n y a pas d ordre dans IC. Pas question de parler complexe «plus grand» qu un autre, ni de complexe positif, ou négatif. Sauf bien sur si ces nombres sont en fait réels. II Opérations sur les complexes. 1) Somme et opposé de complexes Si z = x + i y et z = x + i y alors z = z + z = (x + x ) + i(y + y ) Si z = x + i y, alors z = -x i y, Ces propriétés sont cohérentes avec la notion de vecteur image : x x Si OM y et OM y sont les vecteurs images de z et z OM + x + x OM a pour coordonnées y + y, qui est le vecteur image de z + z OMM M est alors un parallélogramme. De même l opposé de rapport à l origine OM est le vecteur image de z. Les points d affixes z et z sont symétriques par 2) Affixe de vecteurs Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B, alors AB a pour pour affixe z B - z A Preuve : noter que AB = AO + OB = OB - OA Application : le barycentre de (A,α) (B,β) a pour affixe (αz A + βz B ) (α + β) Application : centre de gravité 3) Produit de nombres complexes Si z = x + i y et z = x + i y alors le produit z.z se calcule avec les mêmes règles que dans R: z.z = (x + i y)( x + i y ) = xx + x iy + iyx + iy iy = xx + ixy + ix y + i² yy = xx + i( xy + x y) yy = (xx yy ) + i(xy + x y) Il est à noter que z.z = 0 ssi z = 0 ou z = 0. UN produit est nul ssi un facteur est nul! III Inverse, conjugué d un nombre complexe 1) Inverse d un complexe Si z = x + i y 0, alors 1 z = 1 x + i y Puisque z 0, x iy 0 donc. Cherchons à écrire ce nombre sous forme algébrique 1 z = x iy ( x + i y)( x iy) = x iy = x + i -y 2) Conjugué On appelle conjugué de z = x + i y le complexe z = x iy Avec cette notation, 1 z = z z z pour z 0

3 Exemples : 7+3i ; i ; -1 8i ; -3i ; 4 Représentation géométrique : 3) Propriétés du conjugué z = z ssi z є IR z = - z ssi z є iir. On peut ainsi vérifier qu un nombre est réel, ou imaginaire pur z + z = z + z z z = z z z n = z n z z = z z (si z 0) z + z = 2Re(z) Preuves : A faire en exercice. z z = 2Im(z) 4) Géométriquement : L image de z est le symétrique de l image de z par rapport à l axe réel IV RESOLUTION D EQUATION DU 2d DEGRE A COEFFICIENTS REELS Théorème : Si a,b,c sont 3 réels (a 0), et si le discriminant du polynôme ax² + bx + c est négatif, Alors l équation az² + bz + c admet 2 solutions complexes conjuguées : -b i - b + i - et 2a 2a Preuve : az² + bz + c = a(z² + b a z + c a ) = a[ (z + b b² )² - 2a 4a² + c a ] = a[(z + b 4ac b² )² - (i ) ² ] 2a 4a² -b i - b + i - = a( z - )(z - ) 2a 2a BIEN LIRE L ENONCE!! Exemples : z² + 4z + 12 = 0 Attention : pour calculer il faut que soit réel et donc que a,b,c soient réels. V MODULE ARGUMENT - NOTATION TRIGONOMETRIQUE 1) Module d un nombre complexe Si z s écrit z = x+ iy, on définit le module de z par On note alors z =. Géométriquement, ce module représente la distance OM si M est le point d affixe z Remarques : z = 0 si et seulement si z = 0 z est toujours positif (ou nul) en tant que distance. z = -z = z = z z La notion de module prolonge dans IC la notion de valeur absolue.

4 Exemples : 2) Argument d un complexe Si z est non nul, et a pour point image M dans le plan complexe muni du repère (O,U,V), On appelle argument de z toute détermination de l angle orienté ( OU ; OM) On note arg(z) = ( OU ; OM) Exemples : Remarques : Un autre argument de z est de la forme arg(z) + 2kπ, kє Z z є IR * arg(z) = 0 ou π z є iir * arg(z) = π 2 ou -π 2 arg( z ) = -arg(z) arg(-z) = arg(z + π) 3) Notation trigonométrique Le module et l argument d un complexe non nul correspondent aux coordonnées polaires de leur point image : x z = r = arg(z) = θ est définit par cos θ = x r = sin θ = y r = y Inversement, on a x = r cos θ et y = r sin θ D où l écriture trigonométrique d un complexe non nul : z = x + iy = r(cos θ + i sin θ) Exemples : z = -5 5i = 5 2 (cos(- 3π ) + I sin (-3π 4 4 )) Propriétés : Cette écriture est unique : 2 complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes module et argument ( à 2 π près) De même, si un complexe z s écrit r(cos θ + i sin θ) alors z = r et arg(z) = θ 4) Propriétés du module. Si z et z sont deux complexes non nuls, on a zz = z z Inégalité triangulaire : z z = z z 1 z = 1 z z + z z + z z = z z n = z n pour tout n IN 5) Propriétés de l argument Si z et z sont 2 complexes non nuls, Arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) Arg( z z ) = arg(z) arg(z ) arg(1 z ) =-arg(z) arg(zn ) = n.arg(z) Arg( z ) = -arg(z) Preuves en exercice : utiliser la forme trigonométrique

5 6) Applications Si A, B, C, D sont 4 points disctincts d affixes respectives a,b,c,d alors : ( AB, CD)=arg d c b a Le lieu des points M(z) tels que z a = z b est la médiatrice du segment [AB]. Le lieu des points M(z) tels que z a = R est le cercle de centre A, de rayon R. On obtient les équations de ces ensembles en utilisant la forme algébrique de z. Une égalité entre complexes s interprète toujours en termes de modules ET d argument : Calculer z B z A pour z z C z A = 1 + i z B = 3 + 4i z C = 4 i. Interpréter. A z B z A = i en termes de modules : AB = 1 donc AB = AC z C z A AC ABC est isocèle rectangle en A En termes d arguments : ( AC ; AB) = π 2 VI NOTATION EXPONENTIELLE 1) Notation e iθ Pour tout angle θ IR, on définit e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Justification de l emploi de cette notation : grâce aux propriétés de l argument cette notation est cohérente avec les propriétés de l exponentielle : e i0 = 1 e i(θ + θ ) = e iθ e iθ Application : notation exponentielle. Si z est un complexe non nul, z s écrit de façon unique z = r e iθ, où r = z et θ = arg(z) (notation unique si θ ]-π ;π] ou θ [0 ;2π[ Propriétés : e iθ est un complexe de module 1. e i0 = e i2π =1 e i(θ + θ ) = e iθ e iθ e i(θ θ ) = eiθ e iθ r e iθ = r e -iθ (e iθ ) n = e inθ n Z 2) Formules de Moivre et d Euler : pour tout θ IR a. Formule de Moivre : (e iθ ) n = e inθ (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) b. Formules d Euler Cos(θ) = eiθ + e -iθ 2 Preuves : exercice sin(θ) = eiθ e -iθ 2i c. Applications : Linéariser cos 3 (x) Exprimer cos(3θ) en fonction de cos(x) et sin(x)

6 3) Equation paramétrique d un cercle. Rappel : une équation cartésienne du cercle de centre Ω(x 0 ;y 0 ) et de rayon R est : (x x 0 )² + (y y 0 )² = R² Une équation paramétrique de ce cercle est z = w + Re iθ, θ [0 ;2π[ (avec w = x 0 + i y 0 ) Donc tout point de cette forme est un point de C ; tout point de C peut s écrire sous cette forme. Preuve : VII Transformation complexe Dans ce paragraphe, on note M un point du plan complexe, M son image par une transformation, z et z leurs affixes respectives. 1) Translation La translation T de vecteur t a pour écriture complexe z = z + z t où z t est l affixe de t. Autrement dit T(M) = M, et on déterminer z grâce à la formule z = z + z t. Exemples : Preuve : 2) Homothétie L homothétie H de centre Ω(w) et de rapport k (k IR*) a pour écriture complexe. z = k(z w) + w preuve : ΩM = k exemples : ΩM 3) Homothétie L homothétie H de centre Ω(w) et de rapport k (k IR*) a pour écriture complexe. z = e iθ (z w) + w preuve : ΩM = ΩM et ( ΩM ; exemples : ΩM ) = θ 4) Reconnaître une transformation Quelle transformation géométrique a pour écriture complexe : z = z + 7 2i z = -4z i z = 1 i 3 z i 2 1) Chercher les points fixes éventuels résoudre l équation z = z 2) Déterminer la nature ET les éléments caractéristiques de la transformation.