TMS 12 = d w 2 = (1 p)u (w 1 ) (w 2 )

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1 Chapitre 7 La demande d assurance Sommaire 7. Introduction Élaboration d un contrat d assurance élémentaire Quelques relations La demande d assurance Contrat d assurance optimal L auto-assurance L auto-protection Introduction NOUS SAVONS QUE LES PERSPECTIVES RISQUÉES ont un indice d utilité égal à leur espérance d utilité. Considérons un individu ayant une aversion pour le risque. Il est confronté à une infinité de perspectives risquées définies de la façon suivante : il existe deux états du monde s et s 2 ; les probabilités sont ( p) et p ; les gains (revenus, richesses...) sont des grandeurs monétaires w et w 2 variant de zéro à l infini. Si la fonction d utilité du revenu certain de l individu est u, l utilité d une perspective risquée quelconque s écrit U ( w, w 2 ;( p), p ) = ( p) u(w ) p u(w 2 ), (w w 2 ) R 2, p [ ]. Si on admet que p est fixé, alors cette fonction ne dépend que du couple (w, w 2 ) et peut se représenter sous forme de courbes d indifférence. On montre facilement que les courbes d indifférence d un individu présentant une aversion pour le risque (u > et u < ) sont convexes. La première bissectrice s appelle la ligne de certitude. Elle décrit toutes les perspectives risquées qui ont la particularité d être certaines (sur la première bissectrice, on a en effet w = w 2 ). Le taux marginal de substitution entre richesse dans l état du monde et richesse dans l état du monde 2 s écrit, TMS 2 = d w 2 = ( p)u (w ) d w pu > (7.) (w 2 ) et il est classiquement défini comme l opposé de la pente en un point d une courbe d indifférence. Une des particularités du TMS est la valeur qu il prend sur la ligne de certitude. Sur cette dernière, on a par définition w = w 2. Par conséquent, le TMS s écrit, On a donc la proposition, TMS 2 = ( p)u (w ) pu (w ) = p p (7.2). Faites le!

2 2 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE w ligne de certitude w FIGURE 7. Courbes d indifférence et ligne de certitude Proposition. En tout point de la ligne de certitude, le taux marginal de substitution est égal au rapport des probabilités des deux états du monde w 2 TMS= p ligne de certitude p U = U FIGURE 7.2 TMS et ligne de certitude Supposons qu un individu soit confronté à la situation risquée suivante représentée par le point O dans le graphique 7.3 : dans l état du monde sa richesse vaut w = 6 alors que dans l état du monde 2 elle ne vaut que w 2 =,5. Une représentation sous forme de courbes d indifférence montre qu il existe une infinité de couples (w, w 2 ) R 2 qui lui procureraient plus de satisfaction. Certains de ces couples comme les pointsa, A 2,... sont certains. D autres comme les points B, B 2,... sont risqués. Considérons maintenant l ensemble des perspectives risquées qui ont la même espérance de gain que notre projet risqué original O = (w, w 2 ). L espérance de gain au point O qu on notera par commodité E[O] est, w E[O] = ( p)w pw 2. (7.3)

3 7.2. ÉLABORATION D UN CONTRAT D ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE w 2 w 2 = p p w E[O] p A B 3 B 2 A 2 A 3 B ligne de certitude O U = U w FIGURE 7.3 Comparaison des perspectives risquées Appelons Ω l ensemble des perspectives risquées ayant la même espérance de gain que le projet O, Ω = { (w, w 2 ) R 2 } E[O] = ( p)w pw 2. (7.4) Un calcul élémentaire montre que l ensemble des couples de Ω définissent une droite, w 2 = p p w E[O] p = p p w ( p)w pw 2, (7.5) p de pente p p et passant par le point O. Le graphique 7.3 montre que : certaines perspectives risquées comme B, B 2, A 3 sont préférées par l individu tout en «rapportant plus en moyenne» que la perspective risquée originale ; certaines perspectives risquées comme B 3 sont plus appréciées bien qu elles «rapportent moins en moyenne» ; d autres comme A 2 sont plus appréciées tout en ayant la même espérance de gain ; enfin, il en existe une le point A dont l utilité est identique à celle de la perspective risquée originale mais qui est «certaine». Ce n est rien d autre que ce que nous avons déjà appelé le revenu équivalent certain de O. On pourrait généraliser ce graphique en traçant des courbes «d iso-espérance de gain». Je vous laisse tracer un tel graphique à titre d exercice. Ces préliminaires étant faits, nous allons commencer à nous intéresser aux assurances. Mais avant de nous y plonger tout à fait, j aimerais vous faire remarquer que dans le graphique précédent il existe plusieurs zones intéressantes. Dans le graphique 7.4, on constate qu il existe une zone où les projets risqués sont plus appréciés que O tout en «rapportant moins en moyenne» que O. C est la présence de cette zone 2 qui permet de comprendre l existence des entreprises d assurance. 7.2 Élaboration d un contrat d assurance élémentaire Considérons un individu possédant une certaine richesse composée d une partie certaine et d une partie risquée. Pour fixer les idées, on admettra que l individu possède de l argent (w ) et une maison qui vaut A. Cette maison est soumise à un risque (unique) d incendie. Pour simplifier (considérablement) les choses, on admettra que s il 2. Chez un individu qui présente une aversion pour le risque.

4 4 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE w 2 w 2 = p p w E[O] p O FIGURE 7.4 Une zone intéressante U = U n y a pas d incendie, elle vaut A alors que s il y a un incendie elle vaut zéro. La probabilité d un incendie pendant une période donnée est p. La valeur de la maison est donc une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli. On a l habitude de travailler avec une variable aléatoire équivalente qui rend compte des dommages subis par la maison. Si on note D la valeur des dommages, on aura, ligne de certitude w Pr[D = ] = p (7.6) Pr[D = A] = p (7.7) En supposant que la partie certaine de la richesse vaut 3, que la maison vaut 2, la situation d un individu qui n est pas assuré se représente par le point O sur la figure 7.5. Supposons maintenant qu une entreprise d assurance propose à cet individu le contrat suivant : l individu paie une prime P =, disons en début d année ; L assurance lui rembourse sa maison si elle brûle. Le dédommagement qu on note q est égal à la valeur du dommage subi si le risque se réalise, c.-à-d. D = A. Le fait de payer une prime P = va réduire la richesse de l assuré dans les deux états du monde. En effet, la prime est versée en début d année de façon certaine. Que la maison brûle ou pas, l assuré sera moins riche du montant de la prime. Sur le graphique 7.5, l assuré est situé au point O = (4,2) une fois la prime payée. Si l affaire devait en rester là, il est clair que l assuré refuserait la proposition de l assureur : sa richesse étant inférieure à ce qu elle était dans les deux états du monde, son niveau d utilité est évidemment plus faible (U O < U ). Mais l affaire n en reste justement pas là : dans l état du monde où le risque d incendie se réalise, l assureur va verser un dédommagement égal à la valeur de la maison (d = 2). Par conséquent, la situation finale de l individu est en réalité représentée par le point O = (4,4). Or, on constate que le point O correspond ici à une situation certaine et, surtout, l indice d utilité de l individu a augmenté (U O > U ). On en déduit que dans le cas présent l individu acceptera volontiers la proposition de l assureur Nous venons de voir qu un contrat d assurance est constitué par la donnée d une prime et d un dédommagement, c.-à-d. d un couple (P, q). Il nous reste à affiner notre présentation Quelques relations Relation indemnité-dommage. On se doute qu il doit exister une relation entre le montant du dédommagement q et le dommage subi D. On ne voit pas pourquoi l assurance verserait une indemnité pour un dommage

5 7.2. ÉLABORATION D UN CONTRAT D ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE 5 Richesse si incendie w 2 O Richesse si pas d incendie O FIGURE 7.5 Prime et dédommagement ligne de certitude O U = U qui n existe pas et inversement que l assuré paierait une prime pour être dédommagé de la même façon selon que sa maison est détruite ou qu elle subit un dommage mineur. Dans le cas général, on doit donc admettre qu une relation existe ; on la notera q = Q(D). (7.8) La fonction Q possède les propriétés suivantes : si D = alors q =. L absence de dommage entraîne l absence de dédommagement ; d q dd d q dd. L indemnité ne peut décroître lorsque le dommage devient plus important ;. L indemnité ne croît jamais plus vite que la valeur du dommage. Avec ces hypothèses, on montre facilement que q D. Exercice. Démontrer la proposition précédente. On notera que le dédommagement est une variable aléatoire 3 dont la densité de probabilité f (q) se déduit de f (D). Elle est bornée par le dédommagement minimum (q = ) et le dédommagement maximum (q max D). Nous venons d évoquer de façon «générique» le lien entre indemnité et dommage. Il n est sans doute pas inutile de préciser la forme que prend la fonction Q. Parmi l infinité diversité des fonctions Q possibles, on distingue traditionnellement deux fonctions élémentaires. Elles donnent naissance à ce qu on appelle : le contrat de coassurance ; le contrat avec franchise. On parlera de contrat de coassurance lorsque l indemnité est une proportion donnée du montant du dommage subi, q = ad, a. (7.9) Cela signifie que l assuré prend à sa charge une proportion du dommage Si a = l indemnité est nulle. On dit alors qu il y a conservation totale du risque par l assuré. En revanche, si a =, l indemnité est toujours égale au dommage et l assuré n a plus à subir les conséquences financières de la réalisation du risque. Ainsi, il y a coassurance si votre assureur vous dit qu il prendra en charge 9% de la valeur des réparations de votre voiture lorsque vous avez un accident. w 3. Allez vérifier dans votre cours de probabilité que cette proposition est vraie!

6 6 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE On parlera de contrat avec franchise lorsqu une partie donnée de la valeur des dommages reste à la charge de l assuré lorsque le risque se réalise, { q = si q F, (7.) q = D F si q > F. Il y a franchise lorsque votre assureur vous dit qu il prendra en charge l intégralité des frais de réparation de votre automobile, à l exception par exemple des premiers, qui restent à votre charge q assurance avec franchise coassurance franchise FIGURE 7.6 Relation dommage-indemnité : la coassurance et la franchise Il existe évidemment dans la réalité une infinité de possibilités pour la fonction Q. L une de celles qui vient immédiatement à l esprit est par exemple un mélange des deux systèmes précédents, c.-à-d. un système de coassurance avec franchise. Mais on trouve aussi ce que les anglo-saxons appellent «disappearing deductible», c.-à-d. une franchise suivie d un remboursement total ou encore un «plafonnement de l indemnité», c.-à-d. un remboursement couvrant l intégralité des dégâts jusqu à un certain montant à partir duquel l indemnité n augmente plus. La relation prime dédommagement L activité essentielle d une société d assurance est d offrir des contrats d assurance, c.-à-d. des engagements mutuels de l assuré et de l assurance de payer une prime (ou cotisation) contre le versement d une prestation si un risque se réalise (qu on appelle le «sinistre») au cours d une période donnée. Dès 776, Adam Smith évoque dans La richesse des nations le lien qui doit exister entre la prime versée par l assuré, le dédommagement et... d autres choses encore : Pour que l assurance, ou contre l incendie, ou contre les risques de mer, soit une industrie, il faut que la prime ordinaire soit suffisante pour compenser les pertes ordinaires, payer les frais de l établissement et fournir le profit qu aurait pu rapporter le même capital employé à tout autre commerce. (Smith, 99) À la fin du XIX e siècle, Alfred Marshall évoque dans une note de bas de page le calcul d une prime d assurance : But of course every insurance office, after calculating what is a theoretically fair premium, has to share in addition to it enough to pay profits on its own capital, and to cover its own expenses of working, among which are often to be reckoned very heavy items for advertising and for losses by fraud. (Marshall, 979, III,VI,6) Tout ce que nous avons dit jusqu à présent est assez sommaire parce que nous nous sommes focalisés sur des risques binaires. Ce n est évidemment qu une simplification grossière (mais pratique) de la réalité. Imaginons maintenant que l assuré verse une prime P mais que le risque auquel il est soumis conduise à un éventail de valeurs possibles de dommages et donc de dédommagements. Dans le cas d une automobile, par exemple, les dommages peuvent aller du simple rétroviseur cassé à une destruction totale du véhicule. La façon la plus simple de faire une synthèse des dédommagements possibles compte tenu du lien évoqué précédemment entre dommage et dédommagement (voir relation 7.8) est d en calculer l espérance. Notons E[q] l espérance de dédommagement. D

7 7.2. ÉLABORATION D UN CONTRAT D ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE 7 Comme l avaient noté Smith et Marshall, le «travail d assurance» est une activité coûteuse. Plus près de nous, Artur Raviv précise en quoi consiste ces coûts : Provision of the insurance is costly, with the cost consisting of fixed and variable (depending of the size of the insurance payments) components. (Raviv, 979) Avec lui, on notera c(q) le coût d un dédommagement q, avec c() = a, c (.), c (.) (7.) La fonction de coût est croissante, elle incorpore éventuellement des frais fixes (lorsque a > ) et les coûts marginaux sont non décroissants. Il s ensuit que tout dédommagement d un montant q se traduit par une dépense q c(q) ou, si on préfère, tout dommage d un montant D se traduit pour l assureur par une dépense Q(D) c(q(d)). Les primes demandées aux assurés doivent globalement couvrir les dépenses (dont nous avons dit qu elles étaient aléatoires). Par conséquent, P doit vérifier 4 P E[Q(D) c(q(d))] (= E[q c(q)]) (7.2) Pour simplifier les choses, on suppose généralement que dans (7.), les coûts fixes sont nuls (a = ) et les coûts marginaux constants (c (q) = λ) 5. Si les coûts incluent la rémunération normale du capital, alors la prime demandée doit vérifier P = ( λ)e[q(d)] (= ( λ)e[q]) (7.3) On appelle alors λ le taux de chargement La demande d assurance Les modèles de demande d assurance consistent à étudier le comportement d un consommateur lorsqu on lui propose un contrat d assurance dont les caractéristiques (taux de chargement, existence ou non d une franchise, proportion de coassurance, etc.) sont fixées de façon exogène (Mossin, 968; Smith, 968). position du problème Nous nous plaçons dans le cas décrit à la section 7.2 d un individu possédant une richesse certaine et une maison soumise au risque d incendie. Si l individu ne s assure pas, sa richesse vaudra w A s il n y a pas d incendie et w en cas d incendie. L utilité de cette perspective risquée est ( p)u(w A) pu(w ). (7.4) S il s assure, sa richesse vaudra w A P s il n y a pas d incendie et w P q dans le cas contraire. Nous avons vu précédemment que P et q sont en réalité des fonctions et donc, de façon générale, on peut écrire l utilité une fois assuré sous la forme ( ) ( ) ( p) u w A ( λ)e[q(d)] p u w ( λ)e[q(d)] q(d). (7.5) } {{ } } {{ } } {{ } P L individu choisira de s assurer si compte tenu de λ et de q(d) l utilité une fois assuré est supérieure à celle lorsqu il ne l est pas, c.-à-d. si ( ) ( ) ( p) u w A ( λ)e[q(d)] p u w ( λ)e[q(d)] q(d) ( p)u(w A) pu(w ). (7.6) } {{ } } {{ } } {{ } P Comme on le constate, ce problème ne peut être traité que si on connaît le taux de chargement et la fonction d indemnité. Pour fixer les idées, servons-nous des deux formes élémentaires de contrats que nous avons déjà évoqués : la coassurance et la franchise. P q P q 4. En fait, ceci n est vrai que si l assureur est neutre par rapport au risque. 5. Dans ces conditions, la fonction de coût s écrit c (Q(D)) = λq(d).

8 8 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE la coassurance Dans le cas de la coassurance, les grandeurs qui nous manquent s écrivent :. q = q(d) = ad, or, comme D = A, il vient q = a A 2. P = ( λ) E[q(D)] = ( λ) E[aD] = ( λ) a E[D] = ( λ) a ( ( p) pd ) = ( λ) a p D. Comme D = A, il vient P = ( λ) a p D = ( λ) p q 3. λ = λ la franchise Dans le cas de la franchise, les grandeurs qui nous manquent s écrivent :. q = q(d) = D F si D > F. Comme D = A > F 6, il vient q = A F 2. P = (λ)e[q(d)] = (λ)e[d F ] = (λ) ( ( p)p(d F ) ) = (λ) p (D F ) et donc, puisque A = D, on a P = ( λ) p (A F ) = ( λ) p q 3. λ = λ Si vous examinez attentivement les deux points 2) ci-dessus, vous constaterez que la coassurance et la franchise conduisent toutes deux à une règle simple mettant en relation la prime versée et le montant du remboursement. En effet, dans les deux cas, on a P = ( λ) p q. (7.7) Puisque la probabilité p est connue et que λ est fixé par l assureur, on peut simplifier cette expression en P = γq avec γ = ( λ) p. (7.8) Proposition 2. Les deux contrats types conduisent dans le cas d un risque binaire 7 à une relation linéaire entre prime et dédommagement. Désormais, γ sera appelé le «coefficient de prime». Nous allons représenter le choix effectif de l assuré sous la forme d un problème de maximisation de l utilité sous contrainte. De façon générale, le choix d un assuré s exprime sous la forme du tableau 7.. On note (w, w 2 ) la TABLE 7. CHOIX D UN INDIVIDU ASSURABLE pas d incendie incendie pas d assurance w = w A w2 = w A D = w assurance w = w P w 2 = w2 P q richesse initiale de l individu dans les deux états du monde. On note (w, w 2 ) sa richesse finale dans les deux états du monde s il s assure. On suppose que l assureur propose un coefficient de prime γ et que l individu est libre de choisir le montant de la prime qu il souhaite verser ou, ce qui revient au même, le montant de l indemnité qu il entend recevoir si le risque se réalise. Dans le cas de la coassurance, choisir la prime P revient à choisir le coefficient a. Dans le cas de la franchise, cela revient à choisir la franchise F. On peut établir la contrainte budgétaire de l individu assurable. En effet, P = w w (7.9) puisque P = γq, w 2 = w 2 P( γ ) (7.2) = w 2 = w 2 ( γ )( w w ) (7.2) = w 2 = ( γ )w w 2 ( γ )w (7.22) Puisque γ, w et w 2 sont des paramètres connus, on reconnaît là l équation d une droite de pente γ < passant par le point caractérisant la situation originelle (w, w 2 ). Cette droite représente la contrainte budgétaire 6. Comme il s agit d un risque binaire, la maison est soit intacte soit détruite. En cas de destruction, le problème n a évidemment d intérêt que si la franchise est inférieure à la valeur de la maison. Si la franchise est égale à la valeur de la maison, cela revient à dire que l assureur ne doit jamais rien à l assuré et on ne voit pas qui serait assez fou pour payer une prime pour finalement... ne pas être assuré. 7. La précision est importante.

9 7.2. ÉLABORATION D UN CONTRAT D ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE 9 d un individu assurable : elle décrit l ensemble de toutes les combinaisons de richesses qui lui sont accessibles du fait du contrat linéaire au taux γ proposé par l assurance. On vérifie facilement que, γ = = q P P = P q = q P P P < (7.23) q Puisque l individu peut choisir le montant de la prime (et donc du remboursement induit par le coefficient de prime γ), il est clair qu il va sélectionner la combinaison finale (w, w 2 ) qui maximise son espérance d utilité. P Richesse si incendie w 2 w 2 = ( γ )w w 2 ( γ )w (w, w 2 ) q P P q P (w, w 2 ) Richesse si pas d incendie FIGURE 7.7 Contrainte budgétaire de l individu assurable Dans le graphique 7.7, le système d axe correspond aux richesses possibles de l individu dans les deux états du monde. La richesse initiale est représentée au point (w, w 2 ). La contrainte budgétaire de l individu assurable est la droite de pente ( γ ) passant par le point de richesse initiale. Supposons qu un assureur propose un contrat avec un certain «coefficient de prime» γ à un individu dont la richesse initiale est (w, w 2 ). Compte tenu de ce coefficient de prime, admettons que l individu choisisse de payer une prime P pour un dédommagement «net» de q P. Dans ces conditions, sa richesse finale dans les deux états du monde est (w, w 2 ). Le «deuxième» système d axe dont l origine est située au point de richesse initiale montre le lien entre prime, remboursement net et richesse dans les deux états du monde 8. La prime optimale pour un γ donné L assureur propose un «coefficient de prime» γ et le libre choix du montant de la prime. Nous avons vu que nous pouvons en déduire la contrainte budgétaire Notre assuré se voit donc offrir un choix. Comme il a des préférences sur les couples (w, w 2 ), il va sélectionner le couple qui maximise son utilité, c.-à-d., il va résoudre le programme, w 8. Dans le deuxième système d axe, l axe des abscisses représente les primes qui réduisent w et l axe des ordonnées le remboursement obtenu en cas de sinistre déduction faite de la prime, c.-à-d. ce que perçoit réellement l assuré et qui augmente w 2.

10 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE max ( p)u(w ) pu(w 2 ) (7.24) w,w 2 sc : w 2 = ( γ )w w 2 ( γ )w (7.25) On remarque que les variables caractéristiques d un contrat d assurance (P, q) ont «disparu». Ce n est évidemment qu une illusion. Comme on le voit sur le graphique 7.7, il est clair que P = w w de même que q P = w 2 w2. Écrivons le lagrangien du programme, L (.) = ( p)u(w ) pu(w 2 ) λ ( w 2 ( γ )w w2 ( γ )w ) ligne de certitude (7.26) La solution optimale doit vérifier, L (.) w = ( p)u (w ) λ ( ) γ = L (.) w 2 = pu (w 2 ) λ = (7.27) L (.) λ = w 2 ( γ )w w2 ( γ )w = Ce qui conduit à la condition, ( p)u (w ) pu = γ (w 2 ) γ (7.28) On reconnaît évidemment dans le membre de gauche le taux marginal de substitution entre richesses dans les deux états du monde et dans le membre de droite l opposé de la pente de la contrainte budgétaire de l assuré. Il faut par ailleurs que la contrainte budgétaire soit saturée. Richesse si incendie w 2 γ γ q o P o (w, w 2 ) ( p)u (w ) pu (w 2 ) Richesse si pas d incendie P o FIGURE 7.8 Sélection d une prime optimale (w, w 2 ) Graphiquement (voir figure 7.8), le point optimal est situé au point de tangence entre le plus «haute» des courbes d indifférence et la contrainte budgétaire de l assuré. Compte tenu de ses préférences et notamment, son aversion pour le risque, sa richesse optimale est (w, w 2 ) dans les deux états du monde, ce qui signifie que w

11 7.2. ÉLABORATION D UN CONTRAT D ASSURANCE ÉLÉMENTAIRE l individu va verser une prime P o pour recevoir dans l état du monde défavorable un remboursement net de q o P o. On constate que dans notre illustration graphique, l individu n est pas assuré «parfaitement». En effet, en dépit de l assurance, il existe une variabilité résiduelle de ses ressources dans les deux états du monde puisque w reste supérieur à w 2. Il serait judicieux de se demander dans quelles circonstances l individu peut être parfaitement assuré. La réponse est étonnamment simple. Supposons que l individu choisisse de s assurer parfaitement. Cela veut dire deux choses :. puisque c est un choix, il est forcément optimal. Donc la relation (7.28) est vérifiée ; 2. puisque l assurance est parfaite, les revenus dans les deux états du monde sont égaux : w = w 2. Par conséquent, notre problème s écrit, ( p)u (w ) pu = γ (w 2 ) γ (7.29) w = w 2 (7.3) = ( p)u (w ) pu = γ (w ) γ = p p = γ γ Par conséquent, nous pouvons avancer la proposition suivante : (7.3) = γ = p (7.32) Proposition 3. lorsque le coefficient de prime γ pratiqué par l assureur est égal à la probabilité pour que le risque se réalise, l assuré choisira de s assurer parfaitement. Maintenant, nous pouvons pousser un peu plus loin notre investigation. Nous avons vu précédemment que le couple (w, w 2 ) choisi par l assuré dépend de la pente de la contrainte budgétaire, c.-à-d. in fine du coefficient de prime pratiqué par l assureur. On se doute que lorsque ce coefficient de prime varie (c.-à-d., lorsque la contrainte budgétaire pivote), le point optimal change. Même si les termes utilisés sont volontairement vagues, on voit qu on peut établir une relation entre la «quantité d assurance demandée» (exprimée par le montant de la prime versée) et le «prix» de l assurance (exprimé par le coefficient γ). Sous réserve d une analyse plus approfondie, on retrouve une relation similaire à une fonction de demande : le montant de la prime est une fonction décroissante du coefficient de prime, c.-à-d. la quantité d assurance demandée est d autant plus faible que le prix de l assurance est élevé. Il nous reste maintenant à revenir sur nos deux contrats types : coassurance et franchise. Nous avons vu page 8 que le contrat de coassurance se caractérise par le fait que P = ( λ) a p D = ( λ) p q. Dans notre approche générale, nous avons déterminé pour chaque valeur de γ = ( λ)p un couple (w, w 2 ) optimal et donc une prime P o optimale. Puisque p et D sont connus, on peut écrire P o (λ) = ( λ) a p D = a = P o (λ) ( λ) p D (7.33) Dans un contrat de coassurance, choisir une prime optimale revient pour l assuré à choisr le taux a de coassurance. Le taux choisi dépend du taux de chargement λ pratiqué par l assurance. On montre facilement que si le taux de chargement est nul, un individu s assurera totalement et, de plus, a =. En effet, nous avons vu avec la proposition 3 que l assurance est totale si p = γ. Comme γ = ( λ)p, on en déduit que λ est égal à zéro. Dans un contrat de coassurance, un taux de chargement nul conduit l assuré à s assurer totale- Proposition 4. ment. Si l assuré s assure totalement, alors w = w 2. On a donc, w P = w 2 P q, (7.34) = w A P = w A D P q, (7.35) = q = D. (7.36) Or, comme q = ad, il vient, ad = D = a =. (7.37)

12 2 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE Dans le cas de la franchise, on a P = ( λ) p (A F ) = ( λ) p q. On peut donc écrire P o (λ) = ( λ) a p (A F ) = F = A P o (λ) ( λ) p D. (7.38) Dans un contrat avec franchise, choisir une prime optimale est équivalent à choisir un montant de franchise optimal. Ce montant dépend du taux de chargement λ pratiqué par l assureur. Une fois encore, on montre aisément que si le taux de chargement est nul, l assuré s assurera totalement et le montant de la franchise sera nul. Proposition 5. Dans un contrat avec franchise, un taux de chargement nul se traduit par une assurance totale et par le choix d une franchise nulle. Exercice 2. Montrer la proposition précédente. 7.3 Contrat d assurance optimal Nous avons jusqu à présent décrit des contrats d assurance simples où la prime dépend de la valeur actuarielle du contrat et le montant de l indemnité varie «linéairement» avec le montant des dommages subis (contrat de coassurance ou contrat avec franchise). On sait cependant que la forme générale d un contrat est un couple (P, q) où q est une fonction Q du montant du préjudice subi. Cela signifie donc qu il existe une infinité de contrats concevables qui ne diffèrent que par la forme de la fonction Q. On est en droit de se demander s il n existe pas un contrat qui soit «le meilleur», c.-à-d. en d autres termes, un contrat optimal au sens de Pareto. On trouve une analyse très détaillée de ce problème dans Raviv (979). Dans l introduction de son article, il remarque qu il existe deux façons de traiter le problème de l assurance : Almost every phase of economic behavior is affected by uncertainty. The economic system has adapted to uncertainty by developing methods that facilitate the reallocation of risk among individuals and firms. The most apparent and familiar form for shifting risks is the ordinary insurance policy. Previous insurance decision analyses can be divided into those in which the insurance policy was exogenously specified (see John Gould, Jan Mossin, and Vernon Smith), and those in which it was not (see Karl Borch, 96, and Kenneth Arrow, 97, 973). La particularité de le deuxième approche est qu elle est plus ambitieuse : Borch (96) was the first to take the more general approach of deriving the optimal insurance policy form endogenously. He sought to characterize a Pareto optimal risk-sharing arrangement in a situation where several risk averters were to bear a stochastic loss. This framework was then used by Arrow (97) to obtain Pareto optimal policies in two distinct cases: ) if the insurance seller is risk averse, the insured prefers a policy that involves some element of coinsurance; (i.e., the coverage will be some fraction (less than ) of the loss); and 2) if the premium is based on the actuarial value of the policy plus a proportional loading (i.e., the insurer is risk neutral) and the insurance reimbursement is restricted to be nonnegative, the insurance policy will extend full coverage of losses above a deductible. Arrow (973) extended this result to the case of state dependent utility functions. In this case, the optimality of a deductible which depends upon the state was proved. Robert Wilson also dealt with the endogenous determination of optimal risk-sharing arrangements, focusing on the incentive problem and the existence of surrogate functions. Dans son article, Artur Raviv se place dans une configuration très générale qui lui permet au prix d une longue démonstration d obtenir des résultats eux-mêmes très généraux. Nous allons nous contenter de traiter un cas simple (celui de Arrow) en nous inspirant de la démonstration de Henriet et Rochet (99) 9 même si le cadre général du modèle est celui de Raviv. Comme vous le savez, un problème d optimum met en jeu deux acteurs poursuivant chacun leur propre objectif compte tenu d éventuelles contraintes. L assuré possède une richesse initiale w et il est confronté à un risque de perte D. On admet que cette perte est une variable aléatoire de densité de probabilité f (D). On suppose que f (D) > et D T avec T W. 9. Il existe plusieurs pistes mathématiques pour la démonstration : celle de Arrow (2) en termes de calcul des variations, celle de Eeckhoudt et Gollier (992) en termes de dominance stochastique et celle de Raviv (979) en termes de contrôle optimal.. Plus précisément, au minimum deux acteurs.

13 7.3. CONTRAT D ASSURANCE OPTIMAL 3 Comme nous le savons, le contrat d assurance est un couple (P, q(d)) sachant que pour tout dommage D, le remboursement vérifie g (D) D. Si on note u (u (w) >, u (w) < ) la fonction d utilité de l assuré, il est clair que celui-ci ne s assurera que si T u( w P D q(d))f (D)dD T u( w D)f (D)dD (7.39) Admettons qu il existe des couples (P, q(d)) satisfaisant cette condition. L objectif de l assuré sera évidemment de privilégier celui ou ceux qui maximisent son espérance d utilité. Examinons maintenant le cas de l assureur. L offre d assurance est une activité coûteuse. On suppose généralement qu il existe des coûts fixes et des coûts variables qui dépendent de l importance des indemnités versées. Si on note c(q) le coût du versement d un indemnité q, on admet que, c() = a, c (q), c (q) (7.4) L assureur peut présenter une aversion pour le risque ou tout simplement être neutre par rapport au risque. Appelons v(w ) sa fonction d utilité avec, pour tout niveau de richesse W, v (W ) > et v (W ). Si W désigne le niveau initial de richesse de l assureur, alors, il n acceptera d offrir le contrat (P, q(d)) que si T ( v(w P q(d) c(q(d))) ) f (D)dD v(w ). (7.4) De la même façon que pour l assuré, on peut dire s il existe des couples (P, q(d)) satisfaisant cette condition, l objectif de l assureur sera évidemment de privilégier celui ou ceux qui maximisent son espérance d utilité. Nous allons nous placer dans un cas particulier en supposant que l assureur est neutre par rapport au risque et que la fonction de coût est d une simplicité désarmante. En particulier nous admettrons que les coûts fixes sont nuls et que les coûts variables sont proportionnels aux dédommagements Théorème. c(q(d)) = (7.42) Si c(d) = λd et si l assureur est neutre au risque, le contrat optimal est { D D I (x) = D D D > D Il appartient à Arrow (voir Arrow (2), p. 8 et sq) d avoir montré la proposition suivante : Proposition 6. Si une entreprise d assurance neutre au risque est prête à offrir tout contrat d assurance que désire un assuré contre une prime qui ne dépend que de la valeur actuarielle du contrat, alors le contrat choisi par un assuré ayant une aversion pour le risque prend la forme d une couverture à % au-delà d une franchise donnée. DÉMONSTRATION. Soit R la richesse initiale de l agent, D le risque de perte, P la prime. On note Q(D) le montant du remboursement dû à l assuré si une perte d un montant D survient. Nous allons supposer que D est une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est notée f (D). La richesse finale de l individu est donc une variable aléatoire L individu qui cherche à s assurer maximise son espérance d utilité U (Q,P) = R(D) = R P D Q(D). (7.43) u( R P D Q(D))f (D)dD. (7.44) Nous allons poser que D, D Q(D) ce qui signifie que le remboursement de l assurance est nécessairement positif ou nul et qu il ne peut excéder le montant des dommages subis par l assuré.. J ai mis en italique le terme «objectif» pour l assureur et l assuré pour bien souligner le fait que chacun poursuit son propre objectif. L optimalité au sens de Pareto consiste à trouver un couple (p, q(d)) qui satisfait «de la meilleure façon qui soit» les deux objectifs simultanément.

14 4 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE Nous supposons que le profit de l assurance est la différence entre le montant de la prime P et de la valeur actuarielle du contrat (c.-à-d. l espérance de dédommagement) augmentée des frais de chargement λ > B(Q,P) = P ( λ) Q(D) f (D)dD. (7.45) On remarquera qu on recherche un contrat optimal au sens de Pareto. Par conséquent, il s obtient en maximisant Explicitons l expression W W = αp W = αb(q,p) ( α)u (Q,P), < α <, (7.46) sc : D Q(D). (7.47) ( ( α) u ( R P D Q(D) ) ) α ( λ) Q(D) f (D)dD. (7.48) On se souvient qu on ne connaît pas la fonction Q(D) et que c est elle qu on recherche. Pour que W soit maximal, il faut évidemment que l expression sous l intégrale soit maximale. Si on se souvient qu une intégrale est en certain sens une «somme» selon D, il faut que pour chaque D, l écart entre le terme contenant u ( R P D Q(D) ) et le terme contenant Q(D) soit le plus grand possible. Or, cet écart dépend de la valeur de Q pour un D donné. Pour maximiser W, nous sommes donc amené à résoudre ( max ( α) u ( R P D Q ) ) α ( λ) Q D, Q(D) réalise Q sous la contrainte Q D (7.49) où Q est ici considéré comme le nombre maximisant l expression (7.49) pour un D donné. Prenons le temps d examiner cette expression. D un côté, on a tout intérêt à prendre la valeur la plus grande possible pour Q (c.-à-d., Q = D) puisque u est une fonction croissante de Q. D un autre côté, en choisissant la plus grande valeur possible de Q on pousse au maximum l effet négatif de α ( λ) Q! On peut se douter en partant par exemple de Q =, que tant que l effet sur ( α) u(.) d un accroissement marginal de Q est supérieur à l effet négatif sur le terme α ( λ) Q, le maximum n aura pas été atteint et qu il le sera lorsque les deux effets marginaux se compenseront. Essayons de formaliser ceci. Pour chaque D, on cherche à résoudre le programme ( max ( α) u ( R P D Q ) ) α ( λ) Q sc : Q sc : D Q (7.5) Q De façon classique, la solution optimale Q est telle que Q vérifie ( α)u ( R P D Q ) = ( λ) α si Q ], D[ Q = si ( α)u ( R P D ) ( λ) α Q = D si ( α)u ( R P ) ( λ) α (7.5) Ce qui correspond à notre approche intuitive du problème. Si on part de Q = plusieurs configurations se présentent. (i) si le gain marginal qu on obtient( sur ( α)u(.) est plus faible que (ou égal à) la perte marginale ( λ) α, alors on ne peut pas augmenter ( α) u ( R P D Q ) ) α ( λ) Q et Q = est le maximum ; (ii) si le gain marginal ( qu on obtient sur ( α)u(.) est plus grand que la perte marginale ( λ) α, alors on peut augmenter ( α) u ( R P D Q ) ) α ( λ) Q en augmentant Q. Le maximum sera atteint pour la valeur Q telle que le gain marginal d une augmentation dq de Q est égal à la perte marginale qu elle induit ; (iii) si en augmentant progressivement Q, le gain marginal reste toujours supérieur à la perte marginale et ce, jusqu au plafond Q = D, alors le maximum est atteint en Q = D. On détermine ainsi pour chaque valeur de D une valeur optimale de Q.

15 7.4. L AUTO-ASSURANCE 5 N oublions pas toutefois que nous maximisons W. Il faut donc également que W P = (7.52) Nous sommes confrontés ici a une petite difficulté. En effet, nous venons de montrer qu à tout D, on peut associer une quantité optimale Q. Mais cette quantité optimale dépend évidemment du paramètre P. Toutefois, en appliquant le théorème de Wong-Viner ou théorème de l enveloppe, la condition d un maximum s écrit simplement W P = α = ( α)u (R P D Q(D))f (D) d D (7.53) Définissons maintenant un nombre F tel que { F = si ( α)u ( R P ) ( λ) α F vérifie ( α)u ( R P F ) = ( λ) α si ( α)u ( R P ) < ( λ) α (7.54) Cette façon de définir F paraît cohérente. En effet, u étant concave, sa dérivée u est décroissante. Par conséquent, si ( α)u ( R P ) < (λ) α, on peut en soustrayant une quantité F positive ou nulle à ( R P) faire croître ( α)u ( R P F ) jusqu à le rendre égal à ( λ) α. Dans le cas contraire, c est impossible et on pose F =. Vous noterez que F est un nombre qui ne dépend pas de D. Reportons-nous maintenant aux deux première équations de (7.5) On voit que pour tout D, il suffit de poser Ce qu on peut résumer en Q(D) = D F lorsque D > F Q(D) = lorsque D = F Q(D) = lorsque D < F { Q(D) = D F si D F Q(D) = si D < F (7.55) (7.56) Ce qui démontre la proposition. Le cas F = est impossible. En effet, cela signifierait que D, Q(D) = D. Dans ce cas, on aurait ce qui contredirait la condition (7.54). ( α)u ( R P D Q(D))f (D) d D = ( α)u ( R P) α( λ) > α (7.57) Le contrat d assurance optimal est une fonction qui, à tout dommage subi D, associe un remboursement égal à la perte subie, moins une franchise F. Si la perte est inférieure à la franchise, le remboursement dû est nul. Comme nous l avons remarqué plus haut, F est un nombre constant 2, qui vient en déduction de la valeur du sinistre : c est bien ce qu on appelle dans le langage des assurances une franchise. 7.4 L auto-assurance Le recours à un contrat d assurance offert par une entreprise d assurance n est pas la seule technique dont dispose un individu pour réduire le risque. Toute personne peut, en effet, prendre diverses mesures visant à : réduire l ampleur des dommages subis ; réduire la probabilité de l état du monde défavorable. On parle dans le premier cas «d auto-assurance» et dans le second «d auto-protection». 2. Qui reste à déterminer dans chaque cas concret.

16 6 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE Two alternatives to market insurance that have not been systematically analyzed in the literature on insurance are self-insurance a reduction in the size of a loss and self-protection a reduction in the probability of a loss. For example, sprinkler systems reduce the loss from fires; burglar alarms reduce the probability of illegal entry; cash balances reduce fluctuations in consumption; medicines, certain foods, and medical checkups reduce vulnerability to illness; and good lawyers reduce both the probability of conviction and the punishment for crime. As these examples indicate, it is somewhat artificial to distinguish behavior that reduces the probability of a loss from behavior that reduces the size of a loss, since many actions do both. Nevertheless, we do so for expository convenience and because self-insurance clearly illustrates the insurance principle of redistributing income toward less favorable states. (Ehrlich et Becker, 972) Nous allons dans un premier temps nous intéresser à l auto-assurance puis nous aborderons dans un second temps l auto-protection. Il y a quelques années, les constructeurs automobiles proposaient des airbags en option sur leurs véhicules. Ce système était évidemment coûteux (les options sont payantes). Les personnes achetant ce dispositif savaient que s il ne changeait pas la probabilité d un accident il réduisait considérablement l importance des dommages corporels subis par le conducteur lors d un choc violent. Dans un autre registre, l installation par un particulier d un paratonnerre (coûteux) sur sa maison réduit voire annule les dégâts occasionnés par la foudre. Ces différentes dépenses préventives ont un point commun : elles n agissent pas sur la probabilité que le sinistre arrive mais sur l ampleur des dommages subis. Nous allons donc supposer dans ce qui suit qu il existe une relation entre les dépenses engagées et les dommages subis D = D(c), c. (7.58) Il est naturel de penser que l importance du dommage est une fonction décroissante des dépenses engagées : plus je me protège et plus les dommages seront faibles. D(.) <. (7.59) c Ceci dit, il serait sans doute faux de penser que le montant des dommages décroît proportionnellement avec les dépenses (pensez par exemple à la diminution de l importance des traumatismes en fonction du nombre d airbags installés). On fera donc l hypothèse que le rendement des dépenses est de plus en plus faible 2 D(.) c 2 >. (7.6) Dans ces conditions, les individus s ils ne s assurent pas auprès d une entreprise d assurance sont confrontés à la situation décrite dans le tableau 7.2. TABLE 7.2 TABLEAU DES RISQUES le risque se réalise le risque ne se réalise pas conséquences R D(c) c R c probabilités p ( p) On voit immédiatement que plus un individu accepte de «perdre» dans l état du monde favorable (valeur importante de c), plus il réduira sa perte dans l état du monde défavorable (D(c) important). La question qui se pose est donc de savoir quelle est la valeur optimale de c. Le programme que cherche à résoudre l individu est donc max c pu(r D(c) c) ( p)u(r c) (7.6) sc : c (7.62)

17 7.4. L AUTO-ASSURANCE 7 La solution 3 optimale c vérifie Soit encore p(d (c) )u (R D(c) c) ( p)u (R c) = si c > (7.63) p(d () )u (R D()) ( p)u (R) si c = (7.64) D (c) = ( p)u (R c) pu (R D(c) c) D (c) ( p)u (R c) pu (R D(c) c) si c > (7.65) si c = (7.66) Le graphique ci-dessous illustre ce résultat pour c >. Les courbes d indifférence ont été tracées dans un système d axe y (richesse si le risque ne se réalise pas) y 2 (richesse si le risque se réalise). On suppose qu en l absence de toute mesure d auto-assurance, la richesse de l individu est (R,R D() ) = (,5) (point rouge sur la graphique). Intéressons nous maintenant à l évolution de la somme des dommages et du coût de protection,c.-à-d. l expression D(c) c, lorsque c varie. Dans la plupart des cas, cette fonction est décroissante puis croissante. En effet, sa dérivée s écrit D (c) et on sait que D (c) < et D (c) >. Par conséquent, si les premières dépenses d auto-assurance font rapidement baisser la valeur des dommages, c.-à-d. si D (c) est fortement négatif, on aura nécessairement D (c) <. En revanche, plus c augmente et moins les suppléments de dépenses sont efficaces ; passé un certain seuil, il y a de fortes chances pour que D (c) soit si faiblement négatif que D (c) devient positif. Représentons D(c)c dans le graphique précédent. Pour ce faire, on construit un système d axe inversé (c, D(c) c) au point (,). Vous vérifierez facilement que tout couple (c,d(c) c) dans ce système d axes, s exprime dans le système d axes (y, y 2 ) sous la forme d un couple ( c, D(c) c) 4. La valeur optimale de c (point bleu) correspond au point de tangence entre la fonction D(c)c et la plus «élevée» des courbes d indifférence de l individu 5. Or, en appliquant le théorème de dérivation des fonctions implicites, on montre facilement que la pente d une courbe d indifférence en un point est et que celle de la fonction D(c) c est d y 2 = ( p)u (R c) d y pu (R D(c) c) L optimum (intérieur) correspond donc bien à «l égalité des pentes» (7.67) D (c) (7.68) D (c) = ( p)u (R c) pu (R D(c) c) (7.69) 3. Il s agit d un maximum puisque la fonction objectif est concave. 4. Et inversement. 5. Qu on suppose exprimées en termes de c et D(c) c.

18 8 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE c y 2 D(c)c c optimal y D(c)c Nous allons maintenant introduire la possibilité pour l individu de s assurer. Nous allons supposer comme précédemment (voir relation 7.8) que la prime est proportionnelle à la couverture dont le montant, s il est librement choisi par l assuré, doit cependant rester inférieur à la valeur des dommages. P = γq Dans ces conditions, les possibilités offertes à l individu sont résumées dans le tableau 7.3. TABLE 7.3 TABLEAU DES RISQUES le risque se réalise D() D() le risque ne se réalise pas conséquences R D(c) c q γq R c γq probabilités p ( p) Désormais, l individu est amené à choisir le couple (c, q) qui maximise son utilité. Il résout donc le programme On écrit le lagrangien max c, q p u(r D(c) c ( γ)q) ( p) u(r c γq) (7.7) sc : c (7.7) sc : q (7.72) D(c) q (7.73) L (.) = p u(r D(c) c ( γ)q) ( p) u(r c γq) λ(d(c) q). (7.74) } {{ } } {{ } A Le couple optimal vérifie L (.) c = p (D (c) ) u (A) ( p)u (B) λd (c), c L (.) q = p ( γ) u (A) ( p)γu (B) λ, q D(c) q, λ, (avec cs). B (7.75)

19 7.5. L AUTO-PROTECTION 9 Si on admet que le montant de la couverture q n excède jamais le montant des dommages D(c) (c.-à-d. λ = ) et que c et q sont strictement positifs, la condition d un maximum est Considérons tout d abord l égalité ( D (c) ) = γ γ = ( p)u (B) p u. (7.76) (A) ( D (c) ) = γ γ = D (c) = γ. (7.77) On rappelle que γ indique la «cherté» de l assurance. Compte tenu de nos hypothèses, D (c) est une fonction positive et décroissante. Par conséquent, lorsque l assurance devient plus chère (c.-à-d., γ diminue), la dépense d auto-assurance d équilibre augmente. D (c) c γ c γ c d équilibre γ γ, γ > γ Supposons maintenant que γ =. Dans ce cas, la condition d équilibre (7.75) devient ( p)u (B) <, si < p <, u (.) >. (7.78) ce qui entraîne q =. L individu choisit donc de ne pas s assurer et nous retrouvons le cas précédent de l autoassurance simple, qui conduit l individu à choisir un certain montant optimal c de dépense. Compte tenu de la remarque précédente, si γ diminue, le montant d auto-assurance diminue également. On en déduit la proposition suivante : Proposition 7. La possibilité de s assurer auprès d une société d assurance diminue chez les individus l incitation à s auto-assurer. Ce résultat conforte notre vision intuitive des choses : puisque l assurance couvre les dommages que je subis, pourquoi devrais-je engager des dépenses coûteuses pour diminuer l ampleur des pertes? Cette remarque explique pourquoi dans de nombreux contrats d assurance, il existe des clauses annulant la couverture des dommages si un certain nombre de précautions (coûteuses) n ont pas été prises. 7.5 L auto-protection L auto-protection consiste à engager des dépenses d un montant c afin de faire baisser la probabilité que le risque se réalise. On note p(c) [ ] la relation entre la probabilité que le risque se réalise et le montant c des dépenses d auto-protection. Cette fonction est évidemment décroissante p(.) <, (7.79) c et on admet sans peine que l efficacité des dépenses successives pour faire baisser p est de plus en plus faible 2 p(.) c 2 >. (7.8)

20 2 CHAPITRE 7. LA DEMANDE D ASSURANCE TABLE 7.4 TABLEAU DES RISQUES le risque se réalise le risque ne se réalise pas conséquences R D c R c probabilités p(c) p(c) Dans ces conditions, les individus s ils ne s assurent pas auprès d une entreprise d assurance sont confrontés à la situation décrite dans le tableau 7.4. On remarque que la perte D subie si le risque se réalise est une constante. La dépense c est la seule variable et elle n affecte que les probabilités. Dans ces conditions, le programme que cherche à résoudre un individu soumis à ce risque est max c p(c) u(r D c) ( p(c) ) u(r c) (7.8) sc : R D c (7.82) Si on se place dans le cas d une solution intérieure 6, la condition du premier ordre d un maximum est p (c)u(r D c) p(c)u (R D c) p (c)u(r D) ( p(c) ) u (R c) =. (7.83) Cette condition n est pas très parlante et n a pas de représentation graphique évidente dans nos schémas canoniques. Considérons toutefois le graphique suivant y 2 y Nous procéderons en deux temps. On suppose que la richesse de l individu est si le risque ne se réalise pas et 5 si le risque se réalise (c.-à-d., D = 5). Supposons que ceteris paribus nous réduisions la probabilité que le risque se réalise : elle passe de 2 à 2. Cela se traduit par un déplacement des courbes d indifférence de l individu (courbes en pointillés) et on constate qu au point initial (point rouge) l individu voit son score d utilité augmenter. Après tout, cela semble logique : l importance relative du score d utilité u() a augmenté au détriment du «mauvais score» u(5). On en tire donc la conclusion suivante : Proposition 8. Toute baisse de la probabilité que le risque se réalise se traduit ceteris paribus par une augmentation du score d utilité d autant plus grande que la baisse de la probabilité est importante. 4 4,27 4,48 c 4,48 c 6. Vous établirez par vous-même les conditions lorsque les contraintes sont saturées.