LOIS NORMALES. I. Introduction. Voici quelques exemples de courbes provenant de la vie quotidienne :

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1 I. Itroductio. LOIS NORMALES. Voici quelques exemples de courbes proveat de la vie quotidiee : La répartitio du QI das la populatio Le poids d ue populatio de chatos Répartitio des coscrits e 1907 Age des dirigeats de sociétés e Frace Ces courbes sot des courbes e forme de cloche. O parle de loi ormale lorsque l o a ue variable aléatoire cotiue dépedat d u grad ombre de causes idépedates dot les effets s additioet et dot aucue est prépodérate (coditios de Borel). Historiquemet, cette loi acquiert sa forme défiitive avec Gauss (e 1809) et Laplace (e 1812). C est pourquoi elle porte égalemet les oms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace-Gauss. La distributio ormale est ue distributio théorique, e ce ses qu'elle est ue idéalisatio mathématique qui e se recotre jamais exactemet das la ature. Mais de ombreuses distributios réellemet observées s e rapprochet et ot cette fameuse forme de «cloche» (beaucoup d idividus autour de la moyee, de mois e mois au fur à mesure qu o s e éloige, et ceci de faço symétrique). O cosidère ue variable aléatoire X qui suit la loi biomiale de paramètres et p. E faisat varier, la cloche se décale de gauche à droite. O pose alors Y X p. O a E(Y) 0 : la variable est alors cetrée. O pose Z Y = réduite. X p O a alors E(Z) 0 et (Z) 1. La variable Z est cetrée et Pour des grades valeurs de l histogramme de la variable Z décrit ue courbe e cloche. Cette courbe est proche de celle de la foctio défiie sur par (x) 1 2 e x 2 2.

2 II. Loi ormale cetrée réduite. 1. Défiitio. Défiitio : Ue variable aléatoire Z suit la loi ormale stadard ou loi ormale cetrée réduite lorsque 1 sa desité de probabilité est la foctio défiie sur IR par : (x) = 2 e x² 2. O a alors, pour tous réels a et b tels que a b, P(a Z b) a b (t)dt. Remarques : La courbe de est la courbe de Gauss ou courbe e cloche. est cotiue et strictemet positive sur IR et o admet que l aire totale sous la courbe est égale à 1. est doc bie ue foctio de desité. La probabilité que Z soit compris etre a et b est l aire du domaie sous la courbe e cloche etre les droites d équatios x = a et x = b. est paire doc sa courbe représetative est symétrique par rapport à l axe des ordoées. E particulier P(Z 0) = 1 2. Il est pas possible de détermier ue forme explicite de primitives de la foctio. O utilise doc des tables ou la calculatrice pour doer ue valeur approchée des itégrales. Das la suite, Z est ue variable aléatoire suivat la loi ormale stadard. 2. Espérace et variace de la loi ormale stadard. Défiitio : E(Z) lim x x 0 t (t)dt + lim y y t 0 (t)dt Propriété (admise) : Si la variable aléatoire Z suit la loi ormale stadard, alors E(Z).. et (Z).. La loi ormale stadard est alors aussi appelée loi ormale cetrée réduite, otée N(0 1). 3. Calculs de probabilités. Propriétés : Pour tout réel a : P(Z a) P(Z a) 1 P(Z a) P( a Z a) 2P(Z a) 1 P( a Z a) P(Z a) P(Z a) P(Z a) P(Z a) P(Z a) (1 P(Z a)) 2P(Z a) 1 Il est pas possible de détermier ue forme explicite de primitives de la foctio. O utilise doc des tables ou la calculatrice pour doer ue valeur approchée des itégrales.

3 Exemples : O doe P(0 Z 1) 0,34 E utilisat la courbe de la foctio : 1. calculer P( 1 Z 1) 2. Calculer P( 1 Z 0) 3. Calculer P(Z 1) 4. Calculer P(Z 1) 5. Calculer P(Z 1) 4. Itervalle cetré e 0 de probabilité doée. Propriété : Détermiatio d u itervalle cetré e 0 de probabilité doée Si Z est ue variable aléatoire qui suit la loi N(0 1), alors pour tout ombre réel ]0 ; 1[, il existe u uique réel u > 0 tel que P u Zu 1. Démostratio à reteir : Cas particuliers à coaître : u 0,05 1,96 u 0,01 2,58 Z[ 2,58 2,58] 0,99 P( Z[ 1,96 1,96] ) 0,95 P( )

4 III. Loi ormale N( ; ²). 1. Défiitio. Défiitio : désige u réel et u réel strictemet positif. La variable X suit la loi ormale de paramètres et ², otée N( ; ²),lorsque la variable aléatoire cetrée réduite X - suit la loi N(0 ; 1). Propriété admise : Soit X est ue variable aléatoire qui suit la loi N( ; ²), alors so espérace est et so écart-type est. Remarque : Ue loi ormale N( ; ²) est ue loi à desité, il existe ue foctio g b défiie sur IR telle que pour tous réels a et b, P(a X b) = g () t dt. L expressio a de g est pas au programme. L allure des courbes de desité est etièremet détermiée par les valeurs de et : La courbe est symétrique par rapport à la droite d équatio x μ. P(Z ) =. L espérace est u paramètre de positio, il localise la zoe où les réalisatios de X ot le plus de chace d apparaître. L écart-type est u paramètre de dispersio. Plus est faible, mois les réalisatios de X sot dispersées autour de. 2. Calculs de probabilité : Utilisatio de la calculatrice pour calculer P(a Z b): Casio : TI : Meu Stat Distrib (shift + var) Choisir DIST : touche F5 Choisir ormalcdf( ou ormalfrep Choisir NORM : touche F1 Etrer a, b,, e séparat par des virgules. Choisir Ncd : touche F2 Data : choisir Variable Lower : etrer la valeur de a Upper : etrer la valeur de b : etrer : etrer Exemples : Das tous les exemples qui suivet, X suit la loi (2;9). Détermier. Calculer P( 1 X 2)

5 Calculer P(X 1) O utilise la courbe de la foctio qui a pour axe de symétrie la droite d équatio x μ, c'est-à-dire x 2. Calculer P(X 2,5) O utilise la courbe de la foctio. Calculer P(X 0,4) O utilise la courbe de la foctio. Calculer P(X 2,4) O utilise la courbe de la foctio. 3. Détermier la valeur de a telle que P(X a) p, où p est doé. Casio : TI : Meu Stat Distrib Choisir DIST : touche F5 Choisir FracNormale Choisir NORM : touche F1 Etrer p,, e séparat par des virgules. Choisir IvN : touche F2 Data : choisir Variable Trail : choisir Left Area : etrer la valeur de p : etrer : etrer Exemple 1: La variable aléatoire X suit la loi (3 4). 1. Détermier 2. Sas la calculatrice, e utilisat le cours, détermier la valeur du réel a tel que P(X a) 0,5. 3. A la calculatrice, détermier la valeur du réel a tel que P(X a) 0,3. 4. A la calculatrice, détermier la valeur du réel b tel que P(X b) 0,3. 5. A la calculatrice, détermier la valeur du réel c tel que P(3 X c) 0,3.

6 Exemple 2: La variable aléatoire Z suit la loi ormale cetrée réduite. Retrouver la valeur de u 0, Probabilités à coaître. Propriété : Soit X ue variable aléatoire suivat la loi N( ; ²). O a : P(Xϵ[ - ; + ]).. P(Xϵ[ -2 ; +2 ]) P(Xϵ[ -3 ; +3 ]).. 5. Exemples d applicatio de la loi ormale. Exemple 1. Ue catie sert des repas e ombre très importat. Soit X la variable aléatoire qui doe la masse e grammes des ratios de viade. O suppose que X suit la loi ormale N( ). Les proabilités serot arrodies au millième. 1. Quelle est la masse moyee d ue ratio de viade? 2. Quelle est la probabilité pour qu ue ratio de viade ait ue masse comprise etre 110g et 135g. 3. Quelle est la probabilité pour que la masse d ue ratio de viade dépasse 130g? Exemple 2. Ue boulagerie idustrielle utilise ue machie pour fabriquer des pais de campage pesat e moyee 400 grammes. Pour être vedus aux cliets, ces pais doivet peser au mois 385 grammes. U pai dot la masse est strictemet iférieure à 385 grammes est u pai o commercialisable, u pai dot la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable. La masse d u pai fabriqué par la machie peut être modélisée par ue variable aléatoire X suivat la loi ormale d espérace 400 et d écart-type Calculer P(390 X 410). 2. Calculer la probabilité p qu u pai choisi au hasard das la productio soit commercialisable. 3. Sas utiliser la calculatrice, détermier ue valeur approchée à 10 2 près de P(367 X 433). Expliquer.

7 Le fabricat trouve cette probabilité p trop faible. Il décide de modifier ses méthodes de productio afi de faire varier la valeur de sas modifier celle de. 4. E utilisat ue variable aléatoire suivat la loi ormale stadard N(0 ; 1), détermier la valeur de pour laquelle la probabilité qu u pai soit commercialisable est égale à 96 %. O arrodira le résultat au dixième. IV. Fluctuatio. 1. Théorème de Moivre-Laplace. Thérorème de Moivre-Laplace (admis) : X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de X paramètres et p et Z est la variable aléatoire défiie par Z E( X ) X p ( X ) Alors, pour tous réels a et b avec a b, lim P(a Z b) P(a Z b), où Z suit la loi N(0 1). 2. Itervalle de fluctuatio. Théorème : Soit X ue variable aléatoire suivat la loi B( p) et F X la fréquece de succès. Pour tout de ]0 1[, o pose I p u p u où u est le réel > 0 défii das le II tel que P u Zu 1, où Z suit la loi N(0 1). Alors lim P( F ϵi ) 1. I est l itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil 1. Démostratio à coaître : au dos

8 O admet que l approximatio P F ϵ p u pratiquée dès que 30 ; p 5 et (1 p) 5. p u 1 peut être Cas particulier : O utilise le plus souvet l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% ( 5%) : o a vu que u 0,05 1,96. Das ce cas, lim P F ϵ p 1,96 p 1,96 0,95 E fait, u 0,05 1,95 doc : Pour suffisammet grad, o peut affirmer que la probabilité que F appartiee à p 1,96 p 1,96 est légèremet supérieure à 0,95. Remarque : Pour tout p compris etre 0 et 1, 1,96 1. Doc pour suffisammet grad, 0,95 < F ϵ p 1,96 p 1,96 P F ϵ 1 1 p p O retrouve l itervalle de fluctuatio vu e secode. 3. Prise de décisio. Au sei d ue populatio, o suppose que la proportio d u certai caractère est p. O souhaite juger cette hypothèse. Pour cela, o prélève das la populatio au hasard et avec remise u échatillo de taille. O ote f obs la fréquece du caractère das cet échatillo. Si 30 ; p 5 et (1 p) 5, o détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% : I p 1,96 p 1,96 Si f obs appartiet à l itervalle de fluctuatio, l hypothèse est acceptée au seuil de 95%. Si f obs appartiet pas à l itervalle de fluctuatio, o rejette l hypothèse au seuil de 95%. Remarque : le risque de rejeter ue populatio coforme est iférieur à 5%. Exemple : Ue etreprise aoce que le pourcetage de moteurs défectueux das sa productio est égal à 1%. Afi de vérifier cette affirmatio 800 moteurs sot prélevés au hasard. Etat doé le grad ombre de moteurs fabriqués, o peut assimiler ce choix à u tirage avec remise. O costate que 15 moteurs sot détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il e questio l aoce de l etreprise? (d après bac)