T.D. 1. Licence 2, Université Paris 8

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1 Mathématiques Financières Licence 2, Université Paris 8 C. FISCHLER & S. GOUTTE T.D. 1 Exercice 1. Pour chacune des suites ci-dessous, répondre aux questions suivantes : Est-ce une suite monotone? Est-ce une suite minorée? majorée? bornée? Est-ce une suite arithmétique? géométrique? (a) u n = n 2 5n (b) u n = n+1 n 2 +1 (c) u n+1 = 2u n 1 avec u 0 = 2 (raisonner par récurrence). Exercice 2. Construire des exemples de suites avec les propriétés suivantes : (a) une suite décroissante et minorée ; (b) une suite croissante et majorée ; (c) une suite géométrique qui ne soit ni croissante, ni décroissante. Exercice 3. (a) Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r = 3, telle que u 16 = 20. Calculer u 0 et u (b) Soit (v n ) une suite géométrique de raison r = 1.2, telle que v 5 = 10. Calculer v 0 et v 10. Exercice 4. ( ) n+2 (a) Montrer que u n = 2 est une suite géométrique. Trouver sa raison et son premier terme. (b) Soit (u n ) une suite géométrique de raison r = 1.08 et de premier terme 50. Trouver le n minimal tel que u n 100. (c) Une banque vous propose d ouvrir un compte d épargne rémunéré à 7% (taux annuel composé). Combien de temps faudra-t-il attendre pour que la somme d argent placée initialement sur ce compte double? Ce temps s appelle le temps de doublement. Exercice 5. Supposons qu une pomme coûte aujourd hui 1 euro. Supposons également que le taux d inflation est constant et égal à 4% annuels. (a) (b) Trouver le prix u n de 100 pommes dans n années. Trouver le nombre v n de pommes que l on pourra acheter pour 100 euros dans n années. Quelles sont les propriétés des suites (u n ) et (v n )? 1

2 T.D. 2 Exercice 1. Calculer les sommes suivantes : (a) (b) (c) 17 n=5 (4n + 1) (d) (e) 9 n=2 1 (f) 10 n=0 3 n 50 1,03. n Dans les deux exercices suivants, on suppose que le taux d intérêt sans risque du marché est constant et égal à 4% annuels. Exercice 2. (a) Quelle est la valeur future de 200e dans 4 ans? (b) Combien d argent faut-il placer aujourd hui pour obtenir 15000e dans 8 ans? (c) Quelle est la valeur actuelle d une obligation zéro coupon de valeur nominale 1000e et avec une échéance de 7 ans? Exercice 3. Quelle est la valeur actuelle d une obligation de valeur nominale 1000e, d échéance 5 ans et qui verse des coupons annuels au taux nominal de 8%? Exercice 4. Décider, en utilisant la méthode de la VAN, si les projets d investissement suivants sont rentables. (a) Vous avez la possibilité d acheter un terrain pour 10000e. Vous êtes sûr que sa valeur va doubler dans les cinq prochaines années. Si par ailleurs votre banque vous offre des comptes rémunérés à 8% par an, cet investissement dans un terrain est-il rentable? (b) Monsieur Dupont qui a 65 ans se demande si cela vaut la peine d acheter une rente auprès d une compagnie d assurance. La compagnie lui demande aujourd hui une prime de 10000e, et en contrepartie elle lui versera une rente de 1000e chaque année pour tout le reste de sa vie. Si un placement alternatif dans un fonds commun peut lui rapporter 8% par an, et que Monsieur Dupont espère vivre jusqu à 80 ans, a-t-il intérêt à acheter cette rente? 2

3 T.D. 3 Exercice 1. Trouver le taux équivalent pour les taux d intérêt suivants : (a) 5% par an avec capitalisation trimestrielle ; (b) 7% par an avec capitalisation mensuelle ; (c) taux continu de 4%. Dans les exercices 2 7, on suppose que le taux d intérêt r est continu. Exercice 2. (a) Si r = 6%, quelle est la valeur future de 100e dans quatre ans? (b) Si r = 7%, quelle somme d argent faut-il placer aujourd hui pour récupérer e dans 10 ans? Dans les exercices 3 6, on suppose que le taux d intérêt r est de 6%. Exercice 3. (a) Trouver le taux équivalent annuel. (b) Trouver le taux proportionnel mensuel. Exercice 4. (a) Quelle est la valeur future de 1000e dans 3 ans? (b) Quelle est la valeur actuelle d une obligation zéro-coupon de valeur faciale 5000e et qui arrive à l échéance dans 2 ans? Exercice 5. Vous avez obtenu un crédit de consommation de 8000e que vous devez rembourser par mensualités de 390e pendant trois ans. (a) Quel est le coût total du crédit (la somme de tous les paiements non actualisés moins le montant obtenu)? (b) Quelle est la valeur actuelle de tous les remboursements? (c) Quelle est la valeur actuelle du coût de crédit? Exercice 6. Décider si le projet suivant est rentable : investir 5000e par an pendant 5 ans et recevoir ensuite 500e par mois pendant 6 ans (la première mensualité sera payée un mois après le dernier investissement). Exercice 7. On place 700e le 1er janvier 2010 et 1500e le 1er janvier 2011 et on dispose ainsi de e au 1er janvier Quel était le taux r? 3

4 T.D. 4 Exercice 1 (Emprunt immobilier). Vous désirez acquérir un logement dont l achat nécessite l emprunt de e. Votre banque vous propose un prêt immobilier au taux de 12% annuel à rembourser mensuellement sur 30 ans. (a) Quel est le taux proportionnel (en pourcentage par mois)? (b) Quel est le montant de chaque mensualité? (c) Une banque concurrente vous propose un prêt sur 15 ans, avec des mensualités de 1100e. Quel prêt est le plus intéressant? Indication : calculer le taux du deuxième prêt et le comparer avec le premier. Exercice 2 (Rente perpétuelle). 1. Une rente perpétuelle est un contrat qui garantie le paiement d un montant fixe à des périodes régulières, et cela jusqu à l infini. Trouver la valeur actuelle d une rente qui paye 1000e tous les ans, si le taux d intérêt annuel est de 8%. 2. Une action de préférence (preferred stock) est un titre qui paye des dividendes réguliers, sans limitation de durée. Supposons que le dividende est payé une fois tous les 6 mois, que son montant est de 50e, et que le taux d intérêt annuel est de 10%. (a) Quelle est la valeur actuelle de tous les dividendes qui seront payées par cette action? (on suppose que le premier paiement sera effectué dans 6 mois). (b) Quelle est la valeur future de tous les dividendes payés en N années à partir d aujourd hui? Quelle est sa limite quand N tend vers l infini? Exercice 3 (Rente croissante). Vous souhaitez investir dans une petite forêt, et vous anticipez que les revenus procurés la première année (vente de bois) seront de 1000e, et vont croître de 4% par an jusqu à l infini. Quelle est la valeur actuelle des cash-flows futurs de cet investissement si le taux d intérêt annuel est de 6%? Exercice 4 (Méthode du point fixe). Le but de cet exercice est de trouver le taux d intérêt du crédit de e qu il faut rembourser pendant 10 ans par mensualités constantes de 700e. 1. Montrer que le taux i vérifie l équation i = (1 (1 + i) 120 ). 2. Etudier la fonction f(x) = (1 (1 + x) 120 ) (a) Calculer f(0) et lim x + f(x). (b) Calculer f (x), vérifier que f (0) > 1 et lim x + f (x) = 0. (c) Tracer (approximativement) le graphe de f en utilisant ces propriétés. 4

5 3. Tracer sur le même dessin le graphe de la fonction g définie par g(x) = x. Marquer les points fixes de f. Combien y en a-t-il? Lequel correspond au taux i? 4. Choisir i 0 arbitraire. Soit i n+1 = f(i n ), pour n = 0, 1,... Calculer quelques valeurs de cette suite jusqu à ce que les 5 premières décimales ne changent plus. Cela vous donne une approximation du taux i avec une erreur inférieure à Combien d itérations vous a-t-il fallu pour obtenir cette précision? 5. Illustrer la convergence de la méthode du point fixe sur votre dessin. 5