Structures Algébriques Groupes : exercices

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1 Institut Galilée Université Paris XIII Structures Algébriques Groupes : exercices L3 semestre Exercice 1 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement s il existe un élément e G tel que pour tout g G, on ait à la fois g e = g et un élément g G tel que g g = e. Exercice 2 Soit (G, ) un ensemble fini muni d une loi de composition associative. Montrer que G possède un idempotent 1. Exercice 3 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est un groupe si et seulement si pour tout couple (g, g ) de G 2, les équations x g = g et g y = g ont une solution. Exercice 4 Si g et g sont des éléments d un groupe G, montrer qu il existe un unique x G tel que xg = g. Montrer de même qu il existe un unique y G tel que gy = g. Exercice 5 Les ensembles suivants munis des lois indiquées sont-ils des groupes? Si ce n est pas le cas, indiquer là où le bât blesse. 1. (N, +) 2. (Z, ) 3. (Q, ) 4. ({rotations du plan de centre 0}, ) 5. ({ 1, 1}, ) 6. ({z C, z n = 1}, ) 7. (GL n (R), +) 8. (GL n (R), ). Exercice 6 L ensemble X = {x R, x > 0 et x 1} est-il un groupe pour la loi x y = x ln(y)? Exercice 7 Soit G un groupe possédant un unique élément g d ordre 2. Montrer que g commute à tous les éléments de G. Exercice 8 Montrer que si G est un groupe de type fini 2, alors le cardinal de G est au plus dénombrable. Exercice 9 Montrer qu un groupe G dans lequel tous les éléments non-neutres sont d ordre 2 est commutatif. Exercice 10 Montrer qu un groupe G est abélien si et seulement si l application g g 1 est un morphisme de groupes. 1. On dit que g G est un idempotent si g g = g. 2. Un groupe G est de type fini s il est engendré par un nombre fini d éléments. 1

2 Exercice 11 Montrer qu un groupe G est abélien si et seulement si l application g g 2 est un morphisme de groupes. Exercice 12 Montrer que pour tout élément g d un groupe G, la translation τ g : G G définie par g gg est une bijection. Exercice 13 Soit G un groupe fini dans lequel tous les éléments non neutres sont conjugués deux à deux 3. Montrer que soit G est trivial, soit G Z/2Z. Exercice 14 Décrire l ensemble des groupes pour lesquels l ensemble des sous-groupe est fini. Exercice 15 Etudier le groupe multiplicatif (Z/20Z). Exercice 16 Montrer que {x R, x = a + b 2, (a, b) Q 2 } est un sous-groupe de (R, ). Exercice 17 Soit H 8 = {±1, ±i, ±j, ±k} 4 le groupe des quaternions. Ecrire la table de multiplication dans H 8, et montrer que tous les sous-groupes de H 8 sont distingués. Identifier tous les quotients possible de H 8 par un sous-groupe. Exercice 18 Montrer qu il n existe (à isomorphisme près) que deux groupes d ordre 6. Exercice 19 Soit G un groupe abélien d ordre n. Montrer que pour tout entier k premier à n, l application g g k est un automorphisme de groupes. Exercice 20 Soit G un groupe commutatif d ordre n. Montrer en considérant l élément x = h G h que pour tout g G, g n = e. Exercice 21 Montrer que le groupe (Q, +) n est pas de type fini 5. Exercice 22 Soit p un nombre premier et G un groupe de cardinal p. Montrer que G est cyclique. 3. i.e. (g, g ) G 2, h G, g = hg h On définit la loi dans H 8 par ij = ji = k et i 2 = j 2 = k 2 = i.e. n est pas engendré par un nombre fini d éléments. 2

3 Exercice 23 Montrer que si p et q sont des nombres premiers distincts, tout groupe abélien G d ordre pq est cyclique. Et si G n est pas abélien? Exercice 24 Si k et n sont deux entiers, quel est l ordre de k dans Z/nZ? Exercice 25 Quel est le plus petit entier n tel qu il existe un groupe non-commutatif de cardinal n? Exercice 26 Si F est un corps, déterminer le centre de GL n (F ) 6. Exercice 27 Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal de GL n (Z/pZ). Exercice 28 Si p est un nombre premier, déterminer le cardinal du groupe SL n (Z/pZ) 7. Faire de même avec P GL n (Z/pZ) 8. Exercice 29 On considère le groupe D n des isométries du plan qui laissent stable le polygone régulier à n côtés centré en 0. Montrer que D n est engendré par deux éléments r et s qui vérifient les relations r n = 1, s 2 = 1 et srs = r 1. Déterminer le cardinal de D n et montrer que D 3 S 3. Exercice 30 (Formule de Wilson) Montrer qu un entier p 2 est premier si et seulement si (p 1)! 1 (mod p). Exercice 31 Soit G un sous-ensemble fini de M n (R) qui est un groupe pour la multiplication matricielle. Montrer que Card(G) divise T r( M G M). Exercice 32 Montrer que le groupe dérivé D(G) 9 d un groupe G est un sous-groupe distingué, et qu il s agit du plus petit sous-groupe distingué H de G tel que le quotient G/H est commutatif. Identifier le groupe D(G) lorsque G = A 4, G = S n (n 3), G = D n. Exercice 33 Donner deux groupes G et G dont les groupes dérivés 9 respectifs D(G) et D(G ) sont isomorphes à D 1 = Z/2Z et D 2 = Z/2Z Z/2Z. Montrer en revanche qu il n existe pas de groupe G dont le groupe dérivé est isomorphe à D n, pour n 3. Exercice 34 Montrer que tout groupe abélien fini est un groupe dérivé. 6. Si G est un groupe, son centre Z(G) est {g G, g G, gg = g g}. 7. SL n(z/pz) est l ensemble des matrices de M n(z/pz) qui sont de déterminant P GL n(z/pz) est le quotient de GL n(z/pz) par son centre. 9. D(G) est le sous-groupe de G engendré par les commutateurs, i.e. les éléments de la forme g 1 h 1 gh, pour (g, h) G 2. 3

4 Exercice 35 Soit G un groupe fini, et o k (G) l ensemble des éléments de G d ordre k. Montrer o 3 (G) est pair et que Card(G) o 2 (G) est impair. Exercice 36 Soient g, g des éléments d un groupe fini G. Montrer que gg g 1 et g sont de même ordre. Faire de même avec gg et g g. Exercice 37 Montrer qu un groupe fini G tel que pour tout g G, g 2 puissance de 2. = e est un groupe abélien d ordre une Exercice 38 Montrer que si G est un groupe abélien, l ensemble des éléments d ordre fini dans G est un groupe. Montrer que ce n est pas le cas si G n est pas abélien (on pourra par exemple considérer le groupe GL 2 (F ), pour un corps F ). Exercice 39 Soit G un groupe et soient a et b des éléments de G d ordres respectifs m et n tels que ab = ba et pgcd(m, n) = 1. Montrer que l ordre de ab est mn. Trouver des contre exemples lorsque l on ne suppose pas ab = ba ou pgcd(m, n) = 1. Exercice 40 Montrer qu un groupe abélien est simple 10 si et seulement s il est d ordre premier. Exercice 41 Soit G un groupe abélien fini et p un diviseur premier de Card(G). Montrer par récurrence sur Card(G) que G possède un élément d ordre p. Exercice 42 Montrer que pour tout entier n, le groupe (Q/Z, +) possède un unique sous-groupe d ordre n. Exercice 43 Vérifier que l intersection de deux sous-groupes H, K d un groupe G est un sous-groupe de G. Montrer que H K est un sous-groupe de G si et seulement si H K ou K H. Exercice 44 Soient H et K deux sous-groupe d un groupe G dont les ordres respectifs m et n sont premiers entre eux. Montrer que H K = {e}. Exercice 45 Soient H, J, K des sous-groupes d un groupe G. Montrer que H K H + (J K) = (H + J) K. Exercice 46 Soient H et K deux sous-groupes finis d un groupe G. Montrer que le cardinal du sous-groupe de G engendré par H et K est supérieur à Card(H)Card(K) Card(H K). 10. Un groupe G est dit simple s il ne possède pas de sous-groupe distingué non-trivial. 4

5 Exercice 47 Soient H et K deux sous-groupes d un groupe G tels que G : H et G : K soient premiers entre eux. Montrer que G = HK. Exercice 48 Soient H et K deux sous-groupes stricts d un groupe G tel que G = HK. Montrer que H et K ne sont pas conjugués. Exercice 49 Soit H un sous-groupe strict d un groupe G. Déterminer le sous-groupe de G engendré par le complémentaire de H. Exercice 50 Montrer que si H et K sont deux sous-groupes stricts d un groupe G, on a H K G. Exercice 51 Soit H un sous-groupe strict d un groupe fini G. Montrer que G g G ghg 1. Exercice 52 Trouver un contre exemple à l exercice 51 si l on ne suppose plus que G est fini. On pourra considérer pour G l ensemble des bijections de N à support fini. Exercice 53 Montrer que pour tout (m, n) N, on a un isomorphisme m (Z/nZ) Z/(pgcd(m, n)z Exercice 54 Un sous-groupe du produit G G de deux groupes est-il toujours le produit de deux sous-groupes respectifs de G et G? Exercice 55 Soient H et K deux sous-groupes distingués d un même groupe G tels que H K = {e}. Montrer que les éléments de H commutent à ceux de K. Exercice 56 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d indice 2. Montrer que H est distingué dans G. Exercice 57 Montrer que le centre Z(G) 11 d un groupe G est un sous-groupe distingué de G. Montrer que si G/Z(G) est cyclique, alors G est abélien. Exercice 58 Soit ϕ : G G un morphisme de groupes. Montrer que si H est un sous-groupe distingué de G, alors ϕ 1 (H ) est distingué dans G. Montrer que si ϕ est surjective, l image d un sous-groupe distingué de G est distinguée dans G. Et si ϕ n est pas surjective? 11. On rappelle que Z(G) = {g G, g G gg = g g} 5

6 Exercice 59 Donner un exemple de sous-groupe d un groupe G qui est distingué mais n est pas caractéristique 12. Exercice 60 Montrer que si H est un sous groupe distingué de G et K est un sous-groupe caractéristique de H, alors K est distingué dans G. Exercice 61 Montrer que si H est un sous-groupe caractéristique de G et K est un sous-groupe caractéristique de H, alors K est un sous-groupe caractéristique de G. Trouver un contre exemple à la même assertion lorsque caractéristique est remplacé par distingué. Exercice 62 Soit G un groupe et H un sous-groupe strict et distingué de G. Montrer que s il n existe pas de sous-groupe K de G satisfaisant H K G, alors l indice de H dans G est un nombre premier. Exercice 63 Existe-t-il un groupe G dans lequel les sous-groupes distingués sont caractéristiques, bien qu il possède des automorphismes extérieurs? Exercice 64 Montrer à l aide de l exercice 41 que si G est un groupe abélien et k est un diviseur de Card(G), alors G possède un sous-groupe d ordre k. Et si G n est pas commutatif? Exercice 65 Soient H et K deux sous-groupes d un groupe G. Montrer que si H est distingué dans G, alors HK est un groupe. Montrer que si de plus K est aussi distingué dans G, HK est un sous-groupe distingué dans G. Exercice 66 Soit G un groupe fini d ordre n = ab, a et b étant premiers entre eux. Montrer que si H (resp. K) est un sous groupe de G d ordre a (resp. b) alors G = HK. Le groupe G est-il isomorphe à H K? Exercice 67 {( ) } a b Montrer que H =, a b a 2 + b 2 = 1 est un sous-groupe de GL 2 (R). Exercice 68 Montrer que le groupe spécial orthogonal SO n (R) est un sous-groupe distingué de O n (R). Décrire le groupe quotient O n (R)/SO n (R). Exercice 69 Déterminer les sous-groupes finis du groupe (R, ). Exercice 70 Soit H un sous-groupe d indice fini de (C, ). Montrer que H = C. 12. On rappelle que H est distingué (resp. caractéristique) si H est stable par Inn(G) (resp. par Aut(G)). 6

7 Exercice 71 Montrer que si H est un sous-groupe d indice fini de (Q, +), alors H = Q. Exercice 72 Soit G un groupe d ordre 2n, pour n impair et H un sous-groupe d ordre n de G tel que pour tout couple (h, g) H (G \ H), ghg 1 = h 1. Montrer que H est commutatif et que tout élément de G \ H est d ordre 2. Exercice 73 Soit G un groupe d ordre 2p, p étant premier et impair. Montrer que si G contient un sous-groupe normal d ordre 2, G est cyclique. Exercice 74 Montrer que si p est un nombre premier impair, l ensemble des carrés de (Z/pZ) est de cardinal p 1 et correspond à l ensemble des racines du polynôme X p Exercice 75 Déterminer tous les morphismes de groupes (Z/nZ, +) (C, ). Exercice 76 Déterminer le nombre d automorphismes du groupe Z/2Z Z/2Z. Exercice 77 Pour n 2, déterminer les morphismes de groupes S n (C, ). Exercice 78 Déterminer le nombre de morphismes de groupes ϕ : Z/2Z Z/2Z S 3. Exercice 79 Déterminer la structure et le cardinal du groupe des automorphismes d un groupe cyclique. Exercice 80 Déterminer tous les automorphismes du groupe (Q, +). Exercice 81 Soit G le groupe (multiplicatif) des nombres rationnels strictement positifs. Déterminer tous les morphismes de groupes (Q, +) G. Exercice 82 Les groupes (Q, +) et (Q, ) sont-ils isomorphes? Exercice 83 Montrer que pour tout groupe G, on a un isomorphisme G/Z(G) Inn(G). 13 Exercice 84 Pour tout n 3, déterminer le centre du groupe diédral D n. 13. Inn(G) est l ensemble des automorphismes intérieurs de G, i.e Inn(G) = {ϕ g, ϕ g(α) = gαg 1, g G}. 7

8 Exercice 85 Montrer que si ϕ : G G est un isomorphisme de groupes, alors ϕ induit un isomorphisme entre les centres de G et G. En déduire qu il n existe pas d isomorphisme de groupes ϕ : GL n (R) GL n (C). Exercice 86 Montrer que si G est un groupe dont l ensemble des automorphismes est réduit à id G, alors G est soit trivial, soit isomorphe à Z/2Z. Exercice 87 Soit ϕ un automorphisme d un groupe fini G dont le seul point fixe est l élément neutre. Montrer que tout élément g G s écrit h 1 ϕ(h), pour un certain h G. Montrer que si ϕ est une involution 14, alors l ordre de G est impair et pour tout g G, ϕ(g) = g 1. Exercice 88 Soit G un groupe et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que si H est cyclique, les éléments de H et du groupe dérivé D(G) commutent. Exercice 89 Si G et G sont deux groupes finis d ordres premiers entre eux, montrer que Aut(G G ) Aut(G G ). Exercice 90 Montrer que tout groupe d ordre n est un sous-groupe de S n. Exercice 91 Montrer que tout groupe d ordre n est un sous-groupe de SO n (R). Exercice 92 Montrer que tout groupe d ordre n est un sous-groupe de A n+2. Exercice 93 Soit n 2 et H le sous-groupe de S n des permutations qui laissent stable l élément n. Montrer que H est un groupe isomorphe à S n 1 et que l ensemble S n /H des classes à gauche modulo H est {H, (1 n)h, (2 n)h,..., (n 1 n)h}. Retrouver le cardinal de S n. Exercice 94 Montrer que le produit de deux transpositions peut s écrire ou bien comme un 3-cycle, ou bien comme le produit de deux 3-cycles. En déduire que A n est engendré par les 3-cycles, puis que A n est engendré par l ensemble {(123),..., (12n)}. Exercice 95 Décomposer en cycles à supports disjoints les permutations suivantes, et déterminer leur signature : On rappelle que ϕ : G G est une involution si ϕ ϕ = id. 8

9 Exercice 96 Montrer que si c = (a 1...a k ) S n est un k-cycle, alors pour toute permutation σ S n, σ c σ 1 correspond au cycle (σ(a 1 )...σ(a k )). En déduire que le nombre de classes de conjugaison de S n correspond au nombre de partitions de l entier n 15, et calculer explicitement le nombre de classes de conjugaison dans S 5. Exercice 97 Montrer que le seul sous-groupe distingué de S n qui contient une transposition est S n lui-même. Exercice 98 Montrer qu une permutation d ordre 10 dans S 8 n appartient pas à A 8. Exercice 99 Montrer que tout 3-cycle est un carré dans S n, et que le groupe A n est engendré par les carrés de permutations. En déduire que A n est le seul sous-groupe d indice 2 de S n. Exercice 100 Le but de cet exercice est de calculer le nombre P n des permutations de S n n ayant aucun point fixe. Montrer que pour tout n 2, on a la relation P n+1 = n(p n + P n 1 ). En déduire que pour tout n 2, P n = np n 1 + ( 1) n puis que P n = n! n k=0 ( 1) k k!. Exercice 101 Montrer que pour tout entier n, le groupe A n est un sous-groupe caractéristique de S n. Exercice 102 Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d indice fini. Montrer que G contient un sous-groupe distingué K d indice fini tel que K H. Exercice 103 Déterminer le plus petit entier k tel que pour tout σ S 9, σ k = id. Faire de même pour le groupe A 9. Exercice 104 Soit G un sous-groupe commutatif de S 999 d ordre Montrer qu il existe un point fixe i de {1,..., 999} commun à tous les éléments de G. Exercice 105 Soit p un nombre premier ne divisant pas n et G un sous-groupe de S n d ordre p k. Montrer qu il existe un point fixe i {1,..., n} commun à tous les éléments de G Exercice 106 Soit G un groupe. On dit qu un sous-groupe H de G est co-central si G = Z(G)H. Montrer que si H est co-central dans G, alors Z(H) = Z(G). En déduire que si G est un p-groupe non abélien, alors il n existe pas de sous-groupe H de G tel que G Z(G) H. 15. Le nombre de partitions d un entier n est le nombre de façons d écrire n comme somme d entiers strictement positifs. 9

10 Exercice 107 Soit G un groupe fini et X l ensemble des sous-groupes de G. Montrer que si H est un sous-groupe fixé de G, le nombre de conjugués de H divise Card(G). De même montrer que si g est un élément de G, le nombre de conjugués de g divise Card(G). Exercice 108 Soit G un groupe d ordre p n agissant sur un ensemble fini X de cardinal premier à p. Montrer que X possède un point fixe 16 pour cette action. Exercice 109 Montrer que si p est un nombre premier, et si G est un p-groupe non-trivial le centre de G n est pas réduit à l élément neutre. En déduire que tout groupe d ordre p 2 est abélien. Exercice 110 Soit G un groupe d ordre p n et H un sous-groupe distingué de G non réduit à {e}. Montrer que H Z(G) 1 et en déduire que tout sous-groupe normal de G d ordre p est contenu dans Z(G). Exercice 111 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer que pour x X, Stab(x) est un sous-groupe distingué de G si et seulement si pour tout y G.x, Stab(y) = Stab(x). Exercice 112 On considère l action naturelle de G = GL 2 (R) sur X = R 2. Pour chacun( des ) sous-groupes suivants 1 de G, déterminer les orbites de X ainsi que le stabilisateur du vecteur v =. 0 {( ) } a 0 1. H 1 =, a > 0 0 a {( ) } 1 x 2. H 2 =, x R 0 1 ( ) H 3 = 1 0 Exercice 113 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. Montrer qu un sous-ensemble Y de X est stable par l action de G si et seulement si Y est une union d orbites d éléments de X. Exercice 114 Soit G un groupe qui agit sur un ensemble X. On considère g, g des éléments de G et on note Y = F ix(g) 17. Montrer que si gg = g g, alors g.y Y, pour tout y Y. Donner un exemple pour lequel gg g g et il existe un élément y Y tel que g.y / Y. Exercice 115 On suppose qu un groupe G agit transitivement sur deux ensembles X et Y. Montrer que s il existe une application ensembliste f : X Y qui est G-équivariante 18, Card(Y ) divise Card(X). 16. x X est un point fixe si pour tout g G, g x = x. 17. On rappelle que F ix(g) = {x X, g.x = x}. 18. i.e. pour tout couple (g, x) G X, f(g.x) = g.f(x). 10

11 Exercice 116 Soit G un groupe fini et H un sous-groupe distingué de G. Montrer que pour tout nombre premier p, le nombre de p-sylow de H divise le nombre de p-sylow de G. Montrer que le nombre de p-sylow de G/H divise lui aussi le nombre de p-sylow de G. Exercice 117 Soit n > 4 un entier et X un ensemble sur lequel S n agit transitivement. Montrer que soit Card(X) 2, soit Card(X) n. Exercice 118 Montrer que pour tout n 3, un groupe simple G de cardinal supérieur à n! n a pas de sous-groupe d indice n. Exercice 119 On suppose qu un groupe G d ordre 10 agit sur un ensemble X de cardinal 13 de telle sorte qu aucune orbite n est réduite à 1 élément. Déterminer le nombre d orbites pour cette action ainsi que le cardinal de chacune d entre elles. Exercice 120 Soit G un groupe d ordre n possédant un sous-groupe strict H d ordre m, et tel que ( n m)! < 2n. Montrer que G n est pas simple. Exercice 121 Montrer que si G est un groupe ne contenant pas de sous-groupe d indice 2, alors tout sous-groupe d indice 3 de G est distingué. Exercice 122 Montrer qu il n y a pas de groupe simple 19 d ordre 945. Exercice 123 Montrer que tout groupe d ordre 35 est commutatif. Exercice 124 Déterminer les sous-groupes de Sylow du groupe A 4. Vérifier que les résultats sont cohérents avec les théorèmes de Sylow. Exercice 125 Soit G un groupe fini et P un p-sylow de G. Montrer que si H est un sous-groupe distingué de G, P H est un p-sylow de H. Montrer de même que P H/H est un p-sylow de G/H. Exhiber un contre exemple si H n est pas distingué dans G. Exercice 126 Montrer qu il n existe pas de groupe simple d ordre 36. Exercice 127 Montrer qu il n existe pas de groupe simple d ordre p 2 q 2, p et q étant deux nombres premiers distincts (on pourra utiliser l exercice 126). 19. Un groupe G est simple s il ne possède pas de sous-groupe distingué non trivial. 11

12 Exercice 128 Montrer qu il n existe pas de groupe simple d ordre 400. Exercice 129 Pour tout entier impair n, déterminer le nombre de 2-Sylow de D n. 12