Dérivabilité, dérivée,

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1 Ai-Marseille Université Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que f et g sont dérivables en. 1. Montrer que (f + g) est dérivable en et (f + g) () = f () + g (). 2. Montrer que fg est dérivable en et (fg) () = f ()g() + f()g (). 3. On suppose que g(y) 0 pour tout y ]a, b[. Montrer que f/g est dérivable en et que : (f/g) () = g()f () f()g () g 2. () Eercice 2 [Dérivabilité de n ] Soit n un entier relatif. On considère la fonction à valeurs dans R définie par f n () = n. 1. Quel est l ensemble de définition de f n (distinguer suivant les valeurs de n). 2. Montrer que f n est dérivable sur D et déterminer sa dérivée. Eercice 3 [Calcul de dérivées ] Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f 1 () = ln(), f 2 () = sin( 1 ), f 3() = , f 4 () = f 6 () = arctan( 1 ) + arctan(). 2. On note (f) = f f. Calculer (f g). ( ) 1 ln( 1+ 1 ) 3, f 5 () = et 3. Soit f :]1, + [ ] 1, + [ définie par f() = ln(). Montrer que f est une bijection. Notons g = f 1. Calculer g(0) et g (0). 4. Calculer les dérivées successives de f() = ln(1 + ). 5. Calculer les dérivées successives de f() = 3 ln(). Eercice 4 [Dérivabilité de 1/n ] Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit g : [0, + [ R la fonction g n () = 1/n. Rappelons que g est par définition la fonction réciproque de la restriction à [0, + [ de la fonction f n () = n. 1. Montrer que g n est dérivable sur ]0, + [ et déterminer sa dérivée. 2. Montrer que le graphe de g n admet une demi-tangente verticale en 0. Eercice 5 Soit f une fonction dérivable sur R. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : f 1 : ep(f()), f 2 : (f(sin )) 2, f 3 : ln f(), f 4 : f(ln f() ). Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

2 Eercice 6 Soit f : 1/ définie sur R +. On admettra l eistence d une fonction ln (logarithme népérien) définie et dérivable sur R +, s annulant en 1 et vérifiant ln = f. 1. Montrer que la fonction ln est ainsi définie de manière unique. 2. Montrer que ln est strictement croissante. 3. a. Soit a > 0 et g a : R + R définie par g a () = ln(a) ln(a). Montrer que g a est dérivable et calculer g a et g a (1). b. En déduire que pour tout a, b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln(b). 4. Montrer, en étudiant une fonction bien choisie, que pour tout > 0, ln() 1. Eercice 7 [Dérivée non continue] On considère la fonction f : R R définie par : { 0 si 0, f() = 2 sin( 1 ) si > 0. Montrer que f est dérivable en tout point de R et calculer f () pour tout R. La dérivée de f est-elle continue? Eercice 8 Pour R, on pose f() = + e. Montrer que f est strictement croissante, continue et bijective de R dans R. On note g l application réciproque de f. Montrer que g est deu fois dérivable sur R. Calculer g (1) et g (1). Eercice 9 [Eercice de rédaction] Soit ϕ une application de ]0, + [ dans R, dérivable (en tout point de ]0, + [) et t.q. lim + 1. On suppose que ϕ () 0 pour tout > 0. Montrer que ϕ() 0 pour tout > On suppose que ϕ () < 0 pour tout > 0. Montrer que ϕ() > 0 pour tout > 0. ϕ() = 0. Applications de la dérivée : Rolle, Accroissements finis, etrema locau, conveité Eercice 10 [Application du théorème de Rolle] 1. Dessiner le graphe de fonctions vérifiant : f admet deu minimum locau et un maimum local ; h admet un minimum local qui n est pas global et un maimum local qui est global ; k admet une infinité d etremum locau ; l n admet aucun etremum local. 2. Calculer en quel point la fonction f() = a 2 + b + c admet un etremum local. 3. Soit f : [0; 2] R. une fonction deu fois dérivable telle que f(0) = f(1) = f(2) = 0. Montrer qu il eiste c, d tels que f (c) = f (d) = 0. Montrer qu il eiste e tel que f (e) = Montrer que chacune des 3 hypothèses du théorème de Rolle est nécessaire. Eercice 11 [Etremum local] Soit f : R R la fonction définie par f() = Montrer que f est dérivable sur R \ { 1, 1} mais n est pas dérivable en 1 et en Montrer que f admet un maimum local en 0 et des minima locau en 1 et en 1. Eercice 12 Soit I un intervalle ouvert et f : I R une fonction dérivable. Soit k un entier 2. On suppose qu il eiste k nombres réels distincts appartenant à I en lesquels f s annule. Démontrer qu il eiste au moins k 1 nombres réels distincts appartenant à I en lesquels f s annule. Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

3 Eercice Montrer que pour tout réel > 0 on a la double inégalité : 2. En déduire que pour tout entier n 1, on a : < log( + 1) log() < 1 log(n + 1) < n < 1 + log(n) 3. Posons u n = n log(n). Montrer que la suite (u n) est décroissante et convergente. Eercice 14 [Application des accroissement finis] 1. Soit f : Étudier la fonction f. Tracer son graphe. Montrer que f admet un minimum local et un etremum local. 2. Soit g :. Appliquer le théorème des accroissements finis sur l intervalle [100 ;101). En déduire l encadrement : Appliquer le théoème des accroissement finis pour montrer que ln(1 + ) ln() 1 pour tout strictement positif. 4. Soit h : e. Que donne l inégalité des accroissement finis sur [0; ]? Eercice 15 [Application règle de l Hôpital (ou règle de Bernoulli)] Appliquer la règle de l Hôpital pour calculer les limites des fonctions suivantes quand tend vers 0 f : ln( + 1) (1 + ) n, g :, h : 1 cos() 1 tan() et k : sin() 3. Eercice 16 [Etude d une fonction] Soit a > 0. On définit f de R dans R de la manière suivante : ( 1 + a ) si 0 f() = 1 si = 0. (On rappelle que b = e ln b, pour b > 0 et R.) 1. (Continuité de f) (a) Montrer que e z 1 + z2 2 pour tout z R +. En déduire que ln(1 + y) 2y, pour tout y R +. (b) En utilisant la question précédente, montrer que 1 f() e 2a, pour tout ]0, [. (c) Montrer que lim 0,>0 f() = 1. (d) Montrer que f est continue en 0. [On pourra remarquer que f()f( ) = 1, pour tout R.] 2. (Dérivabilité de f sur R ) Montrer que f est de classe C 1 sur R et que f () > 0 pour tout 0. [Pour > 0, on pourra mettre f () sour la forme f()ϕ() et utiliser l eercice 9.] Montrer que f est strictement croissante. 3. (Dérivabilité en 0?) Montrer que lim 0 f () = +. L application f est-elle dérivable en 0? (Justifier la réponse... ) Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

4 4. (Limites en ± ) Donner (en fonction de a) les limites en + et de f. Dans la suite, on note l et m ces limites. 5. (Fonction réciproque) Montrer que f est une bijection de R dans ]m, l[. On note g la fonction réciproque de f (de sorte que g est une application de ]m, l[ dans R). Montrer que g est dérivable en 1 (noter que 1 ]m, l[) et calculer g (1). [Pour h 0, on pourra appliquer le théorème des Accoissements Finis à la fonction f entre les points g(1 + h) et g(1).] 6. (Régularité de la fonction réciproque) Montrer que la fonction réciproque de f est de classe C 1 sur ]m, l[ mais que f n est pas de classe C 1 sur R. Eercice 17 [Fonction convee] Soit ϕ une fonction de R dans R. On suppose que ϕ est dérivable (c est-à-dire dérivable en tout point de R) et que ϕ est une fonction croissante. ϕ(z) ϕ() ϕ(y) ϕ(z) 1. Soit < z < y. Montrer que. z y z 2. Montrer que ϕ est convee, c est-à-dire que ϕ(t + (1 t)y) tϕ() + (1 t)ϕ(y) pour tout, y R et tout t [0, 1]. (0.0.1) [Pour < y et t ]0, 1[, on pourra utiliser la question 1 avec z = t + (1 t)y.] 3. On définit ici la fonction ψ de R dans R par ψ() = si R. Montrer que ψ est convee. La fonction ψ est-elle dérivable en tout point de R? Formules de Taylor, équivalents, développements limités Eercice 18 [Application formule de Taylor] 1. Ecrire les trois formules de Taylor en 0 pour cos(), ep( ) et sh(). 2. Ecrire les formules de Taylor en 0 à l ordre 2 pour 1 1+ et tan(). 3. Ecrire les formules de Taylor en 1 à l ordre 2 pour f : 3 9 1/ Avec une formule de Tayor à l ordre 2 de g : 1 + trouver une approimation de Même question avec ln(0.99) (pour cela on pourra calculer le DL en 0 de h : ln(1 )). Eercice 19 [Limites] 1. Calculer les limites suivantes : 2. Calculer e 2 cos lim 0 2, lim , + l = arctan lim 0 sin. lim + ( ) + 1. ( ) + 1 Donner un équivalent de l lorsque tend vers +. lim , Eercice 20 [Un peu d analyse numérique] Donner une valeur approchée de sin (1) à près, c est-à-dire donner un nombre réel l tel que sin (1) l [On pourra considérer la fonction sinus sur [0, 1] et écrire la formule de Taylor-Lagrange à un ordre convenable à déterminer ; on remarquera que le reste dans cette formule se borne facilement.] Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

5 Eercice 21 [DL, eemple 1] On définit f sur ], 1[ par : f() = arctan Donner le développement limité à l ordre 3 de f en 0. Eercice 22 [DL, eemple 2] Calculer le DL en 0 de ch() en utilisant TY. Retrouver ce DL en utilisant ch() = e + e Écrire le DL en 0 à l ordre 3 de f : Même question avec g : Écrire le DL en 2 à l ordre 2 de h :. 4. Justifier l epression du DL de k : 1 1 géométrique. à l aide de l unicité du DL et de la somme d une suite Eercice 23 [DL d un polynôme... ] Donner le développement limité à l ordre 7 en 1 de la fonction f définie sur R par f() = 4 1. Eercice 24 [DL somme, opérations] 1. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 1 : ep() 1 1+, puis de g 1 : cos(2) et h 1 : cos() sin(2). 2. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 2 : cos(), puis de g 2 : ep( cos()). 3. Calculer le DL en 0 à l ordre 3 de f 3 : ln(1 + sin()). Même question à l ordre 6 pour g 3 : (ln(1 + 2 )) Calculer le DL en 0 à l ordre n de f 4 : ln(1 + 3 ) 3. Même question à l ordre 3 pour g 4 : e Par intégration retrouver la formule du DL de f 5 : ln(1 + ). Même question à l ordre 3 pour g 5 : arccos(). Eercice 25 [Utilisation des DL(1)] Donner la limite en 0 de f définie sur ]0, [ par : f() = e 1 2. Eercice 26 [Utilisation des DL(2)] 1. Calculer la limite lorsque tend vers 0 de sin() Calculer la limite de lorsque tend vers 1. Même question avec ln() lorsque tend vers 0. ( ) 1 1 1, puis 1 + tan 2 () Soit f : ep() + sh(). Calculer l équation de la tangente en = 0 et étudier la position du graphe de f par rapport à cette tangente. Même question avec g() = sh(). 4. Calculer le DL en + à l ordre 5 de h : 2 1. Même question à l ordre 2 pour ϕ : (1 + 1 ). 5. Soit k : rapport à cette asymptote Déterminer une équation de l asymptote de k en + et la position du graphe par Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

6 Eercice 27 [DL d une fonction réciproque] On définit f sur R par f() = 2 + sin. 1. Montrer que f est une bijection de R dans R, strictement croissante. On note, dans la suite, g sa fonction réciproque. 2. Montrer que f et g sont dérivables en tout point de R. 3. Donner le développement limité à l ordre 3 en 0 de g. Eercice 28 [Equivalents] 1. Soit α > 0. Montrer que ((1 + ) α 1) α en Montrer que ( ) 2 en Soit f, g, h des applications de R dans R et λ, µ R. On suppose que f λh et g µh en 0 et que λ + µ 0. Montrer que (f + g) (λ + µ)h en 0. Donner un eemple où ce résultat est fau si λ + µ = Soit f et g des applications de R dans R. On suppose que f() > 0 et g() > 0 pour tout R, f g en 0 et lim 0 f() =. On pose h() = ln() pour > 0. Montrer que h f h g en Soit f, g, h des applications de R dans R. On suppose que f h en 0 et que g = o(h) au voisinage de 0. Montrer que (f + g) h en 0. Eercice 29 [Equivalents] Soit f, g, ϕ, ψ définies pour tout R par f() = 3 + 1, g() = 4 + 1, ϕ() = 3 3, ψ() = Montrer que f g en Montrer que ln(f) et ln(g) sont définies sur ] 1, [ et que ln(f) ln(g) en Montrer que ϕ ψ en Montrer que e ϕ e ψ en +. Eercice 30 [Etude d une fonction (1)] Soit la fonction f définie sur ] π 4, π 4 [ par ln(1 + tan ) si 0 f() = sin 1 si = Montrer que f est continue et dérivable en Donner le développement limité de f en 0 à l ordre Donner l équation de la tangente à la courbe de f au point d abscisse 0 et la position locale de la courbe de f par rapport à cette tangente. Eercice 31 [Etude d une fonction (2)] On définit la fonction f de R dans R par f() = 3 + cos() Montrer que f est dérivable et calculer f () pour tout R. 2. Montrer que f est strictement croissante. 3. Montrer que f est une bijection de R dans R. 4. Montrer que f admet un développement limité d ordre 2 en 0 et donner ce développement. Donner l équation de la tangente (à la courbe de f) en 0 et la position locale de la courbe de f par rapport à cette tangente. 5. Montrer que g admet un développement limité d ordre 2 en 1 et donner ce développement. 6. Donner les asymptotes de f en ±. 7. Montrer que lim g() = et donner les asymptotes de g en ±. Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

7 Eercice 32 [Etude de ln(1 )/] 1. Montrer que pour tout entier n, la fonction ln (1 + ) admet un développement limité à l ordre n en zéro. Calculer eplicitement ce développement pour n = Soit g :]0, 1[ R la fonction définie par g() = zéro (à droite). Soit f : [0, 1[ R la fonction définie par f() = 3. Montrer que f est de classe C sur ]0, 1[. ln (1 ). Montrer que g se prolonge par continuité en ln (1 ) si ]0, 1[, 1 si = Montrer que f est dérivable à droite en zéro et donner la valeur de cette dérivée (notée f (0)). 5. Calculer la fonction dérivée f sur ]0, 1[. La fonction f est-elle continue en zéro? 6. Montrer que pour tout [0, 1[, on a ln (1 ) En déduire le signe de f () pour ]0, 1[. 7. Dresser le tableau de variations de f et tracer l allure de son graphe sur [0, 1[ (on pensera à calculer la limite de f en 1). Eercices Supplémentaires Eercice 33 [Limite à l infini] Soit f une fonction dérivable de ]0, [ dans R. On suppose que lim f f() () = 0. Montrer que lim = 0. Eercice 34 [Fonctions höldériennes] Soit f une fonction de R dans R, β R, β > 0 et k R, k > 0. On suppose que, pour tout, y R, f(y) f() k y β. 1. Montrer que f est continue en tout point de R. 2. On suppose, dans cette question, que β > 1. Soit R, montrer que f () = 0. En déduire que f est constante. 3. (Eemple) Pour R, on pose g() = 1 2. Montrer que, pour tout, y R, on a g(y) g() y 1 2. [On pourra montrer qu on peut supposer y, et distinguer les cas où et y sont de même signe et où et y sont de signe contraire.] Eercice 35 Soit n un entier 2, a et b des nombres réels et P le polynôme de R[X] défini par P (X) = X n + ax + b. 1. Combien le polynôme P a-t-il de racines réelles? 2. Montrer que le polynôme P a au plus deu racines réeles si n est pair et au plus trois racines réelles si n est impair. Eercice 36 [Utilisation du théorème des accroissements finis] Soit f une application continue de R dans R. On suppose que f est dérivable pour tout 0 et que lim 0 f () = Montrer que f n est pas dérivable en On suppose maintenant que f est bijective de R dans R, strictement croissante et que f(0) = 0. On note g la fonction réciproque de f [l eistence de la function g a été vue en cours]. Montrer que g est dérivable en 0 et que g (0) = 0. Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1

8 Eercice 37 [Condition nécessaire et condition suffisante de minimalité] Soit f une application R dans R et a R. 1. On suppose que f est de classe C 1 et que f admet un minimum local en a. Montrer que f (a) = On suppose que f est de classe C 2, f (a) = 0 et f (a) > 0. Montrer que f admet un minimum local en a. 3. Donner un eemple pour lequel f est de classe C 2, f (a) = 0, f (a) = 0 et f n admet pas un minimum local en a. Eercice 38 [Limite en 0] Trouver les limites en 0 des fonctions suivantes, définies sur R : f() = 1 ( ) cos(), g() = arctan() sin(), h() = e cos() sin() 2. Eercice 39 [DL3] Calculer le DL3 en 0 de f définie pour ] 1, 1[ par f() = sin() cos() + tan() Calculer le DL3 en π 2 de f définie pour ]0, π[ par f() = ln(sin()). Eercice 40 [DL4] Donner le DL4 en 0 des fonctions suivantes (définies de R dans R) : f() = ( ) 1 2, g() = e cos(). Eercice 41 [DLn] On définit f de R dans R par : f() = e 1 si 0, f(0) = 1 Montrer que f est continue en 0 et admet un DLn en 0, pour tout n N. (0.0.2) Eercice 42 [Développement limité curieu] On définit f de R dans R par : f() = e 1 2 si 0, f(0) = Montrer que f est continue en Soit q N. Montrer que, pour tout u > 0, e u uq q!. 3. Soit n N, montrer, en utilisant la question précédente, que lim 0 f() un développement limité d ordre n en 0 et donner ce développement. n = 0. En déduire que f admet Eercice 43 [Etude de la fonction arctan ] Etudier la fonction f définie sur R par : f() = arctan, R. [Montrer que f est paire. Calculer f et f. Etudier les asymptotes.] Eercice 44 [Limite en + ] Pour > 0 on pose f() = 2 (e 1 e 1 +1 ). Déterminer lim utiliser un développement limité ou le théorème des accroissements finis.) f(). (On pourra, sur une une fonction convenable, Ai-Marseille Université, L1, Analyse 1