CORRIGE TD n 4. EXERCICE 1 : les trous d Young

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1 EXERCICE 1 : les trous d Young CORRIGE TD n 4 On considère une onde plne monochromtique de longueur d onde =656,3 nm, se propgent le long de l xe Oz On intercle sur le trjet de cette onde un écrn percé de deux trous de dimension négligebles, écrtés d une distnce, comme représenté sur l figure ci-dessous Chque trou peut être considéré comme une source ponctuelle émettnt un chmp électrique d mplitude E On plce un écrn à une distnce D On observe l figure d interférence u point P situé sur l écrn, à l côte x L distnce D est beucoup plus grnde que l écrt et que l côte x 1 Ecrire l expression de l différence de mrche, insi que l différence du trjet () pr rpport u trjet (1) en fonction de D,, x, Clculer l interfrnge 3 Fire les pplictions numériques pour D=m, =mm et x=1cm CORRECTION 1 Soit H le projeté orthogonl de S 1 sur S H D près le théorème de Mlus, l différence de mrche δ1 = SH = sinθ Or tn θ = x / D et D On en déduit que θ 1 et donc que tnθ θ sinθ Ce qui nous donne que δ 1 = S H = x / D π π x Le déphsge nous est donné pr : ϕ = 1 δ1 = On obtient l interfrnge lorsque i D = soit i = 3 L interfrnge est donc de,63 mm 19

2 EXERCICE : Interfrnge On rélise une expérience d interférences vec des fentes d Young dns l ir On obtient un interfrnge i = mm Le dispositif est ensuite immergé totlement dns de l eu d indice n = 4/3 Quelle est l nouvelle vleur de l interfrnge? CORRECTION L différence de mrche dns doit être multipliée pr l indice optique de l eu donc le déphsge π nx s écrit δ1 = et donc l interfrnge est i = D = i n n EXERCICE 3 : Interférences à 3 ondes On considère une onde monochromtique plne de longueur d onde = 656,3 nm se propgent le long de l xe Oz vec une polristion rectiligne On plce un écrn percé de trois trous de dimensions négligebles disposés symétriquement, comme montré sur l figure ci-dessous Chque trou peut être considéré comme une source ponctuelle d mplitude E du chmp électrique On plce un écrn à l distnce D, que l on prendr beucoup plus grnde que l écrtement des trous D= m et = 1 mm 1 Ecrire l expression de l différence de mrche entre le ryon pssnt pr le trou en +/ et le ryon pssnt pr le centre De même, clculer l différence de mrche entre le ryon pssnt pr le trou en / et le ryon pssnt pr le centre En déduire les différences de phse des trjets (1) et () pr rpport à celui issu du trou centrl O Clculer l expression du chmp électrique E observé u point P

3 3 Déduire l expression de l éclirement lumineux E u point P Trcer l éclirement E en fonction de l position Y 4 Décrire l figure d interférences obtenue Définir l interfrnge i et donner son expression pour le cs étudié ici Vleur numérique de i CORRECTION 1 Clculons les différences de mrche D près le théorème de Mlus : Y δ1 = OH = sinθ et δ = SK = sinθ Or tnθ = et Y Dd où D Y Y tnθ sinθ θ et donc δ 1 = OH = et δ = SK = D D 1

4 π Y π Y On en déduit les différences de phse ϕ1 = et ϕ = Les sources S 1 O et S sont des sources secondires cohérentes (c est un dispositif de division du front d onde) qui sont déphsées l une pr rpport à l utre Pour voir ccès u chmp en P, on pplique le théorème de superposition si bien que E( P) = Eexp( i( ωt kr) ) 1 + exp( iϕ1) + exp( iϕ) où ϕ1 etϕ sont les déphsges des ryons (1) et () pr rpport u ryon qui psse pr O πy πy E( P) = E exp( i( ωt kr) ) 1 + exp i + exp i ( ) exp ( ( )) 1 cos π Y E P = E i ωt kr + 3 On en déduit l éclirement E(P) * πy πy πy E ( P) = E( P) E ( P) = E 1+ cos = E 1+ 4cos + 4cos πy cos + 1 πy πy πy E ( P) = E 1+ 4cos + 4 = E 3+ 4cos + cos πy En posnt ϕ =, ( ) 3 4cos cos( ) E P = E + ϕ + ϕ

5 4 On deux séries de frnges : une série de frnges très brillntes et une série de frnges sombres Entre deux frnges très brillntes, on trouve une frnge d éclirement plus fible, entourée pr deux frnges noires Toutes ses frnges sont perpendiculires u pln de l figure On définit l interfrnge pr l longueur que l on trouve entre deux frnges très brillntes On lors i = =,63 mm EXERCICE 4 : Miroir de Lloyd Le miroir de Lloyd est constitué d une lme de verre plne opque utilisée comme un miroir pln L surfce de ce miroir est un rectngle de côtés 15 cm et 5 cm environ ; l plnéité de ce miroir est prfite Ce miroir épis (pour éviter les déformtions), donc lourd, est plcé sur un support rigide, instllé sur un bnc optique indéformble Il est possible à l ide de l vis V de régler l inclinison de ce miroir pr rpport ux ryons incidents 3

6 L source S ponctuelle éclire sous incidence rsnte un miroir de Lloyd AB Cette source est plcée à distnce / du miroir et l distnce source-bord droit du miroir est noté l L écrn est plcé à une distnce d u bout du miroir, et permet d observer les interférences entre le fisceu d éclirge direct et le fisceu réfléchi pr le miroir 1 Est-ce un dispositif à division du front d onde ou à division d mplitude? Quelles sont les sources secondires S 1 et S ssociées à ce dispositif? Représenter le chmp d interférences 3 Déterminer l différence de mrche géométrique et l différence de phse Les sources secondires sont-elles cohérentes? synchrones? en phse? 4 En déduire l expression de l éclirement sur l écrn Quelle est l forme des frnges obtenues? Peut-on remplcer l source ponctuelle pr une fente fine? 5 On élrgit mintennt l fente source S lrgueur est b réprtie églement de prt et d utre de l position / En prennt un modèle de fente source qui émet uniformément, exprimer le nouvel éclirement CORRECTION : 1 Comme il n existe ps de lme semi-réfléchissnte, le dispositif du miroir de Lloyd est un dispositif à division de front d onde Pour l éclirge direct, l source secondire S 1 est identique à l source primire S L lumière réfléchie semble provenir de S, imge de S pr le miroir pln, symétrique de S pr rpport u pln du miroir Le chmp d interférences est l zone où les fisceux provennt de S 1 et S peuvent se superposer SM = SM = S M 3 Le chemin optique de S à M pr l voie (1) est simplement ( ) 1 Pour l voie (), le trjet géométrique s identifie imméditement à S M, uquel il fut jouter / pour tenir compte du déphsge de π introduit à l réflexion sous incidence rsnte :( SM ) = S M + / L différence de mrche est donc : δ( SM, ) = SM SM 1 + / Les sources secondires S 1 et S sont évidemment cohérentes, mis ps synchrones : il y un déphsge de π Elles sont en opposition de phse 1 4

7 4 Avnt de déterminer l éclirement, clculons le chmp en M en utilisnt le théorème de superposition πδ ( SM, ) E( M) = ES exp( i( ωt ksm) ) 1+ exp i On en déduit l éclirement : * πδ( SM, ) πx E( M) = E( M) E ( M) = E 1 cos 1 cos + = E D Les frnges sont rectilignes et prllèles à (Oy) Comme pour l expérience des trous d Young, il est possible d utiliser une fente source (fine) prllèle à (Oy) pour éclirer le dispositif L expérience est lors plus lumineuse à l écrn 5 A une lrgeur dx s élémentire de l fente source, on ssocie l éclirement infinitésiml dxs des = E, et on superpose les éclirements en M donnés pr les éléments incohérents b de l source : / + b/ π( xs ) x dxs ( M ) E = E 1 cos D b xs = / b/ Après le clcul de l intégrl et en notnt sinc( x) sin x =, on : x πbx πx E( M ) = E 1 sinc cos D D On retrouve l spect hbituel des frnges mis le contrste est modulé à l écrn pr le sinus crdinl Le contrste reste bon u voisinge de mis décroît rpidement 5