Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques

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1 Les Interros Corrigées de Sup MPSI-PCSI en Mathématiques Vandana BHANDARI Marc-Olivier CZARNECKI P R E P AMA TH Collection dirigée par Éric MAURETTE

2 Sommaire Algèbre Notionsdebase... 1,2 Arithmétique... 3 Groupes (17),(22) Polynômes Fractions rationnelles.... 6,7,8,21,22,26,35 Espaces vectoriels ,17,18,21,22,34 Matrices Déterminants... 19,22 Réductiondesmatrices... 20,22,(29) Espaces euclidiens ,27,(28) Arcsparamétrés Étudemétriquedesarcs... 26,28 Analyse Suites... (2),4,(5),9 Fonctionsnumériques... (4),5,32 Fonctionsdérivables... 10,11,15,34 Développements limités Recherche d équivalents (4),16,24,(26),33 Suitesdefonctions... (14),31 Intégration... 22,(23),24,(26),31,33 Équationsdifférentielles... (30) Espaces vectoriels normés Fonctions de plusieurs variables iii

3 iv N o Lycée (Ville) Sujet Notions utilisées p. 1 Chateaubriand Applications et relationres Notions préliminai- 1 (Rennes) 2 Saint-Louis Exercices divers Combinatoire 15 Suites 3 Chaptal Densité des nombres Combinatoire 29 premiers Nombres premiers 4 Sainte-Geneviève Variante du théorème Suites 41 (Versailles) de Césaro Nombre de rotation d une application Étude asymptotique des solutions d équations 5 Blaise Pascal (Orsay) 6 Déodat (Toulouse) 7 A. Schweitzer (Le Raincy) 8 Sainte-Geneviève (Versailles) 9 Masséna (Nice) 10 A. Schweitzer (Le Raincy) 11 Chateaubriand (Rennes) 12 Sainte-Geneviève (Versailles) 13 Louis-le-Grand 14 Janson de Sailly 15 Sainte-Geneviève (Versailles) Construction élémentaire du logarithme népérien Vérification dans des cas particuliers de la conjecture d Illieft-Sendov Complexes Fonctions continues 53 Polynômes sur C 65 Formule d Euler- Polynômes Fonctions 77 McLaurin algébrique dérivables Exemple de calcul d un polynôme d interpolation de Lagrange Approximation des Polynômes Fonctions 91 fonctions par les dérivables polynômes d interpolation de Lagrange Développements en Suites Fonctions 103 fractions continues usuelles Solutions de x y = y x Études de fonctions 123 Théorème de Rolle et applications Exemple de résolution d une équation fonctionnelle Fonctions absolument monotones Inégalités entre les dérivées d une application p fois dérivable Exercices divers Applications du théorème de Rolle Fonctions dérivables 141 Fonctions dérivables 155 Formules de Taylor- Lagrange 173 Théorème de Rolle 189 FormulesdeTaylor Convergence uniforme d une suite de fonctions Fonctions dérivables 207

4 v N o Lycée (Ville) Sujet Notions utilisées p. 16 Saint-Louis Étude d un opérateur Espace vectoriel des 223 de C[x] Exemple d étude de fonctions polynômes Développements limités 17 Sainte-Geneviève Groupes multiplica- Algèbre M n (R) 239 (Versailles) 18 Thiers (Marseille) 19 Parc (du) (Lyon) 20 Thiers (Marseille) 21 Blaise Pascal (Orsay) 22 Louis-le-Grand 23 Louis-le-Grand 24 Louis-le-Grand 25 Hoche (Versailles) 26 Saint-Louis 27 Parc (du) (Lyon) 28 Parc (du) (Lyon) 29 Chateaubriand (Rennes) 30 Thiers (Marseille) tifs de M n (R) Définition (algébrique) de l intégrale sur R des fonctions numériques à support compact Espaces vectoriels 255 Les transvections Matrices 267 Polynômes de matricetrices Réduction des ma- 279 Étude d une suite de Espaces vectoriels 295 polynômes Polynômes des polynômes de Bernoulli Théorème de Cayley- Endomorphismes et 311 Hamilton matrices Formules de Taylor Formules de Taylor 329 avec reste intégral et Intégration applications Méthode de Laplace Intégration 343 Moyenne de Cesaro sur les fonctions intégrales Polynômes de Tchebytcheff Ovales de Cassini Méthodes itératives de calcul de la racine carrée d une matrice Problème de cinématique Exemple d étude de courbes Problème sur le produit vectoriel Exemple d équation aux dérivées partielles Fonctions convexes sur R n Intégration Calcul d intégrales 355 Espaces euclidiens, 381 polynômes Étude métrique des arcs Espaces euclidiens 403 Axes paramétrés Espaces euclidiens Espaces euclidiens normés Fonctions convexes Fonctions de plusieurs variables

5 vi N o Lycée (Ville) Sujet Notions utilisées p. 31 Saint-Louis Intégration Séries Limites Recherche 471 de fonctions d équivalent 32 Lycée Poincaré Fonctions Continuité Suites Étude de 491 (Nancy) fonction 33 Lycée Condorcet Développements Majorations Programmation 503 limités Calcul Pascal 34 Lycée Faidherbe (Lille) 35 Kléber (Strasbourg) approché d intégrale Fonction dérivable à droite Produit vectoriel Utilisation de la borne inférieure Décompositions d un endomorphisme Polynômes Décomposition en éléments simples Division euclidienne

6 Sujet 1 Lycée Chateaubriand (Rennes) Énoncé Exercice 1 Soit : 1. Déterminer F = f(r). f : R R x x 1+ x 2. Soit : g : R F x f(x) Montrer que g est une bijection et déterminer g 1. Exercice 2 Soient X et Y deux ensembles ; soit f : X Y ;soit: ˆf : P(Y ) P(X) B f 1 (B) Montrer que : 1. ˆf est injective si, et seulement si, f est surjective. 2. ˆf est surjective si, et seulement si, f est injective. Problème 1 Partie I f : R R x sup{x, 0} 1

7 2 Sujet 1 Lycée Chateaubriand (Rennes) (On suppose R muni de la relation d ordre usuelle.) 1. Montrer que : (a) x R, x f(x) (b) f est croissante (c) x R, f(x) =f (f(x)) 2. On pose : F = {x R/x = f(x)} et, x R, on pose : F x = {y F/x y} Déterminer F et F x, et montrer que F x a un plus petit élément. Partie II Soit H un ensemble et E = P(H). SoitA E et f : E E X A X On suppose E muni de la relation d ordre (inclusion). 1. Montrer que : (a) X E, X f(x) (b) f est croissante (c) X E, f(x) =f (f(x)) 2. On pose : Partie III et X E, on pose : F = {X E/X = f(x)} F X = {Y F/X Y } Déterminer F et F X, et montrer que F X a un plus petit élément. Soit E un ensemble non vide muni d une relation d ordre notée <. 1. Soit f une application de E dans E vérifiant : (a) x E, x < f(x) (b) f est croissante (c) x E, f(x) =f (f(x))

8 Applications et relations 3 On pose : et x E, on pose : F = {x E/x = f(x)} F x = {y F/x < y} Montrer que F n est pas vide et que, pour tout x de E, F x n est pas vide et admet un plus petit élément. 2. Soit f : E E. SoitG E tel que : x E, G x = {y G/x < y} est nonvide et admet f(x) comme plus petit élément. Montrer que f vérifie les propriétés (a), (b) et (c) définies au (II.1) et que : G = {x E/f(x) =x} 3. On suppose que f vérifie les hypothèses de (III.1). On suppose que toute partie non vide de E admet une borne inférieure. Soit A une partie non vide de F. Montrer que inf(a) F. Problème 2 Soient E et F deux ensembles finis non vides de même cardinal. Soit f une application de P(E) dans P(F ) vérifiant les propriétés: (a) f( ) = (b) (A, B) (P(E)) 2, f(a B) =f(a) f(b) (c) A P(E), card (f(a)) card (A) On dira qu une partie A de E est normale si et seulement si : card (f(a)) = card (A) 1. Démontrer que : (A, B) (P(E)) 2, A B f(a) f(b) (A, B) (P(E)) 2, f(a B) f(a) f(b) 2. Démontrer que si A et B sont des parties normales de E, A B et A B sont des parties normales de E et f(a B) =f(a) f(b).

9 4 Sujet 1 Lycée Chateaubriand (Rennes) 3. Démontrer que : H = {card (A) A P(E),Anormale,A } admet un plus petit élément k 0. Soit A 0 une partie normale de cardinal k Montrer que si A est partie normale de E, A 0 A ou A A 0 =. 5. Soit x un élément de A 0,soity un élément de f({x}). Soient E = E {x},f = F {y}. Soit : f : P(E ) P(F ) A f(a) F Montrer que f vérifie les propriétés (a), (b) et (c). (On pourra, pour cette dernière démonstration, prouver que si A est une partie de E normale (pour f), alors y/ f(a).)

10 Applications et relations 5 Corrigé Exercice 1 1. On a : x R, f( x) = f(x) f(r )= f(r + ) Si x R +,alors: f(x) = x [0, 1[ 1+x Réciproquement, si y [0, 1[, ( ) y y 1 y R+ et f = y 1 y On en déduit : f(r + )=[0, 1[ f(r) =] 1, 1[ 2. g est par définition surjective. Montrons que g est injective. Soit (x 1,x 2 ) R 2 tel que f(x 1 )=f(x 2 ). Si x 1 et x 2 sont de signes opposés, alors il en est de même de f(x 1 ) et f(x 2 ),ce qui est absurde. Si x 1 et x 2 0,alors: f(x 1 )=f(x 2 ) Si x 1 et x 2 0,alors: x 1 1+x 1 = x 2 1+x 2 x 1 = x 2 f( x 1 )= f( x 2 ) On en déduit que g est bijective. x 1 = x 2 et x 1 = x 2 Soit h :] 1, 1[ R, définie par : h(y) = y 1 y si y [0, 1[ h(y) = h( y) = y 1+y si y ] 1, 0[

11 6 Sujet 1 Lycée Chateaubriand (Rennes) Par (1), on a 1 : y [0, 1[, g h(y) =y y ] 1, 0[, g h(y) =g( h( y)) = g h( y) =y Donc : h = g 1 Exercice 2 1. Supposons 2 ˆf injective. Soit B le complémentaire de f(x) dans Y. On a : ˆf(B) = = ˆf( ) d où, par injectivité de ˆf, Donc f est surjective. Supposons f surjective. Soient B 1 et B 2 P(Y ) 2 tels que : B = ˆf(B 1 )= ˆf(B 2 ) Soit y B 1 et x tel que f(x) =y. Alors x ˆf(B 1 ) x ˆf(B 2 ) donc : y = f(x) B 2 On en déduit : De même, B 2 B 1,d où: B 1 B 2 B 1 = B 2 Donc ˆf est injective. Finalement, ˆf est injective si, et seulement si, f est surjective. 1. On peut aussi vérifier directement que : g h =Id] 1,1[ h g =Id R 2. Pour démontrer une équivalence, on sépare les deux sens ( )et( ).

12 Applications et relations 7 2. Supposons 3 ˆf surjective. Soit (x 1,x 2 ) X 2,avecf(x 1 )=f(x 2 ). Soit B 1 Y tel que : ˆf(B 1 )={x 1 } f(x 2 )=f(x 1 ) B 1, donc : x 2 ˆf(B 1 ) x 2 {x 1 } et x 1 = x 2 On en déduit que f est injective. Réciproquement, supposons que f soit injective. Soit A X. ˆf (f(a)) = ˆf({y}) = ˆf ({f(x)}) Comme f est injective, y f(a) x A x A, ˆf ({f(x)}) ={x} ˆf (f(a)) = A On en déduit que ˆf est surjective. Donc ˆf est surjective si, et seulement si, f est injective. Problème 1 Partie I 1. (a) Soit x R. f(x) est un majorant de {0,x}, donc x f(x). (b) Soit (x, y) R 2 avec x y. Comme 0 f(y) et x y f(y), alorsf(y) est un majorant de {0,x}, donc 4 : f(x) f(y) 3. Pour prouver que f : X Y est injective, on montre que pour tous x 1,x 2 X : f(x 1 )=f(x 2 ) x 1 = x 2 Pour prouver que f : X Y est surjective, on montre que pour tout y Y,ilexistex X tel que: f(x)=y 4. Rappel: sup A est, s il existe, le plus petit des majorants de A. Par exemple, si a =supa, pour prouver a b, il suffit de montrer que b est un majorant de A (c est même une CNS).

13 8 Sujet 1 Lycée Chateaubriand (Rennes) (c) Soit x R. D après (a) : f(x) f (f(x)) Comme f(x) = sup{x, 0}, alors0 f(x) et f(x) est un majorant de {f(x), 0}. Comme f (f(x)) = sup{f(x), 0},alorsf (f(x)) f(x). On en déduit : f(x) =f (f(x)) 2. x = f(x) x 0 Soit x R. Comme y F x { x y y 0 f(x) y alors F x = {y/f(x) y} et F x admet f(x) comme plus petit élément. Partie II 1. (a) Soit X E. X A X donc X f(x) (b) Soit (X, Y ) E 2. On a : X Y A X A Y f(x) f(y ) Donc f est croissante. (c) Soit X E. A (A X) =A X f (f(x)) = f(x)

14 Applications et relations 9 2. X F A X = X A X Soit X E. Ona: F X = {Y E/A Y et X Y } = {Y E/A X Y } = {Y E/f(X) Y } F X admet f(x) comme plus petit élément. Partie III 1. Soit a E. a existe car E est non vide. Par (c), Donc f(a) F,d où: f(a) =f (f(a)) f(a) F et F Soit x E. D après (a), on a x<f(x), et d après (c), on a f(x) =f (f(x)), d où: f(x) F x et F x Soit y F x. On a x<y, d où, par (b), f(x) <f(y). Comme y F,alorsf(x) <y. Comme 5 f(x) F x, alors on en déduit que F x admet f(x) comme plus petit élément. 2. (a) Soit x E. f(x) G x, donc : x<f(x) (b) Supposons x<y.soitz G y. Comme (z G et y<z), alors (z G et x<z), donc z G x. On en déduit : G y G x et 5. Ne pas oublier de préciser que f(x) F x. f(y) G x