n n k k 2 2 n n n n d avec Q une primitive de P. π π 1 1 N N c e n n vérifiant ikt
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- Ariane Gaulin
- il y a 6 ans
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1 Polyômes rigoomériques Exercice Exrimer θ si θ sur la base ( e (avec : ikθ Z θ e E déduire la valeur de k k I si = θd θ e k ( si ( e doc k ( k iθ θ= k (! d uis I = (! I= si θ θ= N k = k Exercice Soi a, a,, an R o ous uls e Pz ( az a Eablir b E déduire que iθ iθ ( P ( d= i ( P( e e d θ aa N N N m ak = m= + m+ iθ iθ iθ a ( P( e e dθ= Q( e = iq [ ( ] = ( P ( i d avec Q ue rimiive de P N N N aa m b ( P ( d ( P ( = d e + m+ i i i i ( P( e θ e θ dθ P( θ θ = ak e d = m= Coefficies de Fourier Exercice 3 Soi f : R C ue focio ériodique e coiue ar morceaux c Morer que la série ( f coverge = N N N c ( f Par Cauchy-Schwarz : c ( f f ( d = = = ce qui erme de coclure Exercice Soi f : R C ue focio ériodique coiue a Morer que si f de classe C alors c ( f = o( quad b Eablir que si c ( f O( α a c ( f = ic ( f e c ( f doc c ( f = o( S ( f = ce + ce + c e b k k k k avec k : = quad avec α> alors f es de classe e e e = ik vérifia k Puisque c e c coverge, o éabli la covergece ormale des séries de focios ce e c e Aisi la suie ( S ( f des sommes arielles de Fourier coverge uiforméme sur R Noos S( f sa limie Or doc S ( ( f S f eraîe S ( ( f S f mais uisque f es coiue, o a aussi S ( f f e doc ar uicié de limie S( f = f Puisque les focios e so focio S( f = f es de classe C e vérifie C C ce = c, o eu ar covergece ormale affirmer que la
2 Exercice 5 Soi f : R R ue focio -ériodique a Morer que si f es de classe C alors c ( f o( b Iverseme jusifier que si c ( f O( + = = alors f es de classe ( ( a c ( f = ( i c ( f e c ( f car les coefficies de Fourier d ue focio coiue ar morceaux ede vers b La série de Fourier de f, aisi que ses dérivées jusqu à l ordre coverge uiforméme sur R, doc la somme de la série de Fourier de f es de classe quadraiqueme vers la focio coiue f C C e de lus elle es égale à f car elle coverge aussi Déveloeme e série de Fourier Exercice Soi f : R R la focio régularisée, ériodique, imaire, cosae égale à sur ], [ a Calculer ses coefficies de Fourier rigoomériques b Eudier la covergece simle ou uiforme de la série de Fourier vers f ( c E déduire e + ( = = + ( d Calculer e = ( a f imaire doc N, a = Pour N : b= f ( si( d = doc b = e b = i ( ( + O a aussi our Z : c= f ( e (+ d = our N e si = i b La focio f éa C ar morceaux, la série de Fourier coverge simleme vers la régularisée de f La covergece e eu as êre uiforme car la focio limie es as coiue c La covergece simle de la série de Fourier vers f ( x e x= doe : (+ si ( = = d où (+ + = = ( = f ( d= = + doc ( = L égalié de Parseval doe + = = = (+ 8 d exise e = + d où = (+ = = = = ( = = = (+ 8 = = = = Exercice 7 Soi f : R R l alicaio ériodique, aire, elle que x [, ], fx ( = x a Calculer la série de Fourier de f b Eudier la covergece simle ou uiforme de la série de Fourier de f c Déermier e (k (k + d E déduire e = = +
3 a Puisque f es aire : N, b = Pour N : a= f ( cos d cosd = (( Pour = : a= Pour > : a= si sid= [ cos] = i ( Aussi c= d= e our Z : c ( e cos = f d = d = cos(k+ Par suie S( f ( = a+ a cos= (k+ b f es coiue e = C ar morceaux, la covergece es doc ormale a foriori simle e uiforme c S( f ( = f ( Pour =, o obie Par la formule de Parseval : Or = (k+ 8 8 ( f ( d a a k = + + = + k+ ( 3 ( f ( d = = doc 3 = 3 (k+ 9 d exise e = + d où = De même o obie = (k+ k 9 = = = Exercice 8 Soi f : R R la focio ériodique défiie ar f ( x = cosx a Calculer les coefficies de Fourier rigoomériques de f + ( b E déduire la valeur = + ( a a ( f = ( e a ( f + = our N e b ( f = our N b La focio f es de classe E x=, o obie : = C ar morceaux, il y a doc covergece ormale de la série de Fourier vers f + ( f ( = + doc = + ( = ( = Exercice 9 Soi α R \ Z e f : R R la focio ériodique défiie ar f ( x = cos( αx sur ], ] a b = our e a Déermier les coefficies de Fourier a e b de f ( b E déduire les valeurs des sommes e = α = α c E déduire efi la valeur de a = ( vers f car celle-ci es coiue e b Pour x=, o obie α siα α ( = C ar morceaux Par suie ( = α α our N La série de Fourier de f coverge ormaleme siα αsiα x ( = + ( cos α = ( α f x α α coα = e our x=, si( α = α α = c Il y a covergece ormale de our α [, ] doc quad = lim = α α = = α Quad x, α coα co x= x+ ox ( doc quad α, d où = x 3 α =
4 Exercice Soi α R e f : R R la focio ériodique défiie ar f ( x = ch( αx sur ], ] Déermier les coefficies de Fourier a e b de f E déduire les valeurs des sommes ( e = + α = + α αshα b = our e a = ( our N La série de Fourier de f coverge ormaleme vers α ( + shα αshα f car celle-ci es coiue e C ar morceaux Par suie f ( x = + ( cosx α α ( + ( α Pour x=, o obie α coh( α = e our x=, + α α sh( α = + α α = Exercice (CCP Domaie de défiiio de S ( = k = = Calculer les coefficies de Fourier a e b de f ( x = cos( αx défiie sur [, ] avec α R \ Z Sur quel domaie f coïcide avec so déveloeme e série de Fourier? E déduire ue exressio de S ( S ( es défiie sur R \ Z a = ( α siα α ( e b = Par le héorème de Dirichle, f ( x coïcide avec Sf ( x sur [, ] car f es égale à sa régularisée Pour x=, o obie : siα αsiα coα co cosα= doc = uis S ( α ( α α α α = α α α = = Exercice Exise--il ue suie ( α de réels elle que [, ], si = α cos? Soi f la focio ériodique aire défiie sur [, ] ar f ( = si f es coiue e Sa série de Fourier coverge doc ormaleme vers f e cela erme d écrire [, ], = = C ar morceaux si = a( f + a ( f cos d où le résula a ( f si cos si( si( = d = + d Si =, a ( f = Si, cos( + cos( ( + ( a ( f = = + ( Exercice 3 Soi f ue focio coiue ériodique O suose que la série de Fourier de f coverge uiforméme Morer que celle-ci coverge vers f Noos S la série de Fourier de f e S les sommes arielles Puisque f es coiue : f ( S ( d doc f ( S ( d car S S Or f ( S ( es coiue e CU osiive doc ulle six Exercice Soi ],[ Former la déveloeme e série de Fourier de x cosx+
5 six a a six = + avec a= = doc ix ix ix ix cosx+ e e e e i six ix Re Re i six = ix = ix cosx i e + e e uis = si( + x cosx+ = La focio éudiée éa imaire a = Par covergece ormale obeue via <, o a b = + Aisi l écriure récédee es le déveloable e série de Fourier de la focio éudiée Exercice 5 a Soi x ], [ Former le déveloeme e série eière e de cosx+ cos b E déduire le déveloeme e série de Fourier de x α siα cosx our α ], [ a = + + ix cosx+ e e ix doc = + cos( x our < cosx+ b cosα= e si + α= + avec α = a ], [ cosα doc = siαcosx cosx+ cosα α uis = + cos( x a our x ], [ siα cosx = Par arié cee égalié vau aussi our x ],[ De lus ar covergece ormale de la série e doc coiuié des focios egagées cee égalié vau ecore sur [, ] uis sur R ar ériodicié Efi la covergece ormale de la série de focios erme aussi d assurer qu o a bie affaire au déveloeme e série de Fourier recherché Exercice La série de Fourier de la focio f aire -ériodique qui vau x our x [, ] coverge-elle uiforméme? Que vau sa somme? Le roblème es qu ici f es as de classe C ar morceaux uisqu elle adme de dérivée à droie e à si( x gauche e Pour >, o a b = our e a= x cos( x x x si( x x d = d x si( x si( u siu doc a= x u 3 d = x d or l iégrale d u es covergee comme o u u 3 eu le vérifier à l aide d ue iégraio ar aries sur [, [ Par coséque, a = O( doc la série de Fourier de f es ormaleme covergee Ea coiue, la série de Fourier coverge e moyee quadraique vers f e doc sa somme es égale à f = Alicaios des séries de Fourier Exercice 7 (Iégalié de Wiriger Soi f : R C ue focio ériodique de classe f= a Relaio ere c ( f e c ( f? b Morer que f ( d f ( d e réciser les cas d égaliés a Puisque f es C, o a ar iégraio ar aries c ( f = ic ( f b Puisque C elle que f=, o a c ( f = D aure ar f =, doc c ( f = Par l égalié de Parseval : = f ( d = c ( f e f ( d = c ( f Or =
6 c ( f = c ( f + c ( f c ( f + c ( f = c ( f = = = = doc f ( d f ( d avec égalié ssi Z, c ( f = c ( f = c ( f Ceci imlique c ( f = our ou ± e uisque la série coverge ormaleme vers f, f es de la forme : e i i f λ + µ e La réciroque es immédiae z cos Exercice 8 Calculer cos( d our z< z cos+ z z cos i i z cos = ( z + i i = + z cos+ z ( z ( z e e uis = cos( z avec e e = z cos+ z = z cos covergece ormale sur [, ] Par suie cos( d = z come eu de l orhogoalié z cos+ z des focios cosk i Exercice 9 Déermier les soluios ériodiques de l équaio différeielle y + e y= Ue elle focio f es écessaireme de classe doc écrire f ( i f ( + e f ( = doe i =ce avec c o( k = C e es égale à la somme de sa série de Fourier O eu = our ou k N O a i ( c c = = i f ( = ce doc = e Puisque la série éudiée coverge ormaleme sur R, c = c our ou Z O e dédui c = our ou < e c= c (! our ou N Exercice Calculer cos(+ x ( (+! = cos(+ x ( Re e = ( Re(si( (! = + (+! e, or i (+ x ix = = ix si( e = si(cosx+ i si x = si(cos x ch(si x + i sh(si x cos(cos x doc cos(+ x ( = si(cos x ch(si x (+! = Exercice Soi fg, : R C -ériodiques, coiues e aires Pour ou x R, o ose hx a ( fa ( g a fa g x = + ( ( ( cos( = a ( fa ( g a ( f b ( f = = = Jusifier que h exise, es coiue e calculer ses coefficies de Fourier réels Eablir que h f g = = = a ( fa ( g a ( f a ( f < e veru de l iégalié de Bessel La série serva à défiir h s avère doc ormaleme covergee d où l exisece, la coiuié de h e la recoaissace immédiae de ses coefficies de Fourier De lus a( fa ( g a( f a( g ( + ( ( + ( + ( = = = hx a fa g a f a g l égalié de Parseval : E veru de hx ( f ( g ( f g d d e o coclu
7 Exercice Soi θ ], [ Calculer de deux maières la arie réelle de cosθ = i ( + θ = e d afi d e déduire iθ i ( + θ e D ue ar e d= i i d = θ θ = e d ce qui jusifie l exisece de l iégrale e iθ e cos Re Re θ l ( si( θ iθ = = = d e d iθ e (cos θ + si θ D aure ar N i ( + θ i ( + θ i ( + θ e d= e d+ e d doc = = = N+ N i ( + θ i ( + θ e d = + εn avec = = + ε N e e = e d= d = e d m m ( N+ N+ in ( + θ N+ i ( + θ iθ = N+ θ ( i où m = mi{ θ e / θ [,] } > Aisi i+ θ i ( + θ e e d = uis = = + ( cos Re e i + θ θ cosθ θ = d e efi = l si = = = θ david Delauay h://msiddlfreefr
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