Sommaire. Masse et inertie Notions d inertie. Masse et inertie. Papanicola. 23 septembre 2012

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1 inétique Papanicola Lycée Jacques Amyot 23 septembre 2012 ommaire inétique Masse onservation de la masse entre d inertie entre d inertie d un ensemble de corps Théorèmes de Guldin Moments d inertie Moment d inertie par rapport à un point Moment d inertie par rapport à un point Moment d inertie par rapport à une droite Rayon de giration Moments d inertie dans un repère cartésien Relations Relation entre les moments d inertie par rapport à deux droites parallèles Produits d inertie inétique En première année nous avons débuté l étude de la mécanique du solide par la cinématique du solide puis par la statique des solides. La cinématique est l étude et la caractérisation des mouvements d un solide, la statique correspond à l étude de l équilibre statique sans mouvement) d un solide soumis à des actions mécaniques extérieures. es deux études se sont appuyées sur la modélisation du mécanisme liaisons). Nous allons compléter ce cours par la dynamique du solide, c est à dire l étude du mouvement des solides avec leur masse et inertie soumis a des actions mécaniques extérieures, en commençant par définir les notions de masse et d inertie et la cinétique. Notions d inertie L inertie caractérise la résistance qu oppose un corps par sa nature propre à une variation de mouvement passer de l arrêt au mouvement ou le contraire. Ainsi, nous savons, par l expérience, qu il est plus «difficile» d accélérer ou de freiner un camion qu une moto. Pour un mouvement de translation, la masse suffit pour définir cette quantité, par contre pour un mouvement de rotation, il est nécessaire de préciser la répartition de cette masse. La cinétique est l étude des caractéristiques d inertie d un solide.

2 Masse La masse caractérise la quantité de matière d un système «matériel», c est une grandeur complétement additive. oit, 1, 2 deux systèmes matériels disjoints alors : m 1 2 ) = m 1 ) + m 2 ) 1) avec 1 2 φ. La masse m de l ensemble est définie par : m = dm = ρp) dv 2) avec ρp) masse volumique au point P et dv un élément de volume. V Masse Masse volumique : i le système matériel est assimilable à un volume, on parle de masse volumique ρp) au point P : dm = ρp)dv; Masse surfacique : i le système matériel est assimilable à une surface on parle de masse surfacique σp) au point P : dm = σp)ds; Masse linéique : i le système matériel est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique λp) au point P : dm = λp)dl. Masse On admet en mécanique classique que la masse est une grandeur indépendante du temps, ainsi pour deux instants t 1 et t 2 quelconque : m, t 1 ) = m, t 2 ). 3) On en déduit une relation importante : d [ ] f P, t) dm d = f P, t) dt dt P R P qui permet d inverser la dérivation par rapport au temps et l intégration par rapport à la masse. R dm. 4) entre d inertie On appelle centre d inertie du système matériel, le point G défini par : GP dm = #» 0. 5) P En faisant intervenir le point O, la relation devient GO dm + OP dm = #» 0 avec OP dm = m OG finalement OG = 1 m P OP dm 6)

3 entre d inertie - entre d inertie dans un repère cartésien Dans un repère cartésien, on note x G, y G, z G ) les coordonnées de OG et x, y, z) les coordonnées de OP, on peut donc écrire : x G = 1 x dm, m y G = 1 y dm, m z G = 1 z dm. m entre d inertie - Propriétés du centre d inertie i le système matériel est un solide indéformable, le centre d inertie est un point fixe du solide ; i le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d inertie appartient à cet élément de symétrie ; Le centre d inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d un champ de pesanteur uniforme. entre d inertie - entre d inertie d un ensemble de corps Un ensemble matériel est composé de n sous-ensembles matériels i. A chaque sous-ensemble i est associé sa masse m i et son centre d inertie G i, alors OG = 1 m n i=1 m i OG i. 7) Le centre d inertie d un ensemble de corps est le barycentre des centres d inertie. i les corps sont des solides indéformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d inertie de l ensemble est fixe dans un repère lié à cet ensemble. Gn Gi n i G G2 2 G1 1 entre d inertie - Théorème de Guldin 1- entre d inertie d une courbe plane ) r dl G #» r r G ) oient ) une courbe du plan P) et ) une droite du plan ne coupant pas ). L aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe ) autour de la droite ) est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d inertie 2π r G. = 2π r G L 8)

4 entre d inertie - Théorème de Guldin 1- entre d inertie d une courbe plane On associe à la courbe ) une masse linéïque λ constante, dm = λ dl d où la masse totale de la courbe m c = λ L. La position du centre d inertie de la courbe est calculée par la relation générale : m c OG = OP dm ette relation devient : λ L OG = OP λ dl. Après simplification puis en ne prenant que la projection suivant #» r : L OG = OP dl L r G = r dl alculons maintenant la surface engendrée par la rotation de la courbe : 2π = r dθ dl = dθ r dl = 2π r dl En substituant 0 r dl = L r G dans cette égalité on retrouve bien le résultat cherché. entre d inertie - entre d inertie d une surface plane ) r ds r G G #» r ) oient ) une surface du plan P) et ) une droite du plan ne coupant pas ). Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l axe ) est égal au produit de l aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d inertie. V = 2π r G 9) entre d inertie - entre d inertie d une surface plane On démontre cette égalité comme la précédente. On associe à ) une masse surfacique dm = σ ds constante et m = σ. Par définition : m OG = OP dm OG = OP ds soit en projection r G = r ds v Le volume engendré par la rotation de la surface ) 2π s écrit :V = r dθ ds = dθ r ds = 2π r ds d où la relation cherchée :V = 2π r G. 0 Moments d inertie La masse suffit pour caractériser l inertie dans le cas d un mouvement de translation. Pour un mouvement de rotation ou un mouvement plus complexe, il faut prendre en compte la répartition de cette masse sur le solide. Les moments et produits d inertie caractérisent cette répartition.

5 Moments d inertie - Moment d inertie par rapport à un point On appelle moment d inertie du solide par rapport à un point A la quantité positive : I A ) = AP 2 dm kgm 2) ) avec : un solide, A un point, P un point du solide et dm la quantité de matière : P A Moments d inertie - Moment d inertie par rapport à une droite On appelle moment d inertie du solide par rapport à une droite ) la quantité positive I ) = δ 2 AP) ) dm kgm 2. 10) A ) P H En faisant intervenir le point H, projection de P sur la droite ) d P distance du point P à la droite )) la relation devient : I ) = HP 2 dm = dp 2 dm. Le moment d inertie par rapport à une droite est le même en tout point de la droite. Moments d inertie - Rayon de giration Le moment d inertie étant homogène au produit d une masse par une distance au carré, il est toujours possible d écrire le moment d inertie autour d un axe d un solide quelconque sous la forme : I = M R 2 g avec M la masse du solide et R g le rayon de giration. Figure : Rayon de giration Moments d inertie - Moments d inertie par rapport à un point dans R oit un repère R O,,, ). Un point P de coordonnées x, y, z dans R. Par définition on peut écrire le moment d inertie du solide par rapport au point O à l aide des coordonnées cartésiennes : I O ) = OP 2 dm = x 2 + y 2 + z 2) dm

6 Moments d inertie - Moments d inertie par rapport à un axe dans R Déterminons le moment d inertie du solide par rapport à l axe O, #» x ) : Par définition : I O, ) ) = #»x 2 OP) dm = x + y + z )) 2 dm I O, ) ) = y 2 + z 2) dm, moment d inertie du solide par rapport à O, ) ; De même : I O, ) = z 2 + x 2) dm, moment d inertie du solide par rapport à O, ) ; I O, ) = x 2 + y 2) dm, moment d inertie du solide par rapport à O, ). Moments d inertie - Moment d inertie par rapport au plan Par extension, on définit les moments d inertie par rapport au plan : Moment d inertie du solide par rapport au plan O,, ) : I O ) = z 2 dm moment d inertie du solide par rapport au plan O,, ) : I O ) = x 2 dm moment d inertie du solide par rapport au plan O,, ) : I O ) = y 2 dm Moments d inertie - Relations entres les moments d inertie Quelques relations entre les moments d inertie d un solide : I O = I O ) + I O ) + I O ) I O = 1 ) IO, ) + I O, ) + I O, ) 2 I O, ) = I O ) + I O ) I O, ) = I O ) + I O ) I O, ) = I O ) + I O ) oit un solide de centre d inertie G et de masse m, avec : P 1 ), une droite passant par A de vecteur unitaire #» δ ; 2 ), une droite parallèle passant par G ; d, la distance entre les deux droites. H la projection du point P du solide sur 1 ) K la projection sur 2 ). K d G 2 ) H A 1 ) On sait que : I A, #» δ ) =, I G, #» δ ) = #»δ AP) 2 dm #»δ GP) 2 dm,

7 herchons une relation entre I #» A, δ ) et I G, #» δ ) nous savons que : #»δ I #» A, δ ) = ) 2 AP dm = HP 2 dm En faisant intervenir le point K : I #» A, δ ) = HK + 2 KP) dm soit I #» A, δ ) = HK 2 dm + 2 HK KPdm + KP 2 dm Le premier terme s écrit : HK 2 dm = m d 2 On reconnaît le troisième : KP 2 dm = I #» G, δ ) Il ne reste plus qu à déterminer le centre d inertie G : 2 HK KPdm en faisant intervenir 2 HK KPdm = 2 HK KPdm = 2 HK KG + GPdm = 2 HK KG dm + 2 HK GPdm HK KG 2 HK KG dm = 0 et GPdm = 0 Finalement I #» A, δ ) = I G, #» δ ) + m d 2. Énoncé du Le moment d inertie d un solide par rapport à un axe A, #» ) δ est égal au moment d inertie par rapport à l axe G, #» ) δ, parallèle et passant par le centre d inertie du solide, augmenté du produit de la masse du solide par le carré de la distance séparant les deux axes. I A, #» δ ) = I G, #» δ ) + m d 2 11) orollaire De tous les axes parallèles à une direction donnée, celui par rapport auquel le moment d inertie est minimum est l axe passant par G. - Relation entre les moments d inertie par rapport à deux droites parallèles On se propose de déterminer une relation entre les moments d inertie par rapport à deux droites parallèles. P B B) db K da G G) A A) On sait que : H I A, #» δ ) ) = I G, #» δ ) ) + m d 2 A I B, #» δ ) ) = I G, #» δ ) ) + m d 2 B D où la relation entre les moments d inertie I A, #» δ ) ) I B, #» δ ) ) = m d 2 A m d 2 B 12) avec d A et d B respectivement distance entre les droites A, B et G.

8 Produits d inertie Les produits d inertie caractérisent l absence de symétrie dans la répartition des masses. La détermination des produits d inertie sera déduite du calcul de l opérateur d inertie dans le chapitre suivant.