Seconde 2 DST2 vecteurs Sujet 1-9 février 2015

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1 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : a) AL + KJ = A c) BD + CJ =.D b) LJ AC = D d) AK + DL + BI = C Exercice : ( points) On donne les points A(-;), B(;-1) et C(;1). 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. ) Calculer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle. Exercice 3 : (6 points) 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les vecteurs u et v soient colinéaires. a) u -8 8 et v m b) u m - 1 et v 3 - ) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les points A, B et C soient alignés. a) A(1;3) B(-;1) et C(m;) b) A(-;1) B(7;1) et C(1;m - ) Exercice : ( points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. Soit A(0;3), B(-1;1) et C(-;). 1) Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [BC]. ) Déterminer les coordonnées du point D tel que : 3 DA + DB + DC = 0 3) Démontrer que les points D, A et I sont alignés. 1

2 Seconde DST vecteurs Sujet - 9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : a) BJ + KL = B c) AC + DL = C b) KI DB = C d) IC + LA + KD = D Exercice : ( points) On donne les points A(;3), B(1;-1) et C(6;). 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. ) Calculer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABDC soit un carré. Exercice 3 : (6 points) 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les vecteurs u et v soient colinéaires. a) u -1 et v m b) u m et v 3 ) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les points A, B et C soient alignés. a) A(3;1) B(;-1) et C(m;-) b) A(;1) B(7;-1) et C(1;m - 1) Exercice : ( points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. Soit A(0;), B(-;3) et C(;1). 1) Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [AC]. ) Déterminer les coordonnées du point D tel que : DA + DB + DC = 0 3) Démontrer que les points D, B et I sont alignés.

3 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : a) AL + KJ = AI c) BD + CJ = JD b) LJ AC = DA d) AK + DL + BI = JC Exercice : ( points) On donne les points A(-;), B(;-1) et C(;1). 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. ) Calculer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un rectangle. 1) AC² = ( - (-))² + (1 - )² = = 6 AB² + BC² = ( - (-))² + (-1 - )² + ( - )² + (1 - (-1))² = = 6 On a AC² = AB² + BC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en B. ) Si ABCD est un parallélogramme avec un angle droit alors c'est un rectangle. Le point D est donc défini par l'égalité vectorielle : AD = BC. Soit x D + y D - = (-1) D'où : x D = 3 - = 1 et y D = + = 7 Les coordonnées de D sont : (1;7). Exercice 3 : (6 points) 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les vecteurs a) u -8 8 et m b) u m - 1 et v 3 - u et v soient colinéaires. ) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les points A, B et C soient alignés. a) A(1;3) B(-;1) et C(m;) b) A(-;1) B(7;1) et C(1;m - ) 1) a) La condition de colinéarité des deux vecteurs D'où : m = - b) La condition de colinéarité des deux vecteurs D'où : -m = 0 Soit m = - u et v s'écrit -8-8m = 0 u et v s'écrit (m - 1)(-) - 3 = 0 3

4 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 ) Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs et AC sont colinéaires. a) AB = -3 - et AC m = m La condition de colinéarité des vecteurs AC s'écrit : -3(-1) + (m - 1) = 0 Soit : m = -3 + Soit m = - 1 b) AB = 1 0 et AC 1 + m = 6 m - 3 La condition de colinéarité des vecteurs AC s'écrit : 1(m - 3) - 60 = 0 Soit : m = 3 AB Exercice : ( points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. Soit A(0;3), B(-1;1) et C(-;). 1) Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [BC]. ) Déterminer les coordonnées du point D tel que : 3 DA + DB + DC = 0 3) Démontrer que les points D, A et I sont alignés. 1) I x B + x C yb + yc ; soit : I ) 3 DA + DB + DC = ;3 DA + DA + AB + AB + AD = (-1-0) + (- - 0) -1 AD = (1-3) + ( - 3) - 3 x D - 0 = -1 y D - 3 = - 3 x D = -1 et y D = 3-3 = 1 D -1; 1 AC DA + AC = 0 3) Montrons que les vecteurs AD et AI sont colinéaires.

5 Seconde DST vecteurs Sujet 1-9 février 01 AD -1-3 et AI = = 3-3 = 0 Donc les vecteurs AD et AI sont colinéaires. Donc les points A, D et I sont alignés.

6 Seconde DST vecteurs Sujet - 9 février 01 Exercice 1 : ( points) Soit ABCD un parallélogramme. I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA]. Recopier et compléter les égalités suivantes à l'aide des points de la figure : a) BJ + KL = BI c) AC + DL = LC b) KI DB = CD d) IC + LA + KD = LD Exercice : ( points) On donne les points A(;3), B(1;-1) et C(6;). 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle. ) Calculer les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABDC soit un carré. 1) BC² = (6-1)² + ( - (-1))² = + 9 = 3 AB² = (1 - )² + (-1-3)² = = 17 AC² = (6 - )² + ( - 3)² = = 17 On a BC² = AB² + AC², donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en A De plus AB = AC, donc ABC est rectangle isocèle en A. ) Si ABDC est un parallélogramme avec un angle droit et deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré. Le point D est donc défini par l'égalité vectorielle : CD = AB. Soit x D - 6 y D - = D'où : x D = 6-1 = et y D = - = - Les coordonnées de D sont : (;-). Exercice 3 : (6 points) 1) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les vecteurs u et a) u -1 et v b) u m m et - v v soient colinéaires. ) Dans chacun des cas suivants, déterminer le réel m tel que les points A, B et C soient alignés. a) A(3;1) B(;-1) et C(m;-) b) A(;1) B(7;-1) et C(1;m - 1) 1) a) La condition de colinéarité des deux vecteurs D'où : m = - b) La condition de colinéarité des deux vecteurs D'où : m = 0 Soit m = - u et v s'écrit -1(m) - = 0 u et v s'écrit (m + 1) + 3 = 0 6

7 Seconde DST vecteurs Sujet - 9 février 01 ) Les points A, B et C sont alignés si les vecteurs a) AB = -1 - et AC m - 3 m = La condition de colinéarité des vecteurs (-1)(-3) (-)(m - 3) = 0 Soit : 3 + m 6 = 0 Soit m = 3 Soit m = 3 = 1, AC sont colinéaires. AC s'écrit : b) AB = - et AC 1 - m = - m - La condition de colinéarité des vecteurs (m - ) - = 0 Soit : m = Soit m = 6 AC s'écrit : Exercice : ( points) Soit (O; i ; j ) un repère orthonormé du plan. Soit A(0;), B(-;3) et C(;1). 1) Déterminer les coordonnées du point I milieu du segment [AC]. ) Déterminer les coordonnées du point D tel que : DA + DB + DC = 0 3) Démontrer que les points D, B et I sont alignés. 1) I x A + x C ya + yc ; soit : I ) BD 1; DA + DB + DC = 0 (0 - (-)) + ( - ( )) x D + = y D - 3 = - 1 D - 3 ;11 ( - 3) + (1-3) = - 1 x D = - 3 et yd = 11 DB + BD = BA + DB + BA + BC DB + BC = 0 7

8 Seconde DST vecteurs Sujet - 9 février 01 3) Montrons que les vecteurs BD - 1 et DI - 11 = - 1 BD et DI sont colinéaires. Donc les vecteurs BD et DI sont égaux donc colinéaires. Donc les points B, D et I sont alignés. 8

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