Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes

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1 Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes I Module, argument et forme trigonométrique d un nombre complexe Rappel : le plan complexe est le plan muni d un repère orthonormé direct ( O ; u, v ) 1)Définitions Soit M un point d affixe z = a+ i b dans le plan complexe, a et b réels avec a et b réels non nuls M est situé sur un cercle de centre O et de rayon r = Soit ( u a >0 ; OM ) = θ + k 2π = θ [2π ] avec k entier relatif et θ réel a <0 cos(θ) = sin(θ)= Les formules trouvées ci-dessus sont aussi vérifiées pour b <0 Définitions Soit M un point d affixe z = a+ i b dans le plan complexe, a et b réels avec a et b réels non nuls On appelle module de z le réel positif noté r = z = On appelle argument de z non nul le réel θ noté arg(z)= On appelle forme trigonométrique de z l écriture de z sous la forme z = avec a = et b =. Ex1 : z 1 = i, z 2 = -3i et z 3 = 4. Déterminer la forme trigonométrique des complexes z 1, z 2 et z 3. Ex2 : z 1 = 2 ( cos ( 6 ) + i sin ( 6 ) ) ces deux complexes. et z 2 = 2 ( cos ( 4 ) - i sin ( 4 )). Déterminer la forme algébrique de

2 2)Propriétés z = a+ i b avec a et b réels z = 0 équivaut à on suppose maintenant z non nul z = arg( z ) z =.. arg( -z) = zz =.. z est un réel équivaut à z = z est un réel positif non nul équivaut à arg ( z ) = z est un réel négatif non nul équivaut à arg ( z ) = z est un imaginaire pur de partie imaginaire b >0 équivaut à arg ( z ) =.. z est un imaginaire pur de partie imaginaire b <0 équivaut à arg ( z ) =.. z = z équivaut à Soit A et B dans le plan complexe d affixe z A = x A +i y A et z B = x B + i y B alors AB =.. En effet Soit M ( z ) tel que OM = AB et ( u ; AB ) =.. avec z A z B équivaut à Conséquences Le cercle de centre I ( z I ) de rayon R est l ensemble des points M ( z ) du plan tel que La médiatrice du segment [ AB ] est l ensemble des points M ( z ) du plan tel que

3 2) Propriétés : Ex1 : Soit dans le plan complexe les points A ( 2 + i ), B ( 1 i ) et C ( i ). montrer que le triangle ABC est isocèle en A. Ex 2: Déterminer l ensemble des points M ( z ) dans le plan complexe tel que 1 z 2 i = 4 2. z + i = z 2-3 i Ex3 : Déterminer l ensemble des points M ( z ) dans le plan complexe tel que 1. arg ( z ) = + k*, k 2 2. arg ( z - 2 i ) = 0 + k*, k 3) Opération sur les modules et arguments Soit deux complexes z et z non nuls : z + z z + z ( inégalités triangulaires) z x z = arg ( z z ) = z n = arg (z n ) =, pour tout entier naturel n Formule de Moivre : ( cos ( ) + i sin ( ) ) n = pour tout entier naturel n z 1 = arg ( z 1 ) = z z = arg ( ' z z ) = ' interprétation géométrique : Soit dans le plan complexe les points A ( z A ), B ( z B ), C ( z C ) et D (z D ) CD AB = et ( CD ; AB ) = Démonstration feuille annexe Ex1 : soit dans le plan muni d un repère orthonormé direct ( O ; u, v ) B(2), C ( -1 + i ) D ( 1-3i). Montrer que BCD est un triangle isocèle et rectangle en B Ex2 : Déterminer l ensemble des points M ( z ) tel que z 2i = 1 z 1 i z 2 Ex3 Déterminer l ensemble des points M ( z ) tel que soit réel Ex4 1) déterminer la forme trigonométrique des nombres complexes : z = 3 i z = 1 i et Z = z z 2) Déterminer la forme algébrique de Z 3) En déduire la valeur exacte de cos ( π ) et de sin ( π ) Ex5 : soit z = 3 + i a) forme trigonométrique de z b) En déduire la forme algébrique de z 10 z+i

4 II Notation exponentielle d un nombre complexe 1)Définitions : Soit f la fonction qui à tout réel fait correspondre un nombre complexe z z = f( ) = cos + i sin Pour tous réels et : f (θ + θ ) = cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ ) = cos(θ)cos(θ ) sin(θ)sin(θ ) + i(sin(θ)cos(θ ) + sin(θ )cos(θ))= cos(θ)cos(θ ) + i sin(θ )cos(θ) sin (θ)sin(θ ) + isin(θ)cos(θ ) = cos(θ) (cos(θ ) + i sin(θ )) +i² sin (θ)sin(θ ) + isin(θ)cos(θ ) = cos(θ) (cos(θ ) + i sin(θ )) +i sin (θ)(isin(θ ) + cos(θ )) = (cos(θ ) + i sin(θ )) ( cos(θ) +i sin(θ)) = f( θ) f(θ ) Donc f est une fonction transformant une somme en produit comme la fonction exponentielle ( e a+b = e a e b ) De plus on sait que les g définies sur R g(x)= e kx avec k réel sont telles que g(0)=1 et g (x)= ke kx x R f définie par f( ) = cos + i sin est dérivable sur R avec f ( 0 )= cos 0 + i sin 0 = 1 f (θ) = sin ( ) + i cos = i²sin(θ) + icos(θ) = i ( isin(θ) + cos(θ)) = if(θ) donc f( θ ) = e iθ soit cos + i sin = e iθ Définition1 : Tout nombre complexe z non nul de module r = z = 1 et d argument le réel = arg z + k 2 s écrit de manière unique sous la forme trigonométrique z = sous la forme exponentielle de z Interprétation géométrique : les points images des complexes z = e iθ ont pour module 1 donc sont situés sur Exemples : 1= -1 = i = - i = Définition2 : Tout nombre complexe z non nul de module r = z et d argument le réel = arg z + k 2 s écrit de manière unique sous la forme trigonométrique z = Forme exponentielle de z interprétation géométrique : Les points M d affixe z = sont tels que 2)Règles de calcul sur la forme exponentielle : Elles se déduisent des propriétés des modules et arguments d un complexe z non nul z, la forme trigonométrique a les mêmes règles de calcul que la notation exponentielle et que la fonction exponentielle Pour tous réels r et r strictement positifs et pour tous réels et, n entier naturel e i e i = e iθ+iθ = e i(θ+θ ) ( e i ) n = e inθ 1 = e iθ e iθ = e iθ e iθ e iθ = eiθ iθ = e i(θ θ ) e i = e i équivaut à θ = θ [2π] pour tout réel et pour tout réel r strictement positif, pour n dans N Formules de MOIVRE : ( e i ) n = = e inθ soit (cos(θ) + isin(θ)) n = cos(nθ) + isin(nθ) Formules d EULER : cos( θ ) = et sin ( θ ) = Démonstration e i = e iθ =

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