TD D2 - Correction. 1 Figures d'interférence à deux ondes

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Jérémie Larouche
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1 PSI / TD D2 - Correction 1 Figures d'interférence à deux ondes 1. () On reconnît ici l congurtion clssique des trous Young, vec un écrn prllèle à l'xe (S 1 S 2 ). L diérence de mrche en M s'exprime donc (cf. cours) : δ(m) = X D L'intensité résultnte s'exprime à l'ide de l formule des interférences à deux ondes : ( )] 2π X I(X) = 2I 0 [1 + cos λ 0 D (b) L diérence de mrche ne dépendnt que de M, on obtient des frnges rectilignes dénies pr X = cste, donc colinéires à u y. L'interfrnge i est l distnce entre deux frnges successives de même intensité. Il vérie : soit : I(X + i) = I(X) de sorte que 2π(X + i) λ 0 D = 2πX λ 0 D + 2π L'interfrnge est ici indépendnt de l position sur l'écrn : les frnges rectilignes sont donc espcées régulièrement sur l'écrn. 2. () L diérence de mrche en M vut δ(m) = (S 2 M) (S 1 M) = S 2 M S 1 M en supposnt que l'indice du milieu vut 1 prtout. Le clcul de δ(m) peut être fit pr deux méthodes : géométrique (eectuée en cours) ou nlytique. Méthode nlytique L distnce S 1 M vut : S 1 M = S1M = S1S + SM = ( SS1 2 + SM 2 2SS 1 SM cos θ ) 1/2 ( = r 1 cos θ ) 1/2 + 2 r 4r 2 En fisnt un développement limité en /r, on obtient : ( S 1 M = r 1 cos θ ) r 1 2r 2 cos θ En chngent en, on obtient de l même fçon : S 2 M r cos θ On en déduit, u premier ordre en /r : δ(m) = cos θ Les questions suivntes on été corrigées en cours.

2 2 TD D2 - Correction 2 Expérience des trous d'young vec lentilles 1. Les ryons émis pr l source S ressortent tous prllèles entre eux de l lentille L 1 puisque S est dns le pln focl objet de L 1. Le ryon pssnt pr O 1 et S n'étnt ps dévié, il permet de déterrminer l direction de ces ryons émergents. S' 2. De fçon nlogue, les ryons émis pr S 1 et S 2 qui se rencontrent en M rrivent prllèles entre eux sur l lentille L 2 puisque M est dns le pln focl imge de L 2. On utilise le ryon pssnt pr O 2 et M, qui n'est ps dévié, pour déterminer l direction de ces ryons incidents. 3. Pour une position donnée de S et M, l diérence de mrche s'exprime : δ(s, M) = (SM) 1 (SM) 2 = (SS 1 M) (SS 2 M) = (SS 1 ) + (S 1 M) (SS 2 ) S 2 M) Il vient : δ(s, M) = δ 1 (S) + δ 2 (M) vec δ 1 (S) = (SS 1 ) (SS 2 ) et δ 2 (M) = (S 1 M) (S 2 M) On obtient, de fçon nlogue à ce qu'on vu en cours : δ 1 (x S ) = x S et δ 2 (x M ) = x M soit δ(x S, x M ) = x S + x M Lorsqu'on se déplce d'un interfrnge i sur l'écrn, l diérence de mrche vrie de λ 0 : δ(x S, x M + i) = δ(x S, x M ) + λ 0 Il vient : (x M + i) = x M + λ 0 soit i = λ 0 L'interfrnge ne dépend ps de x S : il reste le même quelle que soit l position de S (dns le pln focl objet de L 1 ). En revnche, les frnges se déclent lorsque x S vrie. 4. Le centre de l gure d'interférences correspond à l'imge géométrique S du point source S, où l diérence de mrche est nulle. Or δ = 0 implique que : x S + x M = 0 soit : x S = f 2 f 1 x S Ce point est plcé en dessous de l'xe optique. On vérie bien que c'est l'imge géométrique de S, dont l position est dénie pr : tn α = x S = x S soit x S = f 2 f 1 x S

3 PSI / Miroirs de Fresnel 1. Les fisceux issus de S qui se rééchissent sur les miroirs sont trcés en utilisnt les imges S 1 et S 2 de S pr chcun des deux miroirs. 2. C'est un système à division du front d'onde cr les ryons qui se rencontrent en un point M proviennent de deux ryons diérents (le système ne fit ps intervenir de lme séprtrice). 3. On peut insi se rmener u cs des trous d'young, vec S 1 et S 2 qui jouent le rôle des sources secondires. L'nlogue de l distnce entre les trous est ici : = 2lα cr l'ngle entre les droites (OS 1 ) et (OS 2 ) vut 2α 1 (cf. expliction en n de corrigé), et OS 1 = OS 2 = l. L'nlogue de l distnce D entre les trous et l'écrn est ici : D = L + l L 4. On en déduit, pr nlogie vec les trous d'young, qu'on observer sur l'écrn prllèle à (S 1 S 2 ) des frnges rectilignes, vec un interfrnge : soit i = λl 2lα En prtique, l'ngle α étnt très fible, l'écrn est prtiquement verticl, c'est-à-dire perpendiculire u miroir (M 2 ). 3. Montrons que l'ngle entre les droites (OS 1 ) et (OS 2 ), c'est-à-dire l'ngle entre les ryons rééchis en O pr les deux miroirs, vut 2α. Le ryon incident (SO) fit un ngle θ vec l normle à (M 2 ) : d'près l loi de l réexion de Descrtes le ryon rééchi pr (M 2 ) fit un ngle θ vec cette normle. Ainsi, l droite (S 2 O) fit un ngle 2θ vec (SO). De même, le ryon incident (SO) fit un ngle θ + α vec l normle à (M 1 ), donc le ryon rééchi pr (M 1 ) fit un ngle θ + α vec cette normle. Ainsi, l droite (S 1 O) fit un ngle 2(θ + α) vec (SO). On en déduit que l'ngle entre les droites (S 1 O) et (S 2 O) est 2(θ + α) 2θ = 2α. On retrouve insi un résultt d'optique géométrique de première nnée : lorsqu'on fit tourner un miroir pln d'un ngle α, l direction du ryon rééchi pr le miroir tourne d'un ngle 2α.

4 4 TD D2 - Correction 5 Miroir de Lloyd 1. Ce dispositif est à division du front d'onde cr les ryons qui se rencontrent en M proviennent de deux ryons diérents émis pr S (il n'y ps de lme séprtrice). Les sources secondires à considérer sont l source S elle-même (pour le ryon direct ) et son imge S pr le miroir pln horizontl (pour le ryon rééchi pr le miroir). Les sources secondires sont donc synchrones et mutuellement cohérentes, puisqu'elles proviennent de l même source primire S. On peut considérer qu'elles sont en phse (les ryons émis pr S et pr son imge S étnt symétriques pr rpport u pln du miroir) ou en opposition de phse (si on rmène le déphsge à l réexion u niveu de l source). Le chmp d'interférences est représenté sur l gure ci-dessus. 2. On se rmène donc u cs des trous d'young, vec = 2h et D = l 1 + l 2. Il fut cependnt prendre en compte le déphsge de π à l réexion du fisceu se rééchissnt sur le miroir horizontl, soit une diérence de mrche supplémentire égle à λ 0 2. On obtient donc : δ(m) = y D + λ 0 2 L diérence de phse correspondnte est : soit δ(m) = 2hy + λ 0 l 1 + l 2 2 φ(m) = 2π λ 0 δ(m) soit φ(m) = 4πhy λ 0 (l 1 + l 2 ) + π 3. L'éclirement en M est donné pr l formule des interférences à deux ondes : ( )] 4πhy E(M) = E 0 [1 + cos φ(m)] = E 0 [1 + cos λ 0 (l 1 + l 2 ) + π Il ne dépend que de y : on obtient donc des frnges horizontles (perpendiculire u pln du schém). Au point B, en y = 0, on obtient E = 0 : cel correspond donc à une frnge sombre. L'interfrnge vérie (cf. clcul pour les trous d'young) : soit i = λ 0 (l 1 + l 2 ) 2h On peut remplcer l source ponctuelle pr une fente ne horizontle (prllèles ux frnges) pour ugmenter l luminosité de l gure d'interférences (comme dns le cs des trous d'young vus en cours).

5 PSI / On élrgit mintennt l fente verticlement. Il peut se produire un brouillge dns ce cs cr l position des frnges dépend de l huteur de l source pr rpport u miroir. Les éclirements de chque point de l source vont simplement s'dditionner cr ils sont non cohérents entre eux. 5. L'émetteur est l source S vec h = 10 m, l mer est le miroir et le bteu, à une distnce D = 12 km, fit oce d'écrn. L longueur d'onde est λ 0 = 2 m. L'interfrnge vut : 2h = = 1200 m 20 L tille du bteu est négligeble devnt cet intergrnge et plcé en y 0, sur l frnge sombre : il ne cpte qu'un sigl fible. En revnche, vec h = 500 m, l'interfrnge devient égl à 24 m et l'ntenne du bteu plcée en hut du mt, à quelques mètres de l surfce, est, pr comprison vec l'interfrnge, notblement écrté du minimum d'intensité : l réception est donc bien meilleure. 6 Modiction de l'interfrnge Lorsque l lumière se propge dns l'eu, l vleur de l diérence de mrche clculée dns l'ir doit être multipliée pr l'indice n de l'eu. L diérence de mrche en un point M repéré pr x s'écrit donc : δ(x) = nx D. L'interfrnge vérie lors : δ(x + i) = δ(x) + λ 0 n(x + i) D = nx D + λ 0 soit i = λd n = i 0 n L'interfrnge est donc divisé pr n pr rpport à ce qu'on urit dns l'ir.

6 6 TD D2 - Correction 7 Étude d'un doublet 1. Les deux longueurs d'onde étnt diérentes, les sources sont incohérentes entre elles. On peut donc simplement sommer les éclirement correspondnt à chque longueur d'onde. L'éclirement E(M) s'écrit donc sous l forme : E(M) = E 1 + E 2 = E [ ( )] 0 2πδ 1 + cos 2 λ 1 + E [ cos 2 = E 0 [1 + cos (πδ σ) cos (2πδσ 0 )] ( )] 2πδ On vérie bien que E 0 correspond à l'éclirement ssocié à chque source en un point où δ = L'éclirement E(δ) correspond u produit de deux fonctions sinusoïdles de longueurs d'onde très diérentes et centrées sur un éclirement moyen E 0. Le premier terme oscille beucoup plus lentement que le second, il correspond donc à l'enveloppe du signl. 2E 0 E(δ) λ 2 0 1/2σ 0 1/2 σ δ 3. L première disprition des frnges lieu pour l première nnultion du cosinus vrint lentement : cos (πδ σ) = 0 πδ σ = π 2 soit δ = 1 2 σ

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