CAPES Les deux problèmes de géométrie.

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1 Ecrit CAPES 014. Les deux problèmes de géométrie. 1. Epreuve 1, problème 1 : le sujet Cette épreuve s intéresse aux applications bijectives du plan qui transforment une droite en une droite. Cette propriété caractérise-t-elle un certain tpe d applications du plan? Notations On désigne par ( R) GL l ensemble des matrices inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O;I;J). Les coordonnées dans ce repère des points de P sont notées sous forme de matrices colonnes éléments de M ( R),1 Définition. Soit f une application de P dans P. On dira que f vérifie la condition des droites si : 1. f est bijective.. Pour toute droite D de P, f ( D) est aussi une droite de P. Le but du problème est de trouver toutes les applications vérifiant la condition des droites. Partie A : conséquences de la condition des droites et exemples 1. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites Soient M et N deux points distincts de P. Montrer que l image par f de la droite (MN) est la droite ( f ( M ) f ( N )). 1.. Soient D et D deux droites distinctes de P. Montrer que f ( D) f ( D' ) = f ( D D' ) 1.3. Montrer que les droites f ( D) et f ( D' ) sont parallèles si et seulement si les droites D et D sont parallèles Soient M, N, P trois points distincts de P. Montrer que M, N et P sont alignés si et seulement si f ( M ), f ( N ) et f ( P) sont alignés Soient M, N, P, Q quatre points distincts de P. Montrer que MNPQ est un parallélogramme si et seulement si ( M ) f ( N ) f ( P) f ( Q) f est un parallélogramme.. Soient A ( R) et ( R) GL M,1. On considère l application A X = associe le point A X +.1. Montrer que f A, est bijective et déterminer son application réciproque. f, de P dans P qui à tout point.. Soient M, N, P trois points distincts de P. Montrer que M, N et P sont alignés si et seulement si f ( M ) f ( N ) et f ( P) sont alignés..3. Montrer que f A, vérifie la condition des droites. 3. Soient O, I, J trois points non alignés de P. Montrer qu il existe A ( R) et ( R) tels que f A, ( O) = O', f A, ( I ) = I', f, ( J ) J ' A =. GL M,1, Partie. Endomorphisme de l anneau R Soit φ une application de R dans R telle que φ( 1 ) = 1et pour tous réels x et : φ φ ( x + ) = φ( x) + φ ( x ) = φ( x) φ G. Julia, 015 1

2 Ecrit 1. Montrer que : φ ( 0 ) = 0 et que pour tous réels x et : φ( x ) = φ( x) φ φ x. Montrer que pour tout nombre réel x et pour tout nombre réel non nul : φ = φ 3. Montrer que pour tout entier naturel n : φ ( n ) = n 4. Montrer que pour tout nombre rationnel r : φ ( r ) = r 5. Soient a et b deux nombres réels, tels que b b a = ( b a ) a. Montrer que ( a) φ( b) φ.on pourra utiliser l égalité 6. Soit x un nombre réel et soit ε un nombre réel strictement positif Montrer l existence de deux nombres rationnels x et x tels que x ε x' x x' ' x + ε x ε φ x x En déduire que ε 6.3. En déduire que φ = Id R Partie C. Un cas particulier Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites et telle que ( O) = O ; f ( I ) = I ; f ( J ) J f = 1. Justifier l existence de deux applications φ et ψ de R dans R, telles que pour tous nombres réels x et, les images par f des points de coordonnées 0 et φ( x) 0 sont respectivement et 0 ψ φ 0 =ψ 0 = et que φ ( 1 ) =ψ ( 1) = 1. Vérifier que Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient A ; ; C les points du plan de coordonnées A, 0 et C. Montrer que f ( O) f ( A) f ( C) f ( ) est un parallélogramme. 3.. En déduire que pour tous nombres réels x et l image du point de coordonnées est le point de φ( x) coordonnées. ψ 4. Soit x un nombre réel non nul. Soient A et les points de coordonnées A et 0. x f A f est parallèle à (IJ) Montrer que ( ) 4.. En déduire que pour tout nombre réel x : ( x) ψ ( x) φ =. 5. Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient, C les points du plan de coordonnées A, 1 et + C. 1 f O f A f C f est un parallélogramme Montrer que 5.. En déduire que En déduire que pour tous nombres réels x et : φ ( x ) = φ( x) + φ +. G. Julia, 015

3 Ecrit 6. Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient, C les points du plan de coordonnées A, 0 et C 0. x 6.1. Montrer que les droites (AC) et (I) sont parallèles. A f C I f sont parallèles. 6.. Montrer que les droites ( f ) et ( ) 6.3. En déduire que pour tous nombres réels x et : ( x ) φ( x) φ 7. Montrer que f = Id P φ =. Partie D. Cas général. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites. 1. Montrer que f ( O) f ( I ), f ( J ), ne sont pas alignés.. Montrer qu il existe A ( R) et ( R) tels que f ( O) f ( O) ; f ( I ) = f ( I ) f ( J ) f ( J ) 1 GL 3. Montrer que f o f = Id P M,1 4. Donner toutes les applications vérifiant la condition des droites. A, = ; = G. Julia, 015 3

4 Ecrit. Eléments de correction Partie A. 1. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites M et N étant deux points distincts de P, leurs images ( M ) f et f ( N ) est bijective. L image de (MN) est une droite, elle passe par les points distincts ( M ) droite ( f ( M ) f ( N )). sont des points distincts puisque f f et f ( N ), il s agit de la 1. et 1.3. L hpothèse importante est l injectivité de f. De façon tout à fait générale, l inclusion f ( D D' ) ( f ( D) f ( D' )) est en effet vérifiée quelle que soit l application f définie sur un ensemble donné et quelles que soient les parties D et D de cet ensemble. Voons l inclusion réciproque. Soit V un point de ( D) f ( D' ) que V = f ( U ) et un point U de D tel que V = f ( U ') point V a par f un unique antécédent : V f ( U ) = f ( U ') U = U ' D D'. Tout point de ( D) f ( D' ) ( f ( D) f ( D' )) f ( D D' ) Finalement f ( D) f ( D' ) = f ( D D' ) gj015 f. Il existe par hpothèse un point U de D tel. Mais f étant supposée bijective, elle est injective et le =. Donc, l antécédent de V appartient à f a pour antécédent par f un point de D D' : en raison de l injectivité de f. On sait que l intersection de deux droites du plan est ou bien une droite, ou bien un unique point, ou bien l ensemble vide. On sait aussi que dans le plan, une intersection de deux droites égale à l ensemble vide caractérise le parallélisme strict des susdites droites. Dès lors, si on considère les deux paires de droites : D et D d une part, f ( D) et f ( D' ) d autre part, de trois choses l une : Ou bien une des deux paires de droites est une paire de droites confondues. L autre paire aussi. Ou bien une des deux paires de droites est une paire de droites sécantes en un unique point. L autre paire aussi. Ou bien une des deux paires de droites est une paire de droites strictement parallèles, l autre aussi. Ainsi, D et D sont sécantes (respectivement, parallèles) si et seulement si f ( D) et ( D' ) f le sont Soient M, N, P trois points distincts de P. Les points M, N et P sont alignés si et seulement si les droites (MN) et (MP) sont confondues. D après ce qui précède (1.1 et la «première des trois choses»), cette M f N f M f P sont confondues, condition condition équivaut au fait que leurs droites images ( f ) et ( ) qui équivaut au fait que f ( M ), f ( N ) et ( P) f sont alignés. (Par contraposition, trois points sont non alignés si et seulement si leurs images par f sont trois points non alignés) Soient M, N, P, Q quatre points distincts de P. MNPQ est un parallélogramme (non aplati) si et seulement si les droites (MN) et (QP) d une part ainsi que les droites (NP) et (MQ) d autre part sont strictement parallèles. D après ce qui précède (1.1 et la «troisième des trois choses»), cette condition M f N Q f P f N f P et équivaut au fait que leurs droites images ( f ) et ( f ) d une part, ainsi que ( ) ( f ( M ) f ( Q) ) f ( M ) f ( N ) f ( P) f ( Q) est un parallélogramme (non aplati). d autre part, sont deux à deux strictement parallèles, condition qui équivaut au fait que. Soient A ( R) et ( R) GL X = associe le point A X +. M,1. On considère l application A f, de P dans P qui à tout point G. Julia, 015 4

5 Ecrit.1. Puisque A GL ( R) 1 M ( R), cette matrice est inversible et son inverse A appartient à ( R) GL tandis que A,1. Alors : Y = A X + X = A Y A ce qui montre à la fois que f A, est bijective et que son application réciproque est définie par :.. Soient M, N, P trois points distincts de P. 1 1 X a A X A. On note X N xm M N = N, X P xm, M M P = P et N xm xp xm, M U = X M, N X M, P = la matrice N M P M concaténée. N M N xm Alors, X f M f N = = A + A + A A,, et de même N M N M P xm X f M f P = A, de sorte que la matrice concaténée des deux vecteurs images gjulia015 P M V = ( X f ( M ), f ( N ) X f ( M ) f ( P) ) est la matrice V = AU et que : det ( V ) = det( A) det( U ), sachant en, outre que det 0 A puisque A est inversible. M, N et P sont alignés si et seulement si det ( U ) = 0, condition qui équivaut à det ( V ) = 0 que f ( M ), f ( N ) et f ( P) sont alignés. ou encore au fait.3. L application f A, est bijective d après.1. D autre part, soit D une droite et M et N deux points distincts de cette droite. Ils déterminent la droite D : D = ( MN ). Les images f ( M ) et f ( N ) de M et N sont des points distincts puisque f est injective. Un point P appartient à D si et seulement si M, N et P sont alignés ce qui équivaut au fait que f ( P) est aligné M N P f M f N avec f et f c'est-à-dire que f appartient à la droite A L image de ( MN ) f, est la droite f ( M ) f ( N ),. D = par A A,. En conséquence, l image de toute droite de P est aussi une droite de P. La «condition des droites» est vérifiée par f A,. 3. Un calcul direct démontre à la fois l existence et l unicité des matrices A et recherchées. Si on note : X O' O' =, X I ' O' I ' = et X J ' I ' J ' =, on est amené à rechercher A a c J ' = b d et α = de β a sorte que l on ait en même temps : A X O + = = X O ' ainsi que A X I + = + = X I ' b et que : c A X J + = + = X J ' d. Par simple identification, on obtient : O' = et I ' xo' xj ' xo' O' A =. I ' O' J ' O' De plus, dire que O, I, J sont non alignés revient à dire que O 'I' et O ' J ' sont indépendants, c'est-à-dire que det 0 GL R. A. La matrice A est bien dans Partie. φ 0 φ = φ 0 1. = donc : φ ( 0 ) = 0 Pour tout réel : 0 = φ( 0) = φ( ) = φ + φ( ) donc φ = φ Par suite pour tous réels x et : φ( x ) = φ( x) + φ( ) = φ( x) φ φ donc : φ = φ. Pour tout nombre réel non nul : 1 = ( 1) = φ = φ φ G. Julia, 015 5

6 Ecrit Par suite pour tout nombre réel x et pour tout nombre réel non nul : 1 1 φ ( x) φ φ x φ x φ = gj = = 015 φ 3. Par récurrence évidente. Et de plus la relation φ ( n ) = n est vérifiée non seulement pour n entier naturel mais aussi pour n entier relatif, ce qui va nous servir dans la question 4. En effet, si n est un entier relatif négatif : φ ( n ) = φ( n ) = φ ( n ) = n = n 4. Soit p q r = un rationnel, où p est entier relatif et q entier naturel non nul. φ fonction φ coïncide avec l identité sur l ensemble des rationnels. 5. φ ( b) φ( a) = φ( b a) = φ ( b a ) = ( φ( b a ) 0 6. On considère jusqu à 6.3 inclus un réel x donné Soit un réel strictement positif ε. Soit q un entier tel que : > ε Alors : p qx < p + 1 et par suite : p p + x 1 p <. Les nombres x ' = et q q q ( p) ( q) p φ p r = φ = = = r q. La φ q. La fonction φ est une fonction croissante. q et soit [ q x] p = (la partie entière). p + 1 x'' = sont deux rationnels et q 1 1 d un côté : 0 x x' < < ε donc x ε < x' x tandis que de l autre : 0 < x'' x < ε donc x < x' ' < x + ε. q q On a obtenu deux rationnels qui vérifient un petit peu plus que les inégalités demandées. 6.. Puisque la fonction φ est une fonction croissante : φ( x' ) φ( x) φ( x'' ) l identité sur l ensemble des rationnels : x' φ ( x) x' '. Ce qui implique : ε φ( x) x + ε indépendamment du choix de ε, aussi petit soit-il. et puisqu elle coïncide avec x et ceci 6.3. Nécessairement : φ ( x ) = x pour ce réel donné x, quel qu il soit. Si en effet il avait un écart, dans un ( x) x sens ou dans l autre, on pourrait trouver un réel ε (par exemple : ε = φ ) tel que : gj 015 φ x x ε, x + ε en contradiction avec l inégalité x ε φ( x) x + ε obtenue indépendamment du choix [ ] de ε. Ce qui établit que φ = Id R Partie C. un cas particulier. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites et telle que ( O) = O ; f ( I ) = I ; f ( J ) J f = 1. D après A.1.1, les droites (OI) et (OJ), d équations cartésiennes respectives = 0 et x = 0 sont globalement invariantes. Pour tout M de (OI) [respectivement de (OJ)] de coordonnées [respectivement 0 ], son image M appartient aussi à (OI) [respectivement à (OJ)]. Il existe un réel x [respectivement ] tel que M ait pour coordonnées ' 0 [respectivement 0 ]. Il existe ainsi deux applications φ et ψ de R ' G. Julia, 015 6

7 Ecrit dans R définies respectivement par : x a φ( x) = x' et ψ = ' les images par f des points de coordonnées et. φ ( 0 ) =ψ ( 0) = 0 et ( 1 ) =ψ ( 1) = 1 a telles que pour tous nombres réels x et, 0 φ( x) sont respectivement 0 0 et ψ φ car les points O 0 I 1 et 0 J sont des points invariants par f Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient A ; ; C les points du plan de coordonnées A, 0 et C. Alors : OA = C, il s agit du vecteur de coordonnées. Puisque x et sont non nuls, ce vecteur n est pas colinéaire à O 0. Le quadrilatère OAC est un parallélogramme non aplati. D après A.1.5 f O f A f C f est aussi un parallélogramme non aplati. Il s ensuit que : φ( x) ( O) f ( A) = f ( C ) f f f C gjulia015 0 f C ψ 3.. L image du point de coordonnées φ( x) est le point de coordonnées ψ. Lorsque x = 0 ou bien lorsque = 0, le résultat vient de la définition même des deux fonctions φ et ψ. Lorsque x et sont tous deux non nuls, le résultat vient de l égalité vectorielle précédente : φ( x) C f ψ. = 0 x f C = et 4. Soit x un nombre réel non nul. Soient A et les points de coordonnées A et 0. x 4.1. Puisque x est non nul, A et sont des points distincts et le vecteur A est directeur de la droite x (A). Ce vecteur est colinéaire à IJ, donc (A) et (IJ) sont parallèles (strictement si x 1 et confondues si x =1 ). D après A.1.3, les images de ces droites parallèles sont des droites parallèles : ( f ( A) f ( ) ) est parallèle à (IJ). φ =. 4.. On a vu d abord que : ( 0) ψ ( 0) Si x est non nul, ce qui précède montre que le vecteur f ( A) f ( ) coordonnées égales. Pour tout nombre réel x : ( x) ψ ( x) φ =. φ ψ ( x) ( x) est colinéaire à 1 IJ et a donc des 1 5. Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient, C les points du plan de coordonnées A, 1 et + C. 1 G. Julia, 015 7

8 Ecrit 5.1. Alors : OA = C, il s agit du vecteur de coordonnées. Puisque x est non nul, ce vecteur n est pas colinéaire à O. Le quadrilatère OAC est un parallélogramme non aplati. D après A f ( O) f ( A) f ( C) f ( ) est aussi un parallélogramme non aplati. Il s ensuit que : ( O) f ( A) f ( ) f ( C) 5.. Pour tous nombres réels x et : φ ( x ) = φ( x) + φ f =. +. Cette relation est triviale si l un des réels x ou x f ( C ) x f ( ) = x f ( A) x f ( O) est nul. S ils sont tous deux non nuls, la question 5.1 prouve que : donc que f ( C ) f ( ) = f ( A) f ( O) φ x φ = φ x C x + A f ont pour abscisses ( + ) puisque f a pour abscisse φ tandis que f et respectives φ ( x) et φ et que O est invariant. 6. Soient x et deux nombres réels non nuls. Soient, C les points du plan de coordonnées A, 0 et C 0. x 6.1. et 6.. Le vecteur AC a pour coordonnées AC x et le vecteur I a pour coordonnées I 1 Ainsi : AC = x I. Ces deux vecteurs sont non nuls et dirigent respectivement (AC) et (I). Ils sont colinéaires, les droites (AC) et (I) sont parallèles. D après A.1.3 leurs droites images ( ( A) f ( C) ) ( I f ( ) ) le sont aussi Pour tous nombres réels x et : ( x ) φ( x) φ est nul, et s ils sont tous deux non nuls, le parallélisme des droites ( f ( A) f ( C) ) et ( f ( ) ) φ( x) 1 det( f ( A) f ( C), I f ( ) ) = = 0 donc que ψ ( x ) φ( x) ψ = 0 gj015 ψ ( x ) ψ fonctionnellement φ = ψ, on obtient le résultat. f et φ =. La relation est triviale si l un ou l autre des réels x ou I montre que. Vu d après 4. que 7. La fonction φ vérifie les hpothèses de la partie. Il s agit de l application identique de R dans R. Donc, f = Id P puisque chaque point du plan a pour image le point de mêmes coordonnées. Partie D. Cas général. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites. 1. D après A.1.4 (contraposée) puisque O, I, J ne sont pas alignés, leurs images f ( O) f ( I ), f ( J ) pas non plus., ne le sont. D après A.3, f ( O), f ( I ), f ( J ) n étant pas alignés, il existe A GL ( R) et M,1 ( R) que : f ( O) f ( O) ; f ( I ) = f ( I ) f ( J ) = f ( J ). = gjulia ; 015 tels 3. L ensemble des applications qui vérifient la condition des droites est clairement un groupe pour la loi de composition (dès lors qu il s agit d un ensemble de bijections qui «conservent» quelque chose ). Ainsi, 1 1 f vérifie la condition des droites de même que la composée o f. Mais cette dernière laisse invariant chacun des points O, I, J. Il s agit de l application du «cas particulier» de la partie C. Donc de f G. Julia, 015 8

9 Ecrit l identité du plan. Il s ensuit que images des trois points O, I, J. f f A, =, c'est-à-dire que f est entièrement déterminée par la donnée des 4. On aura reconnu dans f A, une application affine bijective du plan. Réciproquement, toute application affine bijective du plan est une application f A, déterminée par les images des points O, I, J. L ensemble des applications du plan qui vérifient la condition des droites est l ensemble des transformations affines du plan. G. Julia, 015 9

10 Ecrit 3. Epreuve, problème 3 Ce problème étudie les triangles dont certaines des droites remarquables (médiatrices, hauteurs ou médianes) sont perpendiculaires. 1. Triangles AC dont les médiatrices de [A] et de [AC] sont perpendiculaires et triangles AC dont les hauteurs issues de et de C sont perpendiculaires. Il est possible de raisonner en termes d angles de droites. On note A et AC les médiatrices des côtés [A] et [AC]. Les médiatrices des côtés [A] et [AC] d une part, et les côtés (A) et (AC) d autre part forment deux angles de droites à côtés deux à deux perpendiculaires :, =, A + AC + AC, π par la relation de Chasles A AC A AC π ( A, A ) = ( AC, AC ) = ( π ) Donc : ( A, AC ) = ( AC) ( π ) Ainsi, les médiatrices des côtés [A] et [AC] sont perpendiculaires si et seulement si les côtés (A) et (AC) du triangle sont perpendiculaires, c'est-à-dire si et seulement si AC est un triangle rectangle en A. Quant à la hauteur issue de, elle est parallèle à AC car ces deux droites sont l une et l autre perpendiculaires à une même troisième droite, (AC). De même, la hauteur issue de C est parallèle à Les hauteurs issues de et de C sont perpendiculaires si et seulement si qui ramène au point précédent. A et AC A. sont perpendiculaires ce. Il n existe pas de triangle dont deux bissectrices sont perpendiculaires On considère une bissectrice (intérieure ou extérieure) de l angle de sommet et une bissectrice (intérieure ou extérieure) de l angle de sommet C. La droite (A) a pour image (C) par la smétrie axiale d axe, et (C) a pour image (AC) par la smétrie axiale d axe. Donc (A) a pour image (AC) par la composée des deux smétries axiales r = s o s. Cette composée est une rotation (et non une translation puisque (A) et (AC) sont sécantes) d angle (, ' ) '. π Puisque AC n est pas aplati : ( A, AC) = (, ' ) 0 ( π ) et par conséquent : (, ' ) 0. En particulier, ces bissectrices ne peuvent pas être perpendiculaires. (Cette méthode de résolution prouve ainsi un peu plus que demandé : aucune bissectrice, intérieure ou extérieure, de l angle de sommet ne peut être perpendiculaire à une bissectrice, intérieure ou extérieure, de l angle de sommet C). 3. Triangles aant deux médianes perpendiculaires Soit I le milieu de [C]. C a Pour tout point M du plan : M + MC = MI + = MI + (théorème de la médiane). a a Si on considère le point A : c + b = A + AC = AI + = 18GI + (car AI = 3GI ), ce qui donne : b + c a GI = 36 Si les médianes issues de et de C sont perpendiculaires, le triangle GC est rectangle en G et G appartient a au cercle de diamètre [C] : GI = a b + c a a, b, c sont liés par la relation : = c'est-à-dire par la relation : b + c = 5a gjulia Réciproquement, soit AC est un triangle non aplati dont les mesures des côtés vérifient cette relation : G. Julia,

11 Ecrit Le point G n appartient pas à (C) puisque G est strictement entre I et A. GC est aussi un triangle non aplati. ( 5a ) a 9a a a C GI = = = et : GI = =. Le triangle GC est un triangle rectangle en G Les droites (G) et (GC) sont perpendiculaires. Soit et C sont deux points distincts du plan tels que C = a et soit I le milieu de [C]. Soit M un point du plan, n appartenant pas à (C). Les médianes issues de et de C du triangle MC sont perpendiculaires si et seulement si : a M + MC = 5a, c'est-à-dire si et seulement si : MI + = 5a ou encore si et seulement si : 9a MI =. 4 L ensemble des points M tels que les médianes issues de et de C du triangle MC sont perpendiculaires est le cercle de centre I et de raon 3a privé de ses intersections avec (C). 4. Construction du projeté A du sommet A sur la grande diagonale [H] du cube ACDEFGH Soit a la longueur d une arête du cube. Dans le cube, le triangle AH (entre autres triangles) a la propriété du 4.3 car : H = a 3 et AH = a, ce qui fait que : H + AH = 5A mais honnêtement je ne vois pas en quoi cela aide pour la construction de A. Procédons autrement AF = FC = CA = a : le triangle AFC est un triangle équilatéral. A = C = F = a et HA = HC = HF = a : les points et H sont tous deux équidistants des trois sommets du triangle AC. Ils appartiennent à son axe médiateur 1, qu ils déterminent. (H), en tant qu axe médiateur du triangle AC, est la droite orthogonale au plan (AC) passant par le centre A du cercle circonscrit à ce triangle. Tout point de (AC), et en particulier se projette orthogonalement en A sur (H). AC étant équilatéral, le point A est en même temps le centre de gravité du triangle. Une construction de A à la règle seule en découle : Le point d intersection I des diagonales (D) et (AC) du carré ACD est le milieu de [C]. La droite (FI) est une médiane du triangle AC. Incluse dans le plan (FH), elle est sécante avec (H) en A. 1 Dans l espace, l axe médiateur d un triangle non aplati est l ensemble des points équidistants des trois sommets. C est la droite d intersection des plans médiateurs des côtés de ce triangle. La droite d intersection des plans médiateurs de deux des côtés est en effet incluse dans le plan médiateur du troisième côté. G. Julia,

12 Ecrit Le logiciel permet une vérification de la construction en utilisant une autre propriété du point A. Si l espace est rapporté au repère ( C, F ),, les points C, F, H ont pour coordonnées respectives A ( 0,1,0 ) ; C ( 0,1,0 ) ; F ( 0,0,1) ; H ( 1,1,1 ). Le plan (AC) est le plan d équation x + + z = 1 tandis que la droite (H) a pour équations x = λ paramétriques : = λ, λ R. Le point z = λ d intersection A de (H) avec (AC) est le point A ',, de sorte que : H = 3A', relation qu atteste le logiciel. G. Julia, 015 1