FONCTIONS CIRCULAIRES

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1 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 FONCTIONS CIRCULAIRES Table des matières I Le radian II Cercle trigonométrique III Angles orientés III. Mesure d un arc ou d angle orienté de vecteurs III. Mesure principale IV Fonctions sinus et cosinus IV. Défintions IV. Valeurs remarquables IV. Période et parité IV. Variations et courbe représentative IV.. Fonction sinus IV.. Fonction cosinus V Equations trigonométriques 7 I Le radian Définition Le radian est, comme le degré ou le grade, une unité de mesure d angles définie de la façon suivante : Si A et M sont deux points d un cercle de centre O de rayon r, l désigne la longueur de l arc ĀM La mesure en radians de l angle AOM est le réel α = l r M l = r α α r A Remarque Le cas particulier r = est intéressant car alors l = α. Dans ce cas, la mesure en radians de l angle AOM est égale à la longueur de l arc géométrique AM Il y a proportionnalité entre la mesure en degrés et la mesure en radians : degrés = radians ou encore 8 degrés = radians --

2 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 Exemple On obtient le tableau de conversions suivant : Angle plein plat droit fig.b fig.a fig.b Mesure en degrés Mesure en redians Figure a : Figure b : triangle rectangle isocèle triangle équilatéral II Cercle trigonométrique Définition Un cercle orienté est un cercle sur lequel on distingue les deux sens de parcours : le sens direct ou indirect Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon orienté de telle sorte que le direct est celui du sens inverse des aiguilles d une montre Remarque On peut donner aux sens plusieurs dénominations : Sens direct : sens positif, sens trigonométrique, sens inverse des aiguilles d une montre. Sens indirect : sens négatif, sens horaire. Exemple Placer les principales mesures en radian sur le cercle trigonométrique en prenant cm pour une unité

3 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 III Angles orientés III. Mesure d un arc ou d angle orienté de vecteurs (C) est le cercle trigonométrique de centre O, A et M sont deux points de (C) Définition Une mesure, en radians, de l arc orienté AM ou de l angle orienté ( OA, Ÿ OM) est la longueur de chemin parcouru pour aller de A à M dans le sens direct Propriété Si α est une mesure en radians de l arc orienté AM ou de l angle orienté ( OA, Ÿ OM), alors toutes les mesures en radians de cet arc sont de la forme α + k où k est un nombre entier relatif Remarque Le "k" détermine en fait un nombre de tours que l on affectue sans le sens direct si k est positif, et dans le sens indirect si k est négatif Exemple Placez sur le cercle trigonométrique les quatre points K, L, M, N tels que : est une mesure de (ÿ OK, OL) 5 7 est une mesure de (Ÿ OK, OM) N M K 7 + est une mesure de (ÿ OK, ON) L III. Mesure principale Définition On appelle mesure principale, en radians, son unique mesure appartenant à l intervalle [ ; ] Exemple Donner les mesures principales des angles suivants en les plaçant sur le cercle trigonométrique : α = α = α = α = α = α = --

4 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 IV Fonctions sinus et cosinus IV. Défintions Définition 5 Soit x un réel quelconque Il lui correspond un unique point M de (C) tel que x soit une mesure en radians de ( Ÿ OA, OM) Le cosinus de x, noté, est l abscisse de M dans le repère (O; i ; j ) Le sinus de x, noté, est l ordonnée de M dans le repère (O; i ; j ) cosx et sinx sont donc respectivement l abscisse et l ordonnée du point M dans le repère (O; i ; j ) á ë On note : M j M x i Propriété cos x + sin x = et IV. Valeurs remarquables

5 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 D après ce cercle trigonométrique, on peut déterminer quelques valeurs utiles : x IV. Période et parité D après la construction du cosinus et du sinus sur le cercle trigonométrique, on en déduit que : cos(x + ) = cosx sin(x + ) = sinx Ce qui signifie que les fonctions sinus et cosinus sont -périodiques, c est à dire qu elle se répetent de manière identique tous les cos( x) = cosx sin( x) = sinx Ce qui signifie que la fonction cosinus est paire (elle admet une symétrie d axe l axe des ordonnées), et que la fonction sinus est impaire (elle admet comme centre se symétrie). x x x x IV. Variations et courbe représentative Les fonctions sinus et cosinus étant -périodiques, on les étudie sur un intervalle de période Ces fonctions étant aussi paire ou impaire, on peut encore restreindre l intervalle à [ ; ] On obntient les tableaux de variations par lecture du cercle trigonométrique : -5-

6 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 IV.. Fonction sinus Le tableau de variations sur l intervalle [ ; ] de la fonction sinus est : x sin(x) ր ց On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l intervalle [ ; ], puis par symétrie centrale, sur [ ; ] puis par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction sinus qui s appelle une sinusoïde IV.. Fonction cosinus Le tableau de variations sur l intervalle [ ; ] de la fonction cosinus est : x On en déduit sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormal (O; i ; j ) sur l intervalle [ ; ], puis par reflexion par rapport à l axe des ordonnées, sur [ ; ] --

7 ère STI Ch : Fonctions circulaires /7 par translation, on obtient la courbe représentative de la fonction cosinus qui s appelle une sinusoïde : V Equations trigonométriques Propriété Soit α une réel fixé, alors l équation : = sin α a pour solutions x = α + k et x = α + k, k Z = cos α a pour solutions x = α + k et x = α + k, k Z α + k α + k α + k α α Exemple 5 Résoudre les équations suivantes : ( cos(x) = cos ( ) cos(x) = cos ) cos(x) = Å ã sin(x) = sin Å sin(x) = sin 5 ã sin(x) = { + k, } + k { + k, } + k { + k, } ß + k + k, + k ß 5 + k, + k ß + k, 5 + k α + k -7-